Lapforrás

Nincs jogosultságod a következő művelet elvégzéséhez: lap szerkesztése, a következő ok miatt:

Ezt a tevékenységet csak a(z) [[MathWiki:Felhasználók|szerkesztők]] {{PLURAL:1|csoportba|csoportok valamelyikébe}} tartozó felhasználó végezheti el.

Megtekintheted és másolhatod a lap forrását:

_{[[Matematika A1a 2008|<Matematika A1a 2008]]} ==Koordináta reprezentációk== ''Lineáris kombináció''nak nevezzük a :<math>\lambda_1.\mathbf{a}_1+\lambda_2.\mathbf{a}_2+...+\lambda_n.\mathbf{a}_n</math> alakú kifejezéseket, ahol a &lambda;-k számok, az '''a'''-k vektorok. '''Tétel.''' # Ha '''b'''₁ és '''b'''₂ két nempárhuzamos vektor a síkban, akkor a sík minden vektora egyértelműen előáll ezek lineáris kombinációjaként: #:<math>\mathbf{v}=\lambda_1.\mathbf{b}_1+\lambda_2.\mathbf{b}_2</math> # Ha '''b'''₁, '''b'''₂ és '''b'''₃ három, nem egy síkban lévő vektor, akkor a tér minden vektora egyértelműen előáll ezek lineáris kombinációjaként: #:<math>\mathbf{v}=\lambda_1.\mathbf{b}_1+\lambda_2.\mathbf{b}_2+\lambda_3.\mathbf{b}_3</math> Síkban két nempárhuzamos vektor halmazát, térben három nem egysíkban lévő vektor halmazát ''bázis''nak nevezünk. Ha ezek egységhosszúságúak és páronként merőlegesen egymásra, akkor ''ortonormált'' bázist alkotnak. A ''jobbsodrású'' (v.ö.: jobbcsvarszabály) ortonormált bázis a térben az ('''i''', '''j''', '''k'''). Egy '''v''' térvektornak B = ('''b'''₁, '''b'''₂, '''b'''₃) bázisra vonatkozó ''koordinátareprezentációja'' az az oszlopmátrix, melynek elemei rendre az előző tételbeli egyértelműen létező &lambda;-k: :<math>[\mathbf{v}]_B=\begin{bmatrix}\lambda_1\\ \lambda_2\\ \lambda_3 \end{bmatrix}</math> A vektorműveletek a koordinátareprezentációban a következők lesznek. :<math>[\mathbf{a}+\mathbf{b}]=\left[ \begin{matrix} a_1+b_1\\ a_2+b_2\\ a_3+b_3 \end{matrix} \right],\quad\quad[\lambda.\mathbf{a}]=\left[ \begin{matrix} \lambda\cdot a_1\\ \lambda\cdot a_2\\ \lambda\cdot a_3 \end{matrix} \right],</math> :<math>\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3,\quad\quad[\mathbf{a}\times\mathbf{b}]=\left[ \begin{matrix} \;\;a_2b_3-b_2a_3\\ -a_1b_3+b_1a_3\\ \;\; a_1b_2-b_1a_2 \end{matrix} \right]</math> Külön fontos a vektoriális szorzat esetén megemlíteni a :<math>\left|\begin{matrix}\mathbf{i}& \mathbf{j}&\mathbf{k}\\ a_1& a_2 & a_3\\ b_1&b_1&b_3\end{matrix}\right|=\mathbf{a}\times\mathbf{b}</math> determnánssal történő kiszámolási módot és a skaláris szorzást, mint mátrixszorzást: :<math>\begin{matrix} & \begin{bmatrix}b_1 \\b_2\\b_3\end{bmatrix} \\ & \\ \begin{bmatrix}a_1 & a_2 & a_3\end{bmatrix} & \mathbf{ab} \end{matrix}</math> ==Egyenes és sík== Legyen '''r'''₀ az ''e'' egyenes egy pontjának helyvektora, '''v''' az irányvektora. Ekkor az egyenes bármely '''r''' pontja előáll (alkalmas ''t'' valós paraméterrel) :<math>\mathbf{r}=\mathbf{r}_0+t\cdot\mathbf{v}</math> alakban, hiszen az '''r''' - '''r'''₀ vektor párhuzamos az egyenessel (sőt: az egyesben van), így a '''v''' irányvektor skalárszorosa. A ''t'' jelölés az "időre" utal. Ha feltételezzük, hogy egy pont sebessége az egyenesen '''v''', akkor ''t'' azt jelenti, hogy az '''r'''₀-végpontából az '''r''' végpontjába mennyi idő alatt jutunk el. A fenti egyenletet az ''e'' egyenes '''paraméteres vektoregyenlet'''ének nevezzük. Ha felÍrjuk koordinátareprezentációban, akkor a :<math>\begin{pmatrix} x \\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_0 \\ y_0\\ z_0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2\\ v_3 \end{pmatrix}</math> vagyis a <math>\left\{\begin{matrix} x =x_0+ tv_1\\ y=y_0+ tv_2\\ z=z_0 + tv_3 \end{matrix}\right.</math> egyenletrendszert kapjuk, melyet az ''e'' egyenes '''paraméteres egyenletrendszer'''ének nevezünk. Persze itt ['''r'''₀]=(''x''₀,''y''₀, ''z''₀), ['''r''']=(''x'',''y'', ''z'') és ['''v''']=(''v''₁,''v''₂, ''v''₃) Ha ==Házi feladatok== [[Kategória:Matematika A1]]

Vissza a(z) Matematika A1a 2008/3. gyakorlat laphoz.