http://wiki.math.bme.hu/history/Dimenzi%C3%B3t%C3%A9tel?feed=atom&Dimenziótétel - Laptörténet2024-03-28T11:19:25ZAz oldal laptörténete a wikibenMediaWiki 1.18.1http://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Dimenzi%C3%B3t%C3%A9tel&diff=3685&oldid=prevMozo, 2008. május 25., 07:14-n2008-05-25T07:14:43Z<p></p>
<table class='diff diff-contentalign-left'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr valign='top'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">←Régebbi változat</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">A lap 2008. május 25., 07:14-kori változata</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno">1. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">1. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div>A '''dimenziótétel''' <del class="diffchange diffchange-inline">az </del>lineáris leképezések magterének és képterének dimenziója közötti szoros (komplementer jellegű) kapcsolatra mutat rá. Azt állítja, hogy ha '''A''': ''V'' <math>\to</math> ''U'' lineáris leképezés, ahol ''V'' véges dimenziós vektortér, ''U'' pedig tetszőleges vektortér, akkor  </div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>A '''dimenziótétel''' <ins class="diffchange diffchange-inline">a </ins>lineáris leképezések magterének és képterének dimenziója közötti szoros (komplementer jellegű) kapcsolatra mutat rá. Azt állítja, hogy ha '''A''': ''V'' <math>\to</math> ''U'' lineáris leképezés, ahol ''V'' véges dimenziós vektortér, ''U'' pedig tetszőleges vektortér, akkor  </div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>\mathrm{dim}\,\mathrm{Ker}(\mathbf{A}) + \mathrm{dim}\,\mathrm{Im}(\mathbf{A}) = \mathrm{dim}(V)</math></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>\mathrm{dim}\,\mathrm{Ker}(\mathbf{A}) + \mathrm{dim}\,\mathrm{Im}(\mathbf{A}) = \mathrm{dim}(V)</math></div></td></tr>
</table>Mozohttp://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Dimenzi%C3%B3t%C3%A9tel&diff=3682&oldid=prevMozo: /* Megjegyzés */2008-05-24T15:10:44Z<p><span class="autocomment">Megjegyzés</span></p>
<table class='diff diff-contentalign-left'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr valign='top'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">←Régebbi változat</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">A lap 2008. május 24., 15:10-kori változata</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno">62. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">62. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>és közben  </div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>és közben  </div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>v=\mu_1c_1+\mu_2c_2+...+\mu_kc_k\,</math></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>v=\mu_1c_1+\mu_2c_2+...+\mu_kc_k\,</math></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div>akkor mindkét egyenletben a skalárok között lenne nemnulla, és a két egyenletet kivonva egymásból hpnánk, hogy a 0 vektor előáll olyan B és C-beli elemek lineáris kombinációjaként, ahol az együtthatók között van nemnulla. Ez viszont az jelentené, hogy B <del class="diffchange diffchange-inline">+ </del>C nem független rendszer (holott B <del class="diffchange diffchange-inline">+ </del>C a B egy kibővítése a ''V'' bázisává).</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>akkor mindkét egyenletben a skalárok között lenne nemnulla, és a két egyenletet kivonva egymásból hpnánk, hogy a 0 vektor előáll olyan B és C-beli elemek lineáris kombinációjaként, ahol az együtthatók között van nemnulla. Ez viszont az jelentené, hogy B <ins class="diffchange diffchange-inline">U </ins>C nem független rendszer (holott B <ins class="diffchange diffchange-inline">U </ins>C a B egy kibővítése a ''V'' bázisává).</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>Ilyenkor azt mondjuk, hogy a ''V'' vektorteret előállítottuk a B által kifeszített és a C által kifeszített alterek '''direkt összeg'''eként:</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>Ilyenkor azt mondjuk, hogy a ''V'' vektorteret előállítottuk a B által kifeszített és a C által kifeszített alterek '''direkt összeg'''eként:</div></td></tr>
</table>Mozohttp://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Dimenzi%C3%B3t%C3%A9tel&diff=3681&oldid=prevMozo: /* Bizonyítás */2008-05-24T15:10:10Z<p><span class="autocomment">Bizonyítás</span></p>
<table class='diff diff-contentalign-left'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr valign='top'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">←Régebbi változat</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">A lap 2008. május 24., 15:10-kori változata</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno">57. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">57. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>vagyis, amit be akartunk látni.</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>vagyis, amit be akartunk látni.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">'''</del>Megjegyzés<del class="diffchange diffchange-inline">.''' </del>Világos, hogy a fenti bizonyításban a B által generál altér és a C által generált altér közös része a {0} (vagyis csak a 0-t állítják elő mindeketten). Ugyanis, ha lenne ''v'' &ne; 0, hogy  </div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">===</ins>Megjegyzés<ins class="diffchange diffchange-inline">===</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>Világos, hogy a fenti bizonyításban a B által generál altér és a C által generált altér közös része a {0} (vagyis csak a 0-t állítják elő mindeketten). Ugyanis, ha lenne ''v'' &ne; 0, hogy  </div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>v=\lambda_1b_1+\lambda_2b_2+...+\lambda_kc_k\,</math></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>v=\lambda_1b_1+\lambda_2b_2+...+\lambda_kc_k\,</math></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>és közben  </div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>és közben  </div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-lineno">64. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">65. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>Ilyenkor azt mondjuk, hogy a ''V'' vektorteret előállítottuk a B által kifeszített és a C által kifeszített alterek '''direkt összeg'''eként:</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>Ilyenkor azt mondjuk, hogy a ''V'' vektorteret előállítottuk a B által kifeszített és a C által kifeszített alterek '''direkt összeg'''eként:</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math><del class="diffchange diffchange-inline">\mathbf{R}^{n}</del>=\langle B\rangle\oplus\langle C\rangle\,</math></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math><ins class="diffchange diffchange-inline">V</ins>=\langle B\rangle\oplus\langle C\rangle\,</math></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>[[Kategória: Lineáris algebra]]</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>[[Kategória: Lineáris algebra]]</div></td></tr>
</table>Mozohttp://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Dimenzi%C3%B3t%C3%A9tel&diff=3680&oldid=prevMozo, 2008. május 24., 15:09-n2008-05-24T15:09:34Z<p></p>
<table class='diff diff-contentalign-left'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr valign='top'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">←Régebbi változat</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">A lap 2008. május 24., 15:09-kori változata</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno">1. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">1. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>A '''dimenziótétel''' az lineáris leképezések magterének és képterének dimenziója közötti szoros (komplementer jellegű) kapcsolatra mutat rá. Azt állítja, hogy ha '''A''': ''V'' <math>\to</math> ''U'' lineáris leképezés, ahol ''V'' véges dimenziós vektortér, ''U'' pedig tetszőleges vektortér, akkor  </div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>A '''dimenziótétel''' az lineáris leképezések magterének és képterének dimenziója közötti szoros (komplementer jellegű) kapcsolatra mutat rá. Azt állítja, hogy ha '''A''': ''V'' <math>\to</math> ''U'' lineáris leképezés, ahol ''V'' véges dimenziós vektortér, ''U'' pedig tetszőleges vektortér, akkor  </div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>\mathrm{dim}\mathrm{Ker}(\mathbf{A}) + \mathrm{dim}\mathrm{Im}(\mathbf{A}) = \mathrm{dim}(V)</math></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>\mathrm{dim}<ins class="diffchange diffchange-inline">\,</ins>\mathrm{Ker}(\mathbf{A}) + \mathrm{dim}<ins class="diffchange diffchange-inline">\,</ins>\mathrm{Im}(\mathbf{A}) = \mathrm{dim}(V)</math></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>==Magtér és Képtér==</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>==Magtér és Képtér==</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>===Magtér===</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>===Magtér===</div></td></tr>
</table>Mozohttp://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Dimenzi%C3%B3t%C3%A9tel&diff=3679&oldid=prevMozo: /* Képtér */2008-05-24T15:09:07Z<p><span class="autocomment">Képtér</span></p>
<table class='diff diff-contentalign-left'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr valign='top'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">←Régebbi változat</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">A lap 2008. május 24., 15:09-kori változata</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno">13. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">13. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>===Képtér===</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>===Képtér===</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div>Az '''A''' : '''<del class="diffchange diffchange-inline">R</del>'<del class="diffchange diffchange-inline">''<sup>n</sup> </del><math>\to</math> '''<del class="diffchange diffchange-inline">R</del>'<del class="diffchange diffchange-inline">''<sup>m</sup> </del>lineáris leképezés képtere:</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>Az '''A''' : ''<ins class="diffchange diffchange-inline">V</ins>'' <math>\to</math> ''<ins class="diffchange diffchange-inline">U</ins>'' lineáris leképezés képtere:</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>\mathrm{Im}(\mathbf{A})=_{\mathrm{def}}\{\mathbf{A}v\in <del class="diffchange diffchange-inline">\mathbf{R}^m</del>\mid v\in <del class="diffchange diffchange-inline">\mathbf{R}^n</del>\}</math></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>\mathrm{Im}(\mathbf{A})=_{\mathrm{def}}\{\mathbf{A}v\in <ins class="diffchange diffchange-inline">U</ins>\mid v\in <ins class="diffchange diffchange-inline">V</ins>\}</math></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>világos, hogy ez [[lineáris altér|altér]]. Ugyanis ''alkalmas'' ''v'' és ''u'' vektorokkal:</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>világos, hogy ez [[lineáris altér|altér]]. Ugyanis ''alkalmas'' ''v'' és ''u'' vektorokkal:</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>\mathbf{A}v+\mathbf{A}u=\mathbf{A}(v+u)</math></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>\mathbf{A}v+\mathbf{A}u=\mathbf{A}(v+u)</math></div></td></tr>
</table>Mozohttp://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Dimenzi%C3%B3t%C3%A9tel&diff=3678&oldid=prevMozo: /* Magtér */2008-05-24T15:08:32Z<p><span class="autocomment">Magtér</span></p>
<table class='diff diff-contentalign-left'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr valign='top'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">←Régebbi változat</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">A lap 2008. május 24., 15:08-kori változata</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno">4. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">4. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>==Magtér és Képtér==</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>==Magtér és Képtér==</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>===Magtér===</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>===Magtér===</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div>Az '''A''' : '''<del class="diffchange diffchange-inline">R</del>'<del class="diffchange diffchange-inline">''<sup>n</sup> </del><math>\to</math> '''<del class="diffchange diffchange-inline">R</del>'<del class="diffchange diffchange-inline">''<sup>m</sup> </del>lineáris leképezés magtere:</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>Az '''A''' : ''<ins class="diffchange diffchange-inline">V</ins>'' <math>\to</math> ''<ins class="diffchange diffchange-inline">U</ins>'' lineáris leképezés magtere:</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>\mathrm{Ker}(\mathbf{A})=_{\mathrm{def}}\{v\in <del class="diffchange diffchange-inline">\mathbf{R}^n</del>\mid \mathbf{A}v=0\}</math></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>\mathrm{Ker}(\mathbf{A})=_{\mathrm{def}}\{v\in <ins class="diffchange diffchange-inline">V</ins>\mid \mathbf{A}v=0\}</math></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>világos, hogy ez [[lineáris altér|altér]]. Ugyanis altér jelemzhető úgy, mint olyan részhalmaz a térben, mely zárt az összeadásra és a skalárral történő szorzásra. De Ker('''A''') ilyen, mert ''tetszőleges'' ''u'', ''v'' vektorra  </div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>világos, hogy ez [[lineáris altér|altér]]. Ugyanis altér jelemzhető úgy, mint olyan részhalmaz a térben, mely zárt az összeadásra és a skalárral történő szorzásra. De Ker('''A''') ilyen, mert ''tetszőleges'' ''u'', ''v'' vektorra  </div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>\mathbf{A}v=0\;\land\;\mathbf{A}u=0 \quad \Rightarrow\quad\mathbf{A}v+\mathbf{A}u=0\quad \Rightarrow\quad\mathbf{A}(v+u)=0</math></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>\mathbf{A}v=0\;\land\;\mathbf{A}u=0 \quad \Rightarrow\quad\mathbf{A}v+\mathbf{A}u=0\quad \Rightarrow\quad\mathbf{A}(v+u)=0</math></div></td></tr>
</table>Mozohttp://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Dimenzi%C3%B3t%C3%A9tel&diff=3677&oldid=prevMozo, 2008. május 24., 15:07-n2008-05-24T15:07:49Z<p></p>
<table class='diff diff-contentalign-left'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr valign='top'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">←Régebbi változat</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">A lap 2008. május 24., 15:07-kori változata</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno">2. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">2. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>\mathrm{dim}\mathrm{Ker}(\mathbf{A}) + \mathrm{dim}\mathrm{Im}(\mathbf{A}) = \mathrm{dim}(V)</math></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>\mathrm{dim}\mathrm{Ker}(\mathbf{A}) + \mathrm{dim}\mathrm{Im}(\mathbf{A}) = \mathrm{dim}(V)</math></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">==Magtér és Képtér==</ins></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>===Magtér===</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>===Magtér===</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>Az '''A''' : '''R'''<sup>n</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup> lineáris leképezés magtere:</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>Az '''A''' : '''R'''<sup>n</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup> lineáris leképezés magtere:</div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-lineno">21. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">21. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>A speciális ''V'' = '''R'''<sup>n</sup>, ''U'' = '''R'''<sup>m</sup>, esetben például úgy nyerünk bázist, hogy a '''A''' leképezés <nowiki>[</nowiki>'''A'''<nowiki>]</nowiki> mátrixának oszlopvektorai közül [[Gauss-elimináció]]val kiválasztjuk a legtöbb vektort tartalmazó lineárisan független rendszert (példa [[Lineáris altér#4. (képtér)|itt]]).</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>A speciális ''V'' = '''R'''<sup>n</sup>, ''U'' = '''R'''<sup>m</sup>, esetben például úgy nyerünk bázist, hogy a '''A''' leképezés <nowiki>[</nowiki>'''A'''<nowiki>]</nowiki> mátrixának oszlopvektorai közül [[Gauss-elimináció]]val kiválasztjuk a legtöbb vektort tartalmazó lineárisan független rendszert (példa [[Lineáris altér#4. (képtér)|itt]]).</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">=</del>==Bizonyítás<del class="diffchange diffchange-inline">=</del>==</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>==Bizonyítás==</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>Ha vesszük Ker('''A''') egy  </div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>Ha vesszük Ker('''A''') egy  </div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>B=\{b_1,...,b_k\}\,</math></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>B=\{b_1,...,b_k\}\,</math></div></td></tr>
</table>Mozohttp://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Dimenzi%C3%B3t%C3%A9tel&diff=3676&oldid=prevMozo, 2008. május 24., 15:07-n2008-05-24T15:07:23Z<p></p>
<table class='diff diff-contentalign-left'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr valign='top'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">←Régebbi változat</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">A lap 2008. május 24., 15:07-kori változata</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno">1. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">1. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>A '''dimenziótétel''' az lineáris leképezések magterének és képterének dimenziója közötti szoros (komplementer jellegű) kapcsolatra mutat rá. Azt állítja, hogy ha '''A''': ''V'' <math>\to</math> ''U'' lineáris leképezés, ahol ''V'' véges dimenziós vektortér, ''U'' pedig tetszőleges vektortér, akkor  </div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div>A '''dimenziótétel''' az lineáris leképezések magterének és képterének dimenziója közötti szoros (komplementer jellegű) kapcsolatra mutat rá. Azt állítja, hogy ha '''A''': ''V'' <math>\to</math> ''U'' lineáris leképezés, ahol <del class="diffchange diffchange-inline">'</del>''V'' véges dimenziós vektortér, ''U'' pedig tetszőleges vektortér, akkor  </div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>\mathrm{dim}\mathrm{Ker}(\mathbf{A}) + \mathrm{dim}\mathrm{Im}(\mathbf{A}) = \mathrm{dim}(V)</math></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>\mathrm{dim}\mathrm{Ker}(\mathbf{A}) + \mathrm{dim}\mathrm{Im}(\mathbf{A}) = \mathrm{dim}(V)</math></div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-lineno">67. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">66. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>\mathbf{R}^{n}=\langle B\rangle\oplus\langle C\rangle\,</math></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>\mathbf{R}^{n}=\langle B\rangle\oplus\langle C\rangle\,</math></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div>[[Kategória: <del class="diffchange diffchange-inline">Lináris </del>algebra]]</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>[[Kategória: <ins class="diffchange diffchange-inline">Lineáris </ins>algebra]]</div></td></tr>
</table>Mozohttp://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Dimenzi%C3%B3t%C3%A9tel&diff=3675&oldid=prevMozo, 2008. május 24., 15:07-n2008-05-24T15:07:00Z<p></p>
<p><b>Új lap</b></p><div><br />
A '''dimenziótétel''' az lineáris leképezések magterének és képterének dimenziója közötti szoros (komplementer jellegű) kapcsolatra mutat rá. Azt állítja, hogy ha '''A''': ''V'' <math>\to</math> ''U'' lineáris leképezés, ahol '''V'' véges dimenziós vektortér, ''U'' pedig tetszőleges vektortér, akkor <br />
<br />
:<math>\mathrm{dim}\mathrm{Ker}(\mathbf{A}) + \mathrm{dim}\mathrm{Im}(\mathbf{A}) = \mathrm{dim}(V)</math><br />
<br />
===Magtér===<br />
Az '''A''' : '''R'''<sup>n</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup> lineáris leképezés magtere:<br />
:<math>\mathrm{Ker}(\mathbf{A})=_{\mathrm{def}}\{v\in \mathbf{R}^n\mid \mathbf{A}v=0\}</math><br />
világos, hogy ez [[lineáris altér|altér]]. Ugyanis altér jelemzhető úgy, mint olyan részhalmaz a térben, mely zárt az összeadásra és a skalárral történő szorzásra. De Ker('''A''') ilyen, mert ''tetszőleges'' ''u'', ''v'' vektorra <br />
:<math>\mathbf{A}v=0\;\land\;\mathbf{A}u=0 \quad \Rightarrow\quad\mathbf{A}v+\mathbf{A}u=0\quad \Rightarrow\quad\mathbf{A}(v+u)=0</math><br />
és <br />
:<math>\mathbf{A}v=0\quad \Rightarrow\quad\lambda.(\mathbf{A}v)=0\quad \Rightarrow\quad\mathbf{A}(\lambda.v)=0</math><br />
A speciális ''V'' = '''R'''<sup>n</sup>, ''U'' = '''R'''<sup>m</sup>, esetben például bázist az '''A''' leképezés <nowiki>[</nowiki>'''A'''<nowiki>]</nowiki> mátrixának [[Gauss-elimináció]]jával és az <nowiki>[</nowiki>'''A'''<nowiki>]</nowiki>x=0 homogén egyenletrendszer megoldásával nyerhetünk (példa [[Lineáris altér#3. (magtér)|itt]]).<br />
<br />
===Képtér===<br />
Az '''A''' : '''R'''<sup>n</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup> lineáris leképezés képtere:<br />
:<math>\mathrm{Im}(\mathbf{A})=_{\mathrm{def}}\{\mathbf{A}v\in \mathbf{R}^m\mid v\in \mathbf{R}^n\}</math><br />
világos, hogy ez [[lineáris altér|altér]]. Ugyanis ''alkalmas'' ''v'' és ''u'' vektorokkal:<br />
:<math>\mathbf{A}v+\mathbf{A}u=\mathbf{A}(v+u)</math><br />
és <br />
:<math>\lambda.(\mathbf{A}v)=\mathbf{A}(\lambda.v)</math><br />
A speciális ''V'' = '''R'''<sup>n</sup>, ''U'' = '''R'''<sup>m</sup>, esetben például úgy nyerünk bázist, hogy a '''A''' leképezés <nowiki>[</nowiki>'''A'''<nowiki>]</nowiki> mátrixának oszlopvektorai közül [[Gauss-elimináció]]val kiválasztjuk a legtöbb vektort tartalmazó lineárisan független rendszert (példa [[Lineáris altér#4. (képtér)|itt]]).<br />
<br />
===Bizonyítás===<br />
Ha vesszük Ker('''A''') egy <br />
:<math>B=\{b_1,...,b_k\}\,</math><br />
bázisát (Ker('''A''') dimenziója tehát ''k'') akkor világos, hogy a báziselemek képei által kifeszített <br />
:<math>\langle\mathbf{A}b_1,\mathbf{A}b_2,...,\mathbf{A}b_k\rangle</math><br />
altér az ''U''-beli triviális {0} altér. Világos, hogy ha veszük egy Ker('''A''')-n kívüli ''c'' vektort, akkor ez már nem képeződhet a {0}-ba. Megfogalmazhatjuk tehát azt a sejtést, hogy ha B-t kibővítíjük ''V'' bázisává, mondjuk a <br />
:<math>C=\{c_1,...,c_l\}\,</math><br />
független vektorrendszerrel, akkor C elemeinek képei Im('''A''') bázisát fogja adni. Ezt fogjuk igazolni, azaz hogy <br />
:<math>\langle\mathbf{A}c_1,\mathbf{A}c_2,...,\mathbf{A}c_l\rangle=\mathrm{Im}(\mathbf{A})</math><br />
és ami a tétel állítását igazolja: Im('''A''') dimenziója pont ''l''.<br />
<br />
'''1.''' Először belátjuk, hogy { '''A'''c<sub>1</sub>, '''A'''c<sub>2</sub>, ...,'''A'''c<sub>''l''</sub> } generátorrendszere Im('''A''')-nak. Legyen <br />
:<math>v=\mathbf{A}u\,</math><br />
Mivel ''B'' + ''C'' bázisa ''V''-nek, ezért ''u'' előáll (egyértelmű módon)<br />
:<math>u=\lambda_1b_1+\lambda_2b_2+...+\lambda_kb_k+\mu_1c_1+\mu_2c_2+...+\mu_lc_l\,</math> <br />
alakban. De ''u'' képében a B-beliekkel előállíthatók a {0}-ba mennek, így már a C-ből jövő képek is előállítják '''A'''u-t:<br />
:<math>\mathbf{A}u=\mathbf{A}(\lambda_1b_1+\lambda_2b_2+...+\lambda_kb_k)+\mathbf{A}(\mu_1c_1+\mu_2c_2+...+\mu_lc_l)=</math><br />
:::<math>=0+\mathbf{A}(\mu_1c_1+\mu_2c_2+...+\mu_lc_l)</math><br />
:::<math>=\mu_1\mathbf{A}c_1+\mu_2\mathbf{A}c_2+...+\mu_l\mathbf{A}c_l</math><br />
'''2.''' Belátjuk, hogy { '''A'''c<sub>1</sub>, '''A'''c<sub>2</sub>, ...,'''A'''c<sub>''l''</sub> }<br />
független vektorrendszer is, tehát dimenziója ''l''.<br />
<br />
Tegyük fel, hogy vannak ''&nu;<sub>1</sub>, &nu;<sub>2</sub>, ...,&nu;<sub>l</sub>'' számok, melyekkel<br />
:<math>\nu_1\mathbf{A}c_1+\nu_2\mathbf{A}c_2+...+\nu_l\mathbf{A}c_l=0</math><br />
A függetlenséghez az kell, hogy ''&nu;<sub>1</sub>, &nu;<sub>2</sub>, ...,&nu;<sub>l</sub>''-k mind nullák legyenek. Természetesen a bal oldalon kiemelhetünk '''A'''-t, tehát:<br />
:<math>\mathbf{A}(\nu_1c_1+\nu_2c_2+...+\nu_lc_l)=0</math><br />
Ez viszont pontosan azt jelenti, hogy ha az<br />
:<math>u=\nu_1c_1+\nu_2c_2+...+\nu_lc_l\,</math><br />
rövidítéshez folyamodunk, akkor <br />
:<math>u\in \mathrm{Ker}(\mathbf{A})</math> <br />
azaz az ''u'' vektor B-beli elemekkel is és C-beli elemekkel is előállítható. De ez csak úgy lehet, hogy ''u''=0, ami pedig csak akkor van, ha a ''&nu;<sub>1</sub>, &nu;<sub>2</sub>, ...,&nu;<sub>l</sub>'' számok mind nullák.<br />
<br />
Mindez azt jelenti, hogy { '''A'''c<sub>1</sub>, '''A'''c<sub>2</sub>, ...,'''A'''c<sub>''l''</sub> } bázis, amiből következik, hogy az általa kifeszített altér dimenziója ''l''. De a kifeszített altér pont Im('''A'''), így azt kaptuk, hogy <br />
:<math>\mathrm{dim}(\mathrm{Im}(\mathbf{A}))=n-k\,</math><br />
vagyis, amit be akartunk látni.<br />
<br />
'''Megjegyzés.''' Világos, hogy a fenti bizonyításban a B által generál altér és a C által generált altér közös része a {0} (vagyis csak a 0-t állítják elő mindeketten). Ugyanis, ha lenne ''v'' &ne; 0, hogy <br />
:<math>v=\lambda_1b_1+\lambda_2b_2+...+\lambda_kc_k\,</math><br />
és közben <br />
:<math>v=\mu_1c_1+\mu_2c_2+...+\mu_kc_k\,</math><br />
akkor mindkét egyenletben a skalárok között lenne nemnulla, és a két egyenletet kivonva egymásból hpnánk, hogy a 0 vektor előáll olyan B és C-beli elemek lineáris kombinációjaként, ahol az együtthatók között van nemnulla. Ez viszont az jelentené, hogy B + C nem független rendszer (holott B + C a B egy kibővítése a ''V'' bázisává).<br />
<br />
Ilyenkor azt mondjuk, hogy a ''V'' vektorteret előállítottuk a B által kifeszített és a C által kifeszített alterek '''direkt összeg'''eként:<br />
:<math>\mathbf{R}^{n}=\langle B\rangle\oplus\langle C\rangle\,</math><br />
<br />
[[Kategória: Lináris algebra]]</div>Mozo