http://wiki.math.bme.hu/history/A3_2016_gyak_2?feed=atom&A3 2016 gyak 2 - Laptörténet2024-03-29T06:20:49ZAz oldal laptörténete a wikibenMediaWiki 1.18.1http://wiki.math.bme.hu/index.php?title=A3_2016_gyak_2&diff=11633&oldid=prevMozo: /* Laurent-sorfejtés */2016-05-03T12:55:35Z<p><span class="autocomment">Laurent-sorfejtés</span></p>
<table class='diff diff-contentalign-left'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr valign='top'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">←Régebbi változat</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">A lap 2016. május 3., 12:55-kori változata</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno">51. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">51. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>|-z^2|<1\Leftrightarrow |z|<1</math> (<math>z\ne 0</math>)</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>|-z^2|<1\Leftrightarrow |z|<1</math> (<math>z\ne 0</math>)</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:'''II.)''' 1<|z|. "Ekkor az nevezőbeli z^2-ből kell 1-et csinálni":</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:'''II.)''' 1<|z|. "Ekkor az nevezőbeli z^2-ből kell 1-et csinálni":</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>f(z)=\frac{1}{z}\frac{1}{z^2}\frac{1}{\frac{1}{z^2}+1<del class="diffchange diffchange-inline">)</del>}=\frac{1}{z}\frac{1}{z^2}\frac{1}{1-\frac{-1}{z^2}}=\frac{1}{z^3}\sum\limits_{n=0}^\infty\left(-\frac{1}{z^2}\right)^n=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^nz^{-2n-3}</math></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>f(z)=\frac{1}{z}<ins class="diffchange diffchange-inline">\cdot</ins>\frac{1}{z^2}<ins class="diffchange diffchange-inline">\cdot</ins>\frac{1}{\frac{1}{z^2}+1}=\frac{1}{z}<ins class="diffchange diffchange-inline">\cdot</ins>\frac{1}{z^2}<ins class="diffchange diffchange-inline">\cdot</ins>\frac{1}{1-\frac{-1}{z^2}}=\frac{1}{z^3}\sum\limits_{n=0}^\infty\left(-\frac{1}{z^2}\right)^n=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^nz^{-2n-3}</math></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>És a konvergencia tartománya valóban:</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>És a konvergencia tartománya valóban:</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>|-1/z^2|<1\Leftrightarrow |z|>1</math></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>|-1/z^2|<1\Leftrightarrow |z|>1</math></div></td></tr>
</table>Mozohttp://wiki.math.bme.hu/index.php?title=A3_2016_gyak_2&diff=11632&oldid=prevMozo: /* Laurent-sorfejtés */2016-05-03T12:54:17Z<p><span class="autocomment">Laurent-sorfejtés</span></p>
<table class='diff diff-contentalign-left'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr valign='top'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">←Régebbi változat</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">A lap 2016. május 3., 12:54-kori változata</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno">44. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">44. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>függvényt! Melyik sor állítja elő a függvényt az 1+2i-ben?</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>függvényt! Melyik sor állítja elő a függvényt az 1+2i-ben?</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div>''Mo.'' A szingularitások: 0, +i, -i. A sorfejtés középpontja, a nulla körül tehát két olyan körgyűrű rajzolható, melyben reguláris lesz a függvény: I.) 0<|z|<1 és II.) |z|>1. Az 1+2i pont a II. tartományba esik, mert <math>1<|1+2i|\sqrt{5}</math>. A függvényt nem kell parciális törtekre bontani, mert 1/z szorzótényezőként szerepel és a második tényező pont mértani sor alakú q=-z^2-tel.</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>''Mo.<ins class="diffchange diffchange-inline">'' '</ins>''A szingularitások:<ins class="diffchange diffchange-inline">''' </ins>0, +i, -i. A sorfejtés középpontja, a nulla körül tehát két olyan körgyűrű rajzolható, melyben reguláris lesz a függvény: I.) 0<|z|<1 és II.) |z|>1. Az 1+2i pont a II. tartományba esik, mert <math>1<|1+2i|\sqrt{5}</math>. A függvényt nem kell parciális törtekre bontani, mert 1/z szorzótényezőként szerepel és a második tényező pont mértani sor alakú q=-z^2-tel.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div>:I.) 0<|z|<1. "Ekkor az nevezőbeli 1-ból kell 1-et csinálni":</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>:<ins class="diffchange diffchange-inline">'''</ins>I.)<ins class="diffchange diffchange-inline">''' </ins>0<|z|<1. "Ekkor az nevezőbeli 1-ból kell 1-et csinálni":</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><math>\frac{1}{z(1+z^2)}=\frac{1}{z}\frac{1}{1-(-z^2)}=\frac{1}{z}\sum\limits_{n=0}^\infty(-z^2)^n=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^nz^{2n-1}</math></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">:</ins><math><ins class="diffchange diffchange-inline">f(z)=</ins>\frac{1}{z(1+z^2)}=\frac{1}{z}\frac{1}{1-(-z^2)}=\frac{1}{z}\sum\limits_{n=0}^\infty(-z^2)^n=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^nz^{2n-1}</math></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>És a konvergencia tartománya valóban:</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>És a konvergencia tartománya valóban:</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>|-z^2|<1\Leftrightarrow |z|<1</math> (<math>z\ne 0</math>)</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>|-z^2|<1\Leftrightarrow |z|<1</math> (<math>z\ne 0</math>)</div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">:'''II.)''' 1<|z|. "Ekkor az nevezőbeli z^2-ből kell 1-et csinálni":</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">:<math>f(z)=\frac{1}{z}\frac{1}{z^2}\frac{1}{\frac{1}{z^2}+1)}=\frac{1}{z}\frac{1}{z^2}\frac{1}{1-\frac{-1}{z^2}}=\frac{1}{z^3}\sum\limits_{n=0}^\infty\left(-\frac{1}{z^2}\right)^n=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^nz^{-2n-3}</math></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">És a konvergencia tartománya valóban:</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">:<math>|-1/z^2|<1\Leftrightarrow |z|>1</math></ins></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>==Komplex egyenlet==</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>==Komplex egyenlet==</div></td></tr>
</table>Mozohttp://wiki.math.bme.hu/index.php?title=A3_2016_gyak_2&diff=11631&oldid=prevMozo: /* Laurent-sorfejtés */2016-05-03T12:46:08Z<p><span class="autocomment">Laurent-sorfejtés</span></p>
<table class='diff diff-contentalign-left'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr valign='top'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">←Régebbi változat</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">A lap 2016. május 3., 12:46-kori változata</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno">24. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">24. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>\sqrt{5}<|3+2i-1|=\sqrt{8}<3</math></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>\sqrt{5}<|3+2i-1|=\sqrt{8}<3</math></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div>:I.) A <math>|z-1|<\sqrt{5}</math> körlap,  </div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>:<ins class="diffchange diffchange-inline">'''</ins>I.)<ins class="diffchange diffchange-inline">''' </ins>A <math>|z-1|<\sqrt{5}</math> körlap,  </div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>melyen belül a sor reguláris és <math>z-1</math>-nek csak nemnegatív hatványai szerepelnek a sorban. Ilyenkor "<math>z-1</math> melletti tagból csinálunk mértani sort":</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>melyen belül a sor reguláris és <math>z-1</math>-nek csak nemnegatív hatványai szerepelnek a sorban. Ilyenkor "<math>z-1</math> melletti tagból csinálunk mértani sort":</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>\frac{\frac{1}{-i+2}}{z-1-3}-\frac{\frac{1}{-i+2}}{z-1+1-2i}=\frac{1}{-3}\cdot\frac{\frac{1}{-i+2}}{\frac{z-1}{-3}+1}-\frac{1}{1-2i}\cdot\frac{\frac{1}{-i+2}}{\frac{z-1}{1-2i}+1}=\frac{1}{-3}\cdot\frac{\frac{1}{-i+2}}{1-\frac{z-1}{3}}-\frac{1}{1-2i}\cdot\frac{\frac{1}{-i+2}}{1-\frac{z-1}{2i-1}}</math></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>\frac{\frac{1}{-i+2}}{z-1-3}-\frac{\frac{1}{-i+2}}{z-1+1-2i}=\frac{1}{-3}\cdot\frac{\frac{1}{-i+2}}{\frac{z-1}{-3}+1}-\frac{1}{1-2i}\cdot\frac{\frac{1}{-i+2}}{\frac{z-1}{1-2i}+1}=\frac{1}{-3}\cdot\frac{\frac{1}{-i+2}}{1-\frac{z-1}{3}}-\frac{1}{1-2i}\cdot\frac{\frac{1}{-i+2}}{1-\frac{z-1}{2i-1}}</math></div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-lineno">33. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">33. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>hányadosokra kapjuk:</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>hányadosokra kapjuk:</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>f(z)=\frac{1}{-3}\frac{1}{-i+2}\cdot\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{z-1}{3}\right)^n-\frac{1}{1-2i}\frac{1}{-i+2}\cdot\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{z-1}{2i-1}\right)^n=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{3i-6}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^n(z-1)^n-\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{(1-2i)(-i+2)}\left(\frac{1}{2i-1}\right)^n(z-1)^n=\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{3i-6}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^n-\frac{1}{(1-2i)(-i+2)}\left(\frac{1}{2i-1}\right)^n\right)(z-1)^n</math></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>f(z)=\frac{1}{-3}\frac{1}{-i+2}\cdot\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{z-1}{3}\right)^n-\frac{1}{1-2i}\frac{1}{-i+2}\cdot\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{z-1}{2i-1}\right)^n=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{3i-6}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^n(z-1)^n-\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{(1-2i)(-i+2)}\left(\frac{1}{2i-1}\right)^n(z-1)^n=\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{3i-6}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^n-\frac{1}{(1-2i)(-i+2)}\left(\frac{1}{2i-1}\right)^n\right)(z-1)^n</math></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div>:II.) A <math>\sqrt{5}\leq|z-1|<3</math> körgyűrű,  </div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>:<ins class="diffchange diffchange-inline">'''</ins>II.)<ins class="diffchange diffchange-inline">''' </ins>A <math>\sqrt{5}\leq|z-1|<3</math> körgyűrű,  </div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>melyben az első tag reguláris, de a második már nem. Ilyenkor "a z-1-et emeljük ki a nevezőből":</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>melyben az első tag reguláris, de a második már nem. Ilyenkor "a z-1-et emeljük ki a nevezőből":</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>\frac{1/(-i+2)}{z-2i}=\frac{1/(-i+2)}{z-1+1-2i}=\frac{1}{z-1}\frac{1}{-i+2}\frac{1}{1+\frac{1-2i}{z-1}}=\frac{1}{z-1}\frac{1}{-i+2}\frac{1}{1-\frac{2i-1}{z-1}}=\frac{1}{z-1}\cdot\frac{1}{-i+2}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2i-1}{z-1}\right)^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(2i-1)^n}{-i+2}\frac{1}{(z-1)^{n+1}}</math></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>\frac{1/(-i+2)}{z-2i}=\frac{1/(-i+2)}{z-1+1-2i}=\frac{1}{z-1}\frac{1}{-i+2}\frac{1}{1+\frac{1-2i}{z-1}}=\frac{1}{z-1}\frac{1}{-i+2}\frac{1}{1-\frac{2i-1}{z-1}}=\frac{1}{z-1}\cdot\frac{1}{-i+2}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2i-1}{z-1}\right)^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(2i-1)^n}{-i+2}\frac{1}{(z-1)^{n+1}}</math></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>Tehát itt:</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>Tehát itt:</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{3i-6}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^n(z-1)^n-\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(2i-1)^n}{-i+2}\frac{1}{(z-1)^{n+1}}</math></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{3i-6}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^n(z-1)^n-\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(2i-1)^n}{-i+2}\frac{1}{(z-1)^{n+1}}</math></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div>:III.)Végül a |z-1|>3  körgyűrűn</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>:<ins class="diffchange diffchange-inline">'''</ins>III.)<ins class="diffchange diffchange-inline">''' </ins>Végül a |z-1|>3  körgyűrűn</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{3i-6}\cdot\left(\frac{1}{z-1}\right)^{n+1}-\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(2i-1)^n}{-i+2}\frac{1}{(z-1)^{n+1}}</math></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{3i-6}\cdot\left(\frac{1}{z-1}\right)^{n+1}-\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(2i-1)^n}{-i+2}\frac{1}{(z-1)^{n+1}}</math></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>'''1. b''' Fejtsük sorba a 0 körül az  </div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>'''1. b''' Fejtsük sorba a 0 körül az  </div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-lineno">44. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">44. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>függvényt! Melyik sor állítja elő a függvényt az 1+2i-ben?</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>függvényt! Melyik sor állítja elő a függvényt az 1+2i-ben?</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div>''Mo.'' A szingularitások: 0, +i, -i. A sorfejtés középpontja, a nulla körül tehát két olyan körgyűrű rajzolható, melyben reguláris lesz a függvény: I.) 0<|z|<1 és II.) |z|>1. Az 1+2i pont a II. tartományba esik, mert <math>1<|1+2i|\sqrt{5}</math></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>''Mo.'' A szingularitások: 0, +i, -i. A sorfejtés középpontja, a nulla körül tehát két olyan körgyűrű rajzolható, melyben reguláris lesz a függvény: I.) 0<|z|<1 és II.) |z|>1. Az 1+2i pont a II. tartományba esik, mert <math>1<|1+2i|\sqrt{5}</math><ins class="diffchange diffchange-inline">. A függvényt nem kell parciális törtekre bontani, mert 1/z szorzótényezőként szerepel és a második tényező pont mértani sor alakú q=-z^2-tel.</ins></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div>:I.)</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>:I.<ins class="diffchange diffchange-inline">) 0<|z|<1. "Ekkor az nevezőbeli 1-ból kell 1-et csinálni":</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline"><math>\frac{1}{z(1+z^2)}=\frac{1}{z}\frac{1}{1-(-z^2)}=\frac{1}{z}\sum\limits_{n=0}^\infty(-z^2)^n=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^nz^{2n-1}</math></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">És a konvergencia tartománya valóban:</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">:<math>|-z^2|<1\Leftrightarrow |z|<1</math> (<math>z\ne 0</math></ins>)</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>==Komplex egyenlet==</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>==Komplex egyenlet==</div></td></tr>
</table>Mozohttp://wiki.math.bme.hu/index.php?title=A3_2016_gyak_2&diff=11630&oldid=prevMozo: /* Laurent-sorfejtés */2016-05-03T12:39:27Z<p><span class="autocomment">Laurent-sorfejtés</span></p>
<table class='diff diff-contentalign-left'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr valign='top'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">←Régebbi változat</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">A lap 2016. május 3., 12:39-kori változata</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno">4. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">4. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>függvény 1 körüli Laurent-sorait! Melyik sor állítja elő a függvényt a 3+2i pontban?</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>függvény 1 körüli Laurent-sorait! Melyik sor állítja elő a függvényt a 3+2i pontban?</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div>''Mo.'' Mivel</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>''Mo.'' <ins class="diffchange diffchange-inline">'''Parciális törtekre bontás'''. </ins>Mivel</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>z-2i-(z-4)=-2i+4, ezért</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>z-2i-(z-4)=-2i+4, ezért</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>f(z)=2\frac{1}{(z-2i)(z-4)}=2\left(\frac{1/(-2i+4)}{z-4}-\frac{1/(-2i+4)}{z-2i}\right)</math></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>f(z)=2\frac{1}{(z-2i)(z-4)}=2\left(\frac{1/(-2i+4)}{z-4}-\frac{1/(-2i+4)}{z-2i}\right)</math></div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-lineno">13. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">13. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>A sort a <math>z_0=1</math> körül kell sorba fejteni, azaz a <math>z-1</math> hatványai szerepelnek majd az összegben. Ehhez z-1-nek szerepelnie kell a nevezőkben:</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>A sort a <math>z_0=1</math> körül kell sorba fejteni, azaz a <math>z-1</math> hatványai szerepelnek majd az összegben. Ehhez z-1-nek szerepelnie kell a nevezőkben:</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>f(z)=\frac{\frac{1}{-i+2}}{z-1+1-4}-\frac{\frac{1}{-i+2}}{z-1+1-2i}=\frac{\frac{1}{-i+2}}{z-1-3}-\frac{\frac{1}{-i+2}}{z-1+1-2i}</math></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>f(z)=\frac{\frac{1}{-i+2}}{z-1+1-4}-\frac{\frac{1}{-i+2}}{z-1+1-2i}=\frac{\frac{1}{-i+2}}{z-1-3}-\frac{\frac{1}{-i+2}}{z-1+1-2i}</math></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div>Két szingularitás: <math>z=4</math> és <math>z=2i</math>. Ezeknek a távolsága a középponttól:<del class="diffchange diffchange-inline"></math> </del>|1-4|=3 és <math>|1-2i|=\sqrt{5}</math>.</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">'''</ins>Két szingularitás:<ins class="diffchange diffchange-inline">''' </ins><math>z=4</math> és <math>z=2i</math>. Ezeknek a távolsága a középponttól:</div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">:</ins>|1-4|=3 és  </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">:</ins><math>|1-2i|=\sqrt{5}</math>.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div>A sorfejtés középpontja, az 1 körül tehát három olyan körgyűrű rajzolható, melyben reguláris lesz a függvény: I.) |z-1|<|2i-1|, azaz <math>|z-1|<\sqrt{5}</math> II.) |2i-1|<|z-1|<|4-1|, azaz <math>\sqrt{5}<|z-1|<3</math> és III.) 3<|z-1|. A 3+2i pont a II. tartományba esik, mert a sorfejtés középpontjától való távolsága: <math>\sqrt{5}<|3+2i-1|=\sqrt{8}<3</math></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>A sorfejtés középpontja, az 1 körül tehát három olyan körgyűrű rajzolható, melyben reguláris lesz a függvény<ins class="diffchange diffchange-inline">: </ins></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div>:I. A <math>|z-1|<\sqrt{5}</math> körlap,  </div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>:I.) |z-1|<|2i-1|, azaz <math>|z-1|<\sqrt{5}</math>  </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">:</ins>II.) |2i-1|<|z-1|<|4-1|, azaz <math>\sqrt{5}<|z-1|<3</math> és  </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">:</ins>III.) 3<|z-1|.  </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>A 3+2i pont a II. tartományba esik, mert a sorfejtés középpontjától való távolsága<ins class="diffchange diffchange-inline">: </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>\sqrt{5}<|3+2i-1|=\sqrt{8}<3</math></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>:I.<ins class="diffchange diffchange-inline">) </ins>A <math>|z-1|<\sqrt{5}</math> körlap,  </div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>melyen belül a sor reguláris és <math>z-1</math>-nek csak nemnegatív hatványai szerepelnek a sorban. Ilyenkor "<math>z-1</math> melletti tagból csinálunk mértani sort":</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>melyen belül a sor reguláris és <math>z-1</math>-nek csak nemnegatív hatványai szerepelnek a sorban. Ilyenkor "<math>z-1</math> melletti tagból csinálunk mértani sort":</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>\frac{\frac{1}{-i+2}}{z-1-3}-\frac{\frac{1}{-i+2}}{z-1+1-2i}=\frac{1}{-3}\cdot\frac{\frac{1}{-i+2}}{\frac{z-1}{-3}+1}-\frac{1}{1-2i}\cdot\frac{\frac{1}{-i+2}}{\frac{z-1}{1-2i}+1}=\frac{1}{-3}\cdot\frac{\frac{1}{-i+2}}{1-\frac{z-1}{3}}-\frac{1}{1-2i}\cdot\frac{\frac{1}{-i+2}}{1-\frac{z-1}{2i-1}}</math></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>\frac{\frac{1}{-i+2}}{z-1-3}-\frac{\frac{1}{-i+2}}{z-1+1-2i}=\frac{1}{-3}\cdot\frac{\frac{1}{-i+2}}{\frac{z-1}{-3}+1}-\frac{1}{1-2i}\cdot\frac{\frac{1}{-i+2}}{\frac{z-1}{1-2i}+1}=\frac{1}{-3}\cdot\frac{\frac{1}{-i+2}}{1-\frac{z-1}{3}}-\frac{1}{1-2i}\cdot\frac{\frac{1}{-i+2}}{1-\frac{z-1}{2i-1}}</math></div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-lineno">25. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">33. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>hányadosokra kapjuk:</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>hányadosokra kapjuk:</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>f(z)=\frac{1}{-3}\frac{1}{-i+2}\cdot\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{z-1}{3}\right)^n-\frac{1}{1-2i}\frac{1}{-i+2}\cdot\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{z-1}{2i-1}\right)^n=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{3i-6}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^n(z-1)^n-\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{(1-2i)(-i+2)}\left(\frac{1}{2i-1}\right)^n(z-1)^n=\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{3i-6}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^n-\frac{1}{(1-2i)(-i+2)}\left(\frac{1}{2i-1}\right)^n\right)(z-1)^n</math></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>f(z)=\frac{1}{-3}\frac{1}{-i+2}\cdot\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{z-1}{3}\right)^n-\frac{1}{1-2i}\frac{1}{-i+2}\cdot\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{z-1}{2i-1}\right)^n=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{3i-6}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^n(z-1)^n-\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{(1-2i)(-i+2)}\left(\frac{1}{2i-1}\right)^n(z-1)^n=\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{3i-6}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^n-\frac{1}{(1-2i)(-i+2)}\left(\frac{1}{2i-1}\right)^n\right)(z-1)^n</math></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div>:II. A <math>\sqrt{5}\leq|z-1|<3</math> körgyűrű,  </div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>:II.<ins class="diffchange diffchange-inline">) </ins>A <math>\sqrt{5}\leq|z-1|<3</math> körgyűrű,  </div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>melyben az első tag reguláris, de a második már nem. Ilyenkor "a z-1-et emeljük ki a nevezőből":</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>melyben az első tag reguláris, de a második már nem. Ilyenkor "a z-1-et emeljük ki a nevezőből":</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>\frac{1/(-i+2)}{z-2i}=\frac{1/(-i+2)}{z-1+1-2i}=\frac{1}{z-1}\frac{1}{-i+2}\frac{1}{1+\frac{1-2i}{z-1}}=\frac{1}{z-1}\frac{1}{-i+2}\frac{1}{1-\frac{2i-1}{z-1}}=\frac{1}{z-1}\cdot\frac{1}{-i+2}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2i-1}{z-1}\right)^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(2i-1)^n}{-i+2}\frac{1}{(z-1)^{n+1}}</math></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>\frac{1/(-i+2)}{z-2i}=\frac{1/(-i+2)}{z-1+1-2i}=\frac{1}{z-1}\frac{1}{-i+2}\frac{1}{1+\frac{1-2i}{z-1}}=\frac{1}{z-1}\frac{1}{-i+2}\frac{1}{1-\frac{2i-1}{z-1}}=\frac{1}{z-1}\cdot\frac{1}{-i+2}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2i-1}{z-1}\right)^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(2i-1)^n}{-i+2}\frac{1}{(z-1)^{n+1}}</math></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>Tehát itt:</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>Tehát itt:</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{3i-6}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^n(z-1)^n-\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(2i-1)^n}{-i+2}\frac{1}{(z-1)^{n+1}}</math></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{3i-6}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^n(z-1)^n-\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(2i-1)^n}{-i+2}\frac{1}{(z-1)^{n+1}}</math></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div>:Végül a |z-1|>3  körgyűrűn</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>:<ins class="diffchange diffchange-inline">III.)</ins>Végül a |z-1|>3  körgyűrűn</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">:</del>:<math>f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{3i-6}\cdot\left(\frac{1}{z-1}\right)^{n+1}-\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(2i-1)^n}{-i+2}\frac{1}{(z-1)^{n+1}}</math></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{3i-6}\cdot\left(\frac{1}{z-1}\right)^{n+1}-\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(2i-1)^n}{-i+2}\frac{1}{(z-1)^{n+1}}</math></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>'''1. b''' Fejtsük sorba a 0 körül az  </div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>'''1. b''' Fejtsük sorba a 0 körül az  </div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>f(z)=\frac{1}{z(1+z^2)}\,</math></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>f(z)=\frac{1}{z(1+z^2)}\,</math></div></td></tr>
</table>Mozohttp://wiki.math.bme.hu/index.php?title=A3_2016_gyak_2&diff=11629&oldid=prevMozo: /* Laurent-sorfejtés */2016-05-03T12:37:01Z<p><span class="autocomment">Laurent-sorfejtés</span></p>
<table class='diff diff-contentalign-left'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr valign='top'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">←Régebbi változat</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">A lap 2016. május 3., 12:37-kori változata</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno">1. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">1. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>==Laurent-sorfejtés==</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>==Laurent-sorfejtés==</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div>'''1.''' Határozzuk meg az  </div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>'''1. <ins class="diffchange diffchange-inline">a</ins>''' Határozzuk meg az  </div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>f(z)=\frac{2}{(z-2i)(z-4)}</math></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>f(z)=\frac{2}{(z-2i)(z-4)}</math></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div>függvény 1 körüli Laurent-sorait!</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>függvény 1 körüli Laurent-sorait! <ins class="diffchange diffchange-inline">Melyik sor állítja elő a függvényt a 3+2i pontban?</ins></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>''Mo.'' Mivel</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>''Mo.'' Mivel</div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-lineno">13. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">13. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>A sort a <math>z_0=1</math> körül kell sorba fejteni, azaz a <math>z-1</math> hatványai szerepelnek majd az összegben. Ehhez z-1-nek szerepelnie kell a nevezőkben:</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>A sort a <math>z_0=1</math> körül kell sorba fejteni, azaz a <math>z-1</math> hatványai szerepelnek majd az összegben. Ehhez z-1-nek szerepelnie kell a nevezőkben:</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>f(z)=\frac{\frac{1}{-i+2}}{z-1+1-4}-\frac{\frac{1}{-i+2}}{z-1+1-2i}=\frac{\frac{1}{-i+2}}{z-1-3}-\frac{\frac{1}{-i+2}}{z-1+1-2i}</math></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>f(z)=\frac{\frac{1}{-i+2}}{z-1+1-4}-\frac{\frac{1}{-i+2}}{z-1+1-2i}=\frac{\frac{1}{-i+2}}{z-1-3}-\frac{\frac{1}{-i+2}}{z-1+1-2i}</math></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div>Két szingularitás: <math>z=4</math> és <math>z=2i</math>. Ezeknek a távolsága a középponttól:</math> |1-4|=3 és <math>|1-2i|=\sqrt{5}</math>. <del class="diffchange diffchange-inline">Tehát </del>három <del class="diffchange diffchange-inline">lehetőségünk van</del>:  </div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>Két szingularitás: <math>z=4</math> és <math>z=2i</math>. Ezeknek a távolsága a középponttól:</math> |1-4|=3 és <math>|1-2i|=\sqrt{5}</math>.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div>:I. A <math><del class="diffchange diffchange-inline">0\leq</del>|z-1|<\sqrt{5}</math> körlap,  </div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">A sorfejtés középpontja, az 1 körül tehát </ins>három <ins class="diffchange diffchange-inline">olyan körgyűrű rajzolható, melyben reguláris lesz a függvény</ins>: <ins class="diffchange diffchange-inline">I.) |z-1|<|2i-1|, azaz <math>|z-1|<\sqrt{5}</math> II.) |2i-1|<|z-1|<|4-1|, azaz <math>\sqrt{5}<|z-1|<3</math> és III.) 3<|z-1|. A 3+2i pont a II. tartományba esik, mert a sorfejtés középpontjától való távolsága: <math>\sqrt{5}<|3+2i-1|=\sqrt{8}<3</math></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>:I. A <math>|z-1|<\sqrt{5}</math> körlap,  </div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>melyen belül a sor reguláris és <math>z-1</math>-nek csak nemnegatív hatványai szerepelnek a sorban. Ilyenkor "<math>z-1</math> melletti tagból csinálunk mértani sort":</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>melyen belül a sor reguláris és <math>z-1</math>-nek csak nemnegatív hatványai szerepelnek a sorban. Ilyenkor "<math>z-1</math> melletti tagból csinálunk mértani sort":</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>\frac{\frac{1}{-i+2}}{z-1-3}-\frac{\frac{1}{-i+2}}{z-1+1-2i}=\frac{1}{-3}\cdot\frac{\frac{1}{-i+2}}{\frac{z-1}{-3}+1}-\frac{1}{1-2i}\cdot\frac{\frac{1}{-i+2}}{\frac{z-1}{1-2i}+1}=\frac{1}{-3}\cdot\frac{\frac{1}{-i+2}}{1-\frac{z-1}{3}}-\frac{1}{1-2i}\cdot\frac{\frac{1}{-i+2}}{1-\frac{z-1}{2i-1}}</math></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>\frac{\frac{1}{-i+2}}{z-1-3}-\frac{\frac{1}{-i+2}}{z-1+1-2i}=\frac{1}{-3}\cdot\frac{\frac{1}{-i+2}}{\frac{z-1}{-3}+1}-\frac{1}{1-2i}\cdot\frac{\frac{1}{-i+2}}{\frac{z-1}{1-2i}+1}=\frac{1}{-3}\cdot\frac{\frac{1}{-i+2}}{1-\frac{z-1}{3}}-\frac{1}{1-2i}\cdot\frac{\frac{1}{-i+2}}{1-\frac{z-1}{2i-1}}</math></div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-lineno">30. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">32. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:Végül a |z-1|>3  körgyűrűn</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:Végül a |z-1|>3  körgyűrűn</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>::<math>f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{3i-6}\cdot\left(\frac{1}{z-1}\right)^{n+1}-\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(2i-1)^n}{-i+2}\frac{1}{(z-1)^{n+1}}</math></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>::<math>f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{3i-6}\cdot\left(\frac{1}{z-1}\right)^{n+1}-\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(2i-1)^n}{-i+2}\frac{1}{(z-1)^{n+1}}</math></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del class="diffchange diffchange-inline"> </del>'''<del class="diffchange diffchange-inline">HF</del>''' Fejtsük sorba a 0 körül az  </div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>'''<ins class="diffchange diffchange-inline">1. b</ins>''' Fejtsük sorba a 0 körül az  </div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>f(z)=\frac{1}{z(1+z^2)}\,</math></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>f(z)=\frac{1}{z(1+z^2)}\,</math></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div>függvényt!</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>függvényt! <ins class="diffchange diffchange-inline">Melyik sor állítja elő a függvényt az 1+2i-ben?</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">''Mo.'' A szingularitások: 0, +i, -i. A sorfejtés középpontja, a nulla körül tehát két olyan körgyűrű rajzolható, melyben reguláris lesz a függvény: I.) 0<|z|<1 és II.) |z|>1. Az 1+2i pont a II. tartományba esik, mert <math>1<|1+2i|\sqrt{5}</math></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">:I.)</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>==Komplex egyenlet==</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>==Komplex egyenlet==</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>'''2. a) ''' Oldjuk meg az  </div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>'''2. a) ''' Oldjuk meg az  </div></td></tr>
</table>Mozohttp://wiki.math.bme.hu/index.php?title=A3_2016_gyak_2&diff=11628&oldid=prevMozo: /* Reziduum és körintegrál */2016-05-02T20:12:06Z<p><span class="autocomment">Reziduum és körintegrál</span></p>
<table class='diff diff-contentalign-left'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr valign='top'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">←Régebbi változat</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">A lap 2016. május 2., 20:12-kori változata</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno">71. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">71. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>\oint\limits_{|z|=1}\frac{\cos z}{\sin 2z}\,dz</math></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>\oint\limits_{|z|=1}\frac{\cos z}{\sin 2z}\,dz</math></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>c)  </div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>c)  </div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>\oint\limits_{|z|=2}\frac{<del class="diffchange diffchange-inline">1</del>}{z}\cos \frac{1}{z}\,dz</math></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>\oint\limits_{|z|=2}\frac{<ins class="diffchange diffchange-inline">2</ins>}{z}\cos \frac{1}{z}\,dz</math></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>''Mo.'' a) Szingularitásai: <math>\sin z=0\,</math>; <math>z=k\pi\,</math>, tehát a körön belül csak a z=0-ban szakad. Mivel a számláló és a nevező is 0 a nullában, ezért a L'H-lal kiszámítható a határértéke, ha van. L'H-lal:</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>''Mo.'' a) Szingularitásai: <math>\sin z=0\,</math>; <math>z=k\pi\,</math>, tehát a körön belül csak a z=0-ban szakad. Mivel a számláló és a nevező is 0 a nullában, ezért a L'H-lal kiszámítható a határértéke, ha van. L'H-lal:</div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-lineno">104. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">104. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>Most k=1, azaz k-1=0, azaz nem kell deriválni, csak határértéket számítani:</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>Most k=1, azaz k-1=0, azaz nem kell deriválni, csak határértéket számítani:</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>\oint\limits_{|z|=1}\frac{\cos z}{\sin 2z}\,dz=2\pi i\lim\limits_{z\to 0}z\cdot\frac{\cos z}{\sin 2z}=2\pi i\lim\limits_{z\to 0}\cos z\cdot\frac{1}{2}\cdot \frac{2z}{\sin 2z}=\pi i</math></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>\oint\limits_{|z|=1}\frac{\cos z}{\sin 2z}\,dz=2\pi i\lim\limits_{z\to 0}z\cdot\frac{\cos z}{\sin 2z}=2\pi i\lim\limits_{z\to 0}\cos z\cdot\frac{1}{2}\cdot \frac{2z}{\sin 2z}=\pi i</math></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">c) Csak a 0-ban szakad (de ott nagyon). Laurent-sorba fejtve <math>\cos \frac{1}{z}</math>-t:</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">:<math>\cos \frac{1}{z}=1-\frac{1}{2}\frac{1}{z^2}+\frac{1}{4!}\frac{1}{z^4}-\frac{1}{6!}\frac{1}{z^6}+\dots</math></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">azaz a Laurent-sor főrészében végtelen sok tag van, ez azt jelenti, hogy függvénynek a nullában '''lényeges szingularitása van.''' Ilyen függvény integrálját reziduumtétellel szoktuk kiszámítani. Innen:</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">:<math>\frac{2}{z}\cos \frac{1}{z}=\frac{2}{z}\left(1-\frac{1}{2}\frac{1}{z^2}+\frac{1}{4!}\frac{1}{z^4}-\frac{1}{6!}\frac{1}{z^6}+\dots\right)=\frac{2}{z}-\frac{2}{2}\frac{1}{z^3}+\frac{2}{4!}\frac{2}{z^5}-\frac{2}{6!}\frac{1}{z^7}+\dots</math></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">Leolvasva a reziduumot, az 1/z együtthatója: </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">:<math>\mathrm{Rez}_0\left(\frac{1}{z}\cos \frac{1}{z}\right)=2</math></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">:<math>\oint\limits_{|z|=2}\frac{2}{z}\cos \frac{1}{z}\,dz=4\pi i</math></ins></div></td></tr>
</table>Mozohttp://wiki.math.bme.hu/index.php?title=A3_2016_gyak_2&diff=11627&oldid=prevMozo: /* Reziduum és körintegrál */2016-05-02T19:50:19Z<p><span class="autocomment">Reziduum és körintegrál</span></p>
<table class='diff diff-contentalign-left'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr valign='top'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">←Régebbi változat</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">A lap 2016. május 2., 19:50-kori változata</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno">97. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">97. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>\oint\limits_{|z|=1}\frac{\cos z}{\sin 2z}\,dz=\oint\limits_{|z|=1}\frac{\frac{1}{2}\cos z\frac{2z}{\sin 2z}}{z}\,dz=</math></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>\oint\limits_{|z|=1}\frac{\cos z}{\sin 2z}\,dz=\oint\limits_{|z|=1}\frac{\frac{1}{2}\cos z\frac{2z}{\sin 2z}}{z}\,dz=</math></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>a számlálóban reguláris, a nevezőben elsőfokú, azaz a nulladik deriváltra vontkozó Cauchy-integrálformulából:</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>a számlálóban reguláris, a nevezőben elsőfokú, azaz a nulladik deriváltra vontkozó Cauchy-integrálformulából:</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>=\oint\limits_{|z|=1}\frac{\frac{1}{2}\<del class="diffchange diffchange-inline">cos z</del>\frac{2z}{\sin 2z}}{z}\,dz=2\pi i\lim\limits_{z\to 0}\frac{1}{2}\<del class="diffchange diffchange-inline">cos z</del>\frac{2z}{\sin 2z}=2\pi i\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1=\pi i</math></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>=\oint\limits_{|z|=1}\frac{<ins class="diffchange diffchange-inline">\cos z\cdot </ins>\frac{1}{2}\<ins class="diffchange diffchange-inline">cdot</ins>\frac{2z}{\sin 2z}}{z}\,dz=2\pi i\lim\limits_{z\to 0}<ins class="diffchange diffchange-inline">\cos z\cdot </ins>\frac{1}{2}\<ins class="diffchange diffchange-inline">cdot</ins>\frac{2z}{\sin 2z}=2\pi i\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1<ins class="diffchange diffchange-inline">=\pi i</math></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">''3. megoldás.'' Az általános reziduumszámítós képlettel. k-adfokú pólus esetén</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">:<math></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">\mathrm{Res}_{z_0}f=\frac{1}{(k-1)!}\lim\limits_{z\to z_0}((z-z_0)^k f(z))^{(k-1)}</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline"></math></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">Most k=1, azaz k-1=0, azaz nem kell deriválni, csak határértéket számítani:</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">:<math>\oint\limits_{|z|=1}\frac{\cos z}{\sin 2z}\,dz=2\pi i\lim\limits_{z\to 0}z\cdot\frac{\cos z}{\sin 2z}=2\pi i\lim\limits_{z\to 0}\cos z\cdot\frac{1}{2}\cdot \frac{2z}{\sin 2z}</ins>=\pi i</math></div></td></tr>
</table>Mozohttp://wiki.math.bme.hu/index.php?title=A3_2016_gyak_2&diff=11626&oldid=prevMozo: /* Reziduum és körintegrál */2016-05-02T19:39:52Z<p><span class="autocomment">Reziduum és körintegrál</span></p>
<table class='diff diff-contentalign-left'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr valign='top'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">←Régebbi változat</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">A lap 2016. május 2., 19:39-kori változata</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno">92. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">92. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>Innen a reziduumtétellel:  </div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>Innen a reziduumtétellel:  </div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>\oint\limits_{|z|=1}\frac{\cos z}{\sin 2z}\,dz=2\pi i \cdot\mathrm{Res}_0(\left(\frac{\cos z}{\sin 2z}\right)=\pi i</math></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>\oint\limits_{|z|=1}\frac{\cos z}{\sin 2z}\,dz=2\pi i \cdot\mathrm{Res}_0(\left(\frac{\cos z}{\sin 2z}\right)=\pi i</math></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div>''2. megoldás.'' Felhasználva, hogy  </div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>''2. megoldás.'' <ins class="diffchange diffchange-inline">C.i.f.-fel. </ins>Felhasználva, hogy  </div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>\lim\limits_{z\to 0}\frac{2z}{\sin 2z}=1</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>\lim\limits_{z\to 0}\frac{2z}{\sin 2z}=1</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div></math></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div></math></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>\oint\limits_{|z|=1}\frac{\cos z}{\sin 2z}\,dz=\oint\limits_{|z|=1}\frac{\frac{1}{2}\cos z\frac{2z}{\sin 2z}}{z}\,dz=</math></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>\oint\limits_{|z|=1}\frac{\cos z}{\sin 2z}\,dz=\oint\limits_{|z|=1}\frac{\frac{1}{2}\cos z\frac{2z}{\sin 2z}}{z}\,dz=</math></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>a számlálóban reguláris, a nevezőben elsőfokú, azaz a nulladik deriváltra vontkozó Cauchy-integrálformulából:</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>a számlálóban reguláris, a nevezőben elsőfokú, azaz a nulladik deriváltra vontkozó Cauchy-integrálformulából:</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>=\oint\limits_{|z|=1}\frac{\frac{1}{2}\cos z\frac{2z}{\sin 2z}}{z}\,dz=2\pi i\<del class="diffchange diffchange-inline">lim_</del>\limits_{z\to 0}\frac{1}{2}\cos z\frac{2z}{\sin 2z}=2\pi i\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1=\pi i</math></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>=\oint\limits_{|z|=1}\frac{\frac{1}{2}\cos z\frac{2z}{\sin 2z}}{z}\,dz=2\pi i\<ins class="diffchange diffchange-inline">lim</ins>\limits_{z\to 0}\frac{1}{2}\cos z\frac{2z}{\sin 2z}=2\pi i\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1=\pi i</math></div></td></tr>
</table>Mozohttp://wiki.math.bme.hu/index.php?title=A3_2016_gyak_2&diff=11625&oldid=prevMozo: /* Reziduum és körintegrál */2016-05-02T19:39:02Z<p><span class="autocomment">Reziduum és körintegrál</span></p>
<table class='diff diff-contentalign-left'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr valign='top'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">←Régebbi változat</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">A lap 2016. május 2., 19:39-kori változata</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno">85. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">85. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>b) Szingularitásai: <math>\sin 2z=0\,</math>; <math>z=k\frac{\pi}{2}\,</math>, tehát a körön belül csak a z=0-ban szakad. Itt <math>\cos(0)=1</math> és  </div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>b) Szingularitásai: <math>\sin 2z=0\,</math>; <math>z=k\frac{\pi}{2}\,</math>, tehát a körön belül csak a z=0-ban szakad. Itt <math>\cos(0)=1</math> és  </div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>\sin 2z=2z-\frac{(2z)^3}{3!}+\frac{(2z)^5}{5!}-\frac{(2z)^7}{7!}+\dots=(2z)(1-\frac{(2z)^2}{3!}+\frac{(2z)^4}{5!}-\frac{(2z)^6}{7!}+\dots)</math></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>\sin 2z=2z-\frac{(2z)^3}{3!}+\frac{(2z)^5}{5!}-\frac{(2z)^7}{7!}+\dots=(2z)(1-\frac{(2z)^2}{3!}+\frac{(2z)^4}{5!}-\frac{(2z)^6}{7!}+\dots)</math></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div>azaz '''pólusszingularitása''' van és '''elsőfokú pólusa van a nullában'''. Ezt onnan tudjuk, hogy <math>\cos(0)\ne 0</math>, és a nevező gyöktényezőjét, ''2z''-t az első hatványon lehet a legmagasabb hatványon kiemelni a sorból. Alkalmazhatjuk tehát az elsőrendű pólus reziduumának képletét:</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>azaz '''pólusszingularitása''' van és '''elsőfokú pólusa van a nullában'''. Ezt onnan tudjuk, hogy <math>\cos(0)\ne 0</math>, és a nevező gyöktényezőjét, ''2z''-t az első hatványon lehet a legmagasabb hatványon kiemelni a sorból.  </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">''1. megoldás.'' </ins>Alkalmazhatjuk tehát az elsőrendű pólus reziduumának képletét:</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>Res_{z_0}\left(\frac{h(z)}{g(z)}\right)=\left.\frac{h(z)}{g'(z)}\right|_{z_0}\qquad h(z_0)\ne 0, \;g'(z_0)\ne 0,\;g(z_0)=0</math></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>Res_{z_0}\left(\frac{h(z)}{g(z)}\right)=\left.\frac{h(z)}{g'(z)}\right|_{z_0}\qquad h(z_0)\ne 0, \;g'(z_0)\ne 0,\;g(z_0)=0</math></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>Res_0(\frac{\cos z}{\sin 2z})=\frac{\cos 0}{\sin(2z)'|_{z=0}}=\frac{1}{2}</math></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>Res_0(\frac{\cos z}{\sin 2z})=\frac{\cos 0}{\sin(2z)'|_{z=0}}=\frac{1}{2}</math></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">Innen a reziduumtétellel: </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">:<math>\oint\limits_{|z|=1}\frac{\cos z}{\sin 2z}\,dz=2\pi i \cdot\mathrm{Res}_0(\left(\frac{\cos z}{\sin 2z}\right)=\pi i</math></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">''2. megoldás.'' Felhasználva, hogy </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">:<math>\lim\limits_{z\to 0}\frac{2z}{\sin 2z}=1</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></math></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">:<math>\oint\limits_{|z|=1}\frac{\cos z}{\sin 2z}\,dz=\oint\limits_{|z|=1}\frac{\frac{1}{2}\cos z\frac{2z}{\sin 2z}}{z}\,dz=</math></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">a számlálóban reguláris, a nevezőben elsőfokú, azaz a nulladik deriváltra vontkozó Cauchy-integrálformulából:</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">:<math>=\oint\limits_{|z|=1}\frac{\frac{1}{2}\cos z\frac{2z}{\sin 2z}}{z}\,dz=2\pi i\lim_\limits_{z\to 0}\frac{1}{2}\cos z\frac{2z}{\sin 2z}=2\pi i\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1=\pi i</math></ins></div></td></tr>
</table>Mozohttp://wiki.math.bme.hu/index.php?title=A3_2016_gyak_2&diff=11624&oldid=prevMozo: /* Reziduum és körintegrál */2016-05-02T19:28:13Z<p><span class="autocomment">Reziduum és körintegrál</span></p>
<table class='diff diff-contentalign-left'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr valign='top'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">←Régebbi változat</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">A lap 2016. május 2., 19:28-kori változata</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno">81. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">81. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>\lim\limits_{z\to 0}\frac{e^z-1}{\sin z}=\lim\limits_{z\to 0}\frac{e^z-1}{z}\frac{z}{\sin z}=1</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>\lim\limits_{z\to 0}\frac{e^z-1}{\sin z}=\lim\limits_{z\to 0}\frac{e^z-1}{z}\frac{z}{\sin z}=1</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div></math></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div></math></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div>Tehát megszüntethető a <del class="diffchange diffchange-inline">szakadás</del>. Ez a függvény megtévesztésig hasonlít egy reguláris függvényre, azaz az integrálja a Cauchy-integráltétel miatt 0. Vagy reguláris a 0-n kívül, a körön belül és mivel ott megszüntethető a szingularitás, ezért nincs a Laurent-sorában főrész, azaz nincs <math>\frac{1}{z}</math>-s tag. Emiatt <math>Res_0^f=0</math>. Innen:</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>Tehát <ins class="diffchange diffchange-inline">'''</ins>megszüntethető a <ins class="diffchange diffchange-inline">szingularitás'''</ins>. Ez a függvény megtévesztésig hasonlít egy reguláris függvényre, azaz az integrálja a Cauchy-integráltétel miatt 0. Vagy reguláris a 0-n kívül, a körön belül és mivel ott megszüntethető a szingularitás, ezért nincs a Laurent-sorában főrész, azaz nincs <math>\frac{1}{z}</math>-s tag. Emiatt <math>Res_0^f=0</math>. Innen:</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>\oint\limits_{|z|=2}\frac{e^z-1}{\sin z}\,dz=0</math></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>\oint\limits_{|z|=2}\frac{e^z-1}{\sin z}\,dz=0</math></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>b) Szingularitásai: <math>\sin 2z=0\,</math>; <math>z=k\frac{\pi}{2}\,</math>, tehát a körön belül csak a z=0-ban szakad. Itt <math>\cos(0)=1</math> és  </div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>b) Szingularitásai: <math>\sin 2z=0\,</math>; <math>z=k\frac{\pi}{2}\,</math>, tehát a körön belül csak a z=0-ban szakad. Itt <math>\cos(0)=1</math> és  </div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>\sin 2z=2z-\frac{(2z)^3}{3!}+\frac{(2z)^5}{5!}-\frac{(2z)^7}{7!}+\dots=(2z)(1-\frac{(2z)^2}{3!}+\frac{(2z)^4}{5!}-\frac{(2z)^6}{7!}+\dots)</math></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>\sin 2z=2z-\frac{(2z)^3}{3!}+\frac{(2z)^5}{5!}-\frac{(2z)^7}{7!}+\dots=(2z)(1-\frac{(2z)^2}{3!}+\frac{(2z)^4}{5!}-\frac{(2z)^6}{7!}+\dots)</math></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div>azaz elsőfokú pólusa van a nullában. Ezt onnan tudjuk, hogy <math>\cos(0)\ne 0</math>, és a nevező gyöktényezőjét, ''2z''-t az első hatványon lehet a legmagasabb hatványon kiemelni a sorból. Alkalmazhatjuk tehát az elsőrendű pólus reziduumának képletét:</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>azaz <ins class="diffchange diffchange-inline">'''pólusszingularitása''' van és '''</ins>elsőfokú pólusa van a nullában<ins class="diffchange diffchange-inline">'''</ins>. Ezt onnan tudjuk, hogy <math>\cos(0)\ne 0</math>, és a nevező gyöktényezőjét, ''2z''-t az első hatványon lehet a legmagasabb hatványon kiemelni a sorból. Alkalmazhatjuk tehát az elsőrendű pólus reziduumának képletét:</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>Res_{z_0}\left(\frac{h(z)}{g(z)}\right)=\left.\frac{h(z)}{g'(z)}\right|_{z_0}\qquad h(z_0)\ne 0, \;g'(z_0)\ne 0,\;g(z_0)=0</math></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>Res_{z_0}\left(\frac{h(z)}{g(z)}\right)=\left.\frac{h(z)}{g'(z)}\right|_{z_0}\qquad h(z_0)\ne 0, \;g'(z_0)\ne 0,\;g(z_0)=0</math></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>Res_0(\frac{\cos z}{\sin 2z})=\frac{\cos 0}{\sin(2z)'|_{z=0}}=\frac{1}{2}</math></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>Res_0(\frac{\cos z}{\sin 2z})=\frac{\cos 0}{\sin(2z)'|_{z=0}}=\frac{1}{2}</math></div></td></tr>
</table>Mozo