http://wiki.math.bme.hu/history/Matematika_A1a_2008/5._gyakorlat?feed=atom&Matematika A1a 2008/5. gyakorlat - Laptörténet2024-03-29T06:24:39ZAz oldal laptörténete a wikibenMediaWiki 1.18.1http://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Matematika_A1a_2008/5._gyakorlat&diff=4281&oldid=prevMozo, 2008. október 14., 08:56-n2008-10-14T08:56:52Z<p></p>
<table class='diff diff-contentalign-left'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr valign='top'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">←Régebbi változat</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">A lap 2008. október 14., 08:56-kori változata</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno">143. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">143. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>B=n^2\,</math></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>B=n^2\,</math></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>szereposztásban.</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>szereposztásban.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">==Monoton, korlátos sorozatok==</del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">A konvergencia alábbi, gyakran alkalmazott, ''elégséges feltétele'' a sorozatok monoton tulajdonságát helyezi előtérbe. Mindezekhez elevenítsük fel a monoton sorozat definícióját.</del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">===Monoton sorozat===</del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">'''Definíció''' –  Azt mondjuk, hogy az (''a''<sub>n</sub>) valós számsorozat</del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"># '''monoton növekvő''', ha minden ''n'' természetes számra teljesül: </del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">#:<math> a_{n}\leq a_{n+1}\,</math></del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">#: '''szigorúan monoton növekvő''', ha minden ''n'' természetes számra teljesül: </del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">#::<math> a_{n}< a_{n+1}\,</math></del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"># '''monoton csökkenő''' vagy '''monoton fogyó''', ha minden ''n'' természetes számra teljesül: </del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">#:<math> a_{n+1}\leq a_n\,</math></del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">#: '''szigorúan monoton csökkenő''', ha minden ''n'' természetes számra teljesül: </del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">#::<math> a_{n+1}< a_n\,</math></del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"># '''monoton''', ha monoton növekvő ''vagy'' monoton csökkenő</del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"># '''szigorúan monoton''', ha szigorúan monoton növekvő ''vagy'' szigorúan monoton csökkenő</del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">'''Megjegyzés.''' A monotonitást, például a szigorú monoton növekedést még úgy is megfogalmazhatjuk, hogy tetszőleges ''n'' > ''m'' természetes számokra: ''a''<sub>n</sub> > ''a''<sub>m</sub></del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">'''Feladat.''' Igazoljuk, hogy az</del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">:<math>a_n=\sin\left(\frac{1}{n}\right)</math></del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">általános tagú sorozatot szigorúan monoton csökken! </del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">''(Útmutatás: használjuk fel, hogy a sin függvény a (0,&pi;/2) intervallumon szigorúan monoton nő.)''</del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">Világos: </del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">:<math>n < n+1\;</math></del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">ezért reciprokot véve</del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">:<math>\frac{1}{n} > \frac{1}{n+1}\;</math></del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">és mivel a sin függvény a (-&pi;/2;+&pi;/2) intervallumon szigorúan monoton növekszik, ezért a fenti egyenlőtlenséget megtartja:</del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">:<math>\sin\left(\frac{1}{n}\right) > \sin\left(\frac{1}{n+1}\right)\;</math></del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">'''Tétel''' – '' a konvergencia monoton korlátossággal megfogalmazott elégséges feltétele'' – Monoton, korlátos sorozat konvergens.</del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"> </del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">''Megjegyzés.'' A konvergencia lokalitásából következik, hogy a tétel állítása olyan korlátos sorozatokra is érvényes, melyek csak egy indextől kezdve monotonak.</del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">'''Bizonyítás.''' Legyen (''a''<sub>n</sub>) monoton, korlátos valós számsorozat. Az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy az (''a''<sub>n</sub>) monoton növekvő. Világos, hogy a sorozat szuprémuma véges. Belátjuk, hogy a sorozat konvergál a sup(''a''<sub>n</sub>) számhoz.</del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">Legyen &epsilon; > 0 tetszőleges. Ekkor a [[Numerikus sorozatok/Korlát és határ#Felsőhatár axióma, határok jellemzése|szuprémum egyenlőtlenségekkel történő jellemzése]] alapján sup(''a''<sub>n</sub>)–&epsilon; már nem felső korlátja (''a''<sub>n</sub>)-nek, így létezik ''N'' természetes szám, hogy </del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">:<math>a_N > \mathrm{sup}(a_n)-\varepsilon\,</math></del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">Mivel (''a''<sub>n</sub>) monoton növekvő, ezért minden ''n'' > ''N'' természetes számra</del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">:<math>a_n\geq a_N\,</math> </del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">így  minden ''n'' > ''N''-re</del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">:<math>\mathrm{sup}(a_n)\geq a_n\geq a_N\,>\mathrm{sup}(a_n)-\varepsilon\,</math> </del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">ami azt jelenti, hogy az ''N''+1 indextől kezdve a sorozat minden tagja benne van a sup(''a''<sub>n</sub>) szám &epsilon; sugarú környezetében.</del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>===Az Euler-féle példa===</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>===Az Euler-féle példa===</div></td></tr>
</table>Mozohttp://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Matematika_A1a_2008/5._gyakorlat&diff=4232&oldid=prevMozo: /* Konvergencia, határérték és műveletek */2008-10-08T08:52:38Z<p><span class="autocomment">Konvergencia, határérték és műveletek</span></p>
<table class='diff diff-contentalign-left'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr valign='top'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">←Régebbi változat</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">A lap 2008. október 8., 08:52-kori változata</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno">89. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">89. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>'''Megjegyzések.''' Világos, hogy sorozatok különbségét nem feltétlenül szükséges külön definiálnunk, hiszen (''a''<sub>n</sub>) - (''b''<sub>n</sub>) sorozat tekinthető úgy, mint a (''a''<sub>n</sub>) + (-1)<math>\cdot</math>(''b''<sub>n</sub>)  sorozat (ahol (-1) az azonosan -1 sorozat).</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>'''Megjegyzések.''' Világos, hogy sorozatok különbségét nem feltétlenül szükséges külön definiálnunk, hiszen (''a''<sub>n</sub>) - (''b''<sub>n</sub>) sorozat tekinthető úgy, mint a (''a''<sub>n</sub>) + (-1)<math>\cdot</math>(''b''<sub>n</sub>)  sorozat (ahol (-1) az azonosan -1 sorozat).</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">Másrészt függvényként értelmes lenne a hányados, mint ''n'' <math>\mapsto</math> ''a''<sub>n</sub>/''b''<sub>n</sub>, mindenféle megszorítás nélkül, azonban ekkor lehetséges lenne, hogy ennek a sorozatnak az értékei legfeljebb csak véges sok indexre értelmezettek. Az ilyen sorozatok konvergencia szempontjából semmiképpen nem vizsgálhatóak, hiszen ezekre a sorozatokra a konvergencia definíciója értelmessé lenne tehető és minden véges sorozat konvergens volna, de nem lenne egyértelmű határértéke. Másrészt elvileg megengedhetőek lennének olyan sorozatok, melyek végtelen sok helyen definiáltak és és végtelen sok helyen nem definiáltak lennének, de az ilyen sorozatok egyszerűen úgy tekinthetőek, mint (a később definiált értelemben vett) részsorozatok. </del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>'''Tétel''' – ''A konvergencia és a határérték is invariáns az alapműveletekre'' – Ha (''a''<sub>n</sub>) és (''b''<sub>n</sub>) konvergens sorozatok, akkor  </div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>'''Tétel''' – ''A konvergencia és a határérték is invariáns az alapműveletekre'' – Ha (''a''<sub>n</sub>) és (''b''<sub>n</sub>) konvergens sorozatok, akkor  </div></td></tr>
</table>Mozohttp://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Matematika_A1a_2008/5._gyakorlat&diff=4231&oldid=prevMozo: /* Konvergencia */2008-10-08T08:52:03Z<p><span class="autocomment">Konvergencia</span></p>
<table class='diff diff-contentalign-left'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr valign='top'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">←Régebbi változat</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">A lap 2008. október 8., 08:52-kori változata</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno">8. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">8. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>'''Példák.''' Az <math>\left(\frac{1}{n}\right)</math>, <math> \left(\frac{2}{3n+4}\right)</math>, <math>\left(\frac{3}{n^2}\right)</math> sorozatok konvergensek.  </div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>'''Példák.''' Az <math>\left(\frac{1}{n}\right)</math>, <math> \left(\frac{2}{3n+4}\right)</math>, <math>\left(\frac{3}{n^2}\right)</math> sorozatok konvergensek.  </div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">''Ugyanis,'' Előzetes ismereteink szerint a sorozatok infimuma a 0 és csökkenőek, így ''A''-ra alkalmas értéknek látszik a 0. </del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">Legyen &epsilon; > 0. Mindegyikre keresünk olyan ''N''-t, amire teljesül, hogy ha ''n'' > ''N'', akkor |''a''<sub>n</sub>| < &epsilon;. Rendezve az egyenlőtlenségeket:</del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">:<math>\begin{matrix}</del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">\cfrac{1}{n}<\varepsilon \quad\quad & \cfrac{2}{3n+4}<\varepsilon \quad\quad & \cfrac{3}{n^2}<\varepsilon \\</del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"> & & \\</del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">n>\cfrac{1}{\varepsilon} \quad\quad & \cfrac{3n+4}{2}>\cfrac{1}{\varepsilon} \quad\quad & \cfrac{n^2}{3}>\cfrac{1}{\varepsilon}\\</del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">& & \\</del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">N>\cfrac{1}{\varepsilon} \quad\quad & N>\cfrac{2}{3\varepsilon}>\cfrac{\frac{2}{\varepsilon}-4}{3} \quad\quad & N>\sqrt{\cfrac{3}{\varepsilon}}</del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">\end{matrix}</math></del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">Ha tehát ''N'' a fenti tulajdonságú, akkor  |''a''<sub>n</sub>| < &epsilon; mindháromnál teljesül minden ''n'' > ''N''-re. Ez pedig azért van, mert minden valós számnál van nagyobb természetes szám (Archimédeszi axióma).</del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>'''Feladat.''' Konvergens-e az <math>a_n=\frac{5n+2}{2n+7}</math> általános tagú sorozat?  </div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>'''Feladat.''' Konvergens-e az <math>a_n=\frac{5n+2}{2n+7}</math> általános tagú sorozat?  </div></td></tr>
</table>Mozohttp://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Matematika_A1a_2008/5._gyakorlat&diff=4221&oldid=prevMozo: /* Nullsorozatok vagy zérussorozatok */2008-10-07T18:16:09Z<p><span class="autocomment">Nullsorozatok vagy zérussorozatok</span></p>
<table class='diff diff-contentalign-left'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr valign='top'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">←Régebbi változat</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">A lap 2008. október 7., 18:16-kori változata</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno">59. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">59. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>A numerikus sorozatok témakörében rendkívül hasznosan alkalmazhatóak azok a sorozatok, melyek határértéke a 0 szám. Ezeket nullsorozatoknak, vagy zérussorozatoknak nevezzük. Világos, hogy az (1/n) sorozat például nullsorozat.</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>A numerikus sorozatok témakörében rendkívül hasznosan alkalmazhatóak azok a sorozatok, melyek határértéke a 0 szám. Ezeket nullsorozatoknak, vagy zérussorozatoknak nevezzük. Világos, hogy az (1/n) sorozat például nullsorozat.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div>'''<del class="diffchange diffchange-inline">Állítás</del>''' <del class="diffchange diffchange-inline"><nowiki>–</nowiki> Az </del>(''a''<sub>n</sub>) <del class="diffchange diffchange-inline">sorozat </del>pontosan akkor <del class="diffchange diffchange-inline">tart a nullához</del>, ha <del class="diffchange diffchange-inline">a tagjai abszolút értékeiből képezett </del>(<del class="diffchange diffchange-inline"><nowiki></del>|<del class="diffchange diffchange-inline"></nowiki></del>''a''<sub>n</sub<del class="diffchange diffchange-inline">><nowiki</del>>|<del class="diffchange diffchange-inline"></nowiki></del>) <del class="diffchange diffchange-inline">sorozat a nullához tart</del>.</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>'''<ins class="diffchange diffchange-inline">Feladat</ins>'''  </div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline"># </ins>(''a''<sub>n</sub>) pontosan akkor <ins class="diffchange diffchange-inline">nullsorozat</ins>, ha (|''a''<sub>n</sub>|) <ins class="diffchange diffchange-inline">nullsorozat</ins>.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline"># </ins>(''a''<sub>n</sub>) pontosan akkor <ins class="diffchange diffchange-inline">konvergens</ins>, ha (<ins class="diffchange diffchange-inline">|</ins>''a''<sub>n</sub>|) <ins class="diffchange diffchange-inline">konvergens</ins>.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">''Megjegyzés.'' nem nullsorozatok esetén még az állításban foglalt ekvikonvergencia sem érvényes, csak abban az irányban, hogy ha a sorozat konvergens, akkor az abszolútértéksorozat is konvergens. A másik irányra kiváló ellenpélda a ((-1)<sup>n</sup>) alternáló sorozat.</del></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">'''Állítás''' – ''Konvergencia jellemzése nullsorozatokkal'' – Az </del>(''a''<sub>n</sub>) <del class="diffchange diffchange-inline">sorozat </del>pontosan akkor <del class="diffchange diffchange-inline">tart az ''A'' ''valós szám''hoz</del>, ha <del class="diffchange diffchange-inline">az </del>(''a''<sub>n</sub<del class="diffchange diffchange-inline">> - ''A'') sorozat nullsorozat.</del></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">''Ugyanis,'' az alábbi két kijelentés triviális módon ekvivalens (és pont ez igazolja a két sorozat definíció szerinti ekvikonvergenciáját)</del></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">:<math</del>>|<del class="diffchange diffchange-inline">a_n-A|<\varepsilon \quad\quad \Leftrightarrow \quad\quad |\,(a_n-A</del>)<del class="diffchange diffchange-inline">-0\,|<\varepsilon</math></del></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">tetszőleges ''n''-re és &epsilon;-ra</del>.</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>Az alábbi állítás lényegében az úgy nevezett ''rendőrelv'' egy alakja, mellyel később foglalkozunk részletesebben.</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>Az alábbi állítás lényegében az úgy nevezett ''rendőrelv'' egy alakja, mellyel később foglalkozunk részletesebben.</div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-lineno">76. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">68. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>|a_n|\leq \delta_n\,</math>,</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>|a_n|\leq \delta_n\,</math>,</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>akkor (''a''<sub>n</sub>) is nullsorozat.</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>akkor (''a''<sub>n</sub>) is nullsorozat.</div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">'''Feladat.'''</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"># <math>\sin(\frac{1}{n})</math> nullsorozat</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"># <math>\mathrm{tg(\frac{1}{n})}</math> nullsorozat</ins></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>Az alábbi tétel az alkalmazások szempontjából különösen fontos.</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>Az alábbi tétel az alkalmazások szempontjából különösen fontos.</div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-lineno">82. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">78. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>(a_n\cdot\delta_n)\,</math></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>(a_n\cdot\delta_n)\,</math></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>a nullához tart.</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>a nullához tart.</div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">'''Feladat.''' </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">:<math>\frac{\sin(\frac{1}{n})}{n+\frac{1}{n}}\to 0</math></ins></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>===Konvergencia, határérték és műveletek===</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>===Konvergencia, határérték és műveletek===</div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">''Konvergencia jellemzése nullsorozatokkal'' – Az (''a''<sub>n</sub>) sorozat pontosan akkor tart az ''A'' ''valós szám''hoz, ha az (''a''<sub>n</sub> - ''A'') sorozat nullsorozat. Ezalapján a sorozatkonvergenciát vissza lehet vezetni a nullsotozatok vizsgálatára, amely megkönnyíti a sorozatok konvergenciája és a műveletek közötti kapcsolat feltárását. </ins></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>'''Definíció''' – ''Sorozatműveletek mint pontonként definiált műveletek'' – Legyen (''a''<sub>n</sub>) és (''b''<sub>n</sub>) valós számsorozat. Ekkor  </div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>'''Definíció''' – ''Sorozatműveletek mint pontonként definiált műveletek'' – Legyen (''a''<sub>n</sub>) és (''b''<sub>n</sub>) valós számsorozat. Ekkor  </div></td></tr>
</table>Mozohttp://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Matematika_A1a_2008/5._gyakorlat&diff=4220&oldid=prevMozo: /* Konvergencia */2008-10-07T18:10:21Z<p><span class="autocomment">Konvergencia</span></p>
<table class='diff diff-contentalign-left'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr valign='top'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">←Régebbi változat</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">A lap 2008. október 7., 18:10-kori változata</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno">39. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">39. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>\left|\frac{5n+2}{2n+7}-\frac{5}{2}\right|<\varepsilon</math></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>\left|\frac{5n+2}{2n+7}-\frac{5}{2}\right|<\varepsilon</math></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div>''<del class="diffchange diffchange-inline">Megjegyzés.</del>'' <del class="diffchange diffchange-inline">Némiképp indoklásra szorul</del>, <del class="diffchange diffchange-inline">hogy honnan az 5/2. Egyrészt később belátjuk</del>, <del class="diffchange diffchange-inline">hogy azonos fokszámú polinomok hányadosának határértéke </del>a <del class="diffchange diffchange-inline">főegyütthatók hányadosa</del>. <del class="diffchange diffchange-inline">Másrészt </del>a <del class="diffchange diffchange-inline">sorozat konvergenciájának vizsgálatánál célszerű nagy ''n'' értékekre elképzelni </del>mi <del class="diffchange diffchange-inline">történik a sorozattal. Ez nem egyszerű dolog, hisz legtöbb esetben a számítás elvégzése nagy nehézséget okoz, valamint naiv elképzeléseink gyakran megcsalhatnak etekinteben (amelyre példát is hozunk később). Ez esetben könnyű kitalálni a megfelelő ''A'' számot: helyettesítsünk ''n'' helyébe </del>1<del class="diffchange diffchange-inline">.000.000</del>-<del class="diffchange diffchange-inline">t. Ekkor a hányados nagyjából 5.000.000 és 2.000.000 hányadosa, azaz 5/2 és ez a közelítés tovább javul, ha ''n'' helyébe nagyobb számot gondolunk. Hangsúlyozzuk, hogy más esetekben elhamarkodott következtetésekre juthatunk a kiszámoláson alapuló módszerrel, melyet nevezhetünk akár ''naiv módszer''</del>nek <del class="diffchange diffchange-inline">is</del>.</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">Azok a </ins>''<ins class="diffchange diffchange-inline">mértani sorozat</ins>''<ins class="diffchange diffchange-inline">ok</ins>, <ins class="diffchange diffchange-inline">melyek kvociensének abszolút értéke kisebb mint 1</ins>, a <ins class="diffchange diffchange-inline">nullához konvergálnak</ins>. <ins class="diffchange diffchange-inline">Pont emiatt ezeknél </ins>a <ins class="diffchange diffchange-inline">sorozatoknál teljesen érdektelen, hogy </ins>mi <ins class="diffchange diffchange-inline">az első tagjuk – rendszerint azt </ins>1-nek <ins class="diffchange diffchange-inline">választjuk</ins>.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">===Mértani sorozat===</del></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>'''<ins class="diffchange diffchange-inline">Fekadat</ins>''' – Ha <nowiki>|</nowiki>''q''<nowiki>|</nowiki> < 1, akkor (''q''<sup>n</sup>) konvergens és lim(''q''<sup>n</sup>) = 0.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">Azok a mértani sorozatok, melyek kvociensének abszolút értéke kisebb mint 1, a nullához konvergálnak. Pont emiatt ezeknél a sorozatoknál teljesen érdektelen, hogy mi az első tagjuk – rendszerint azt 1-nek választjuk.</del></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div>'''<del class="diffchange diffchange-inline">Állítás</del>''' – Ha <nowiki>|</nowiki>''q''<nowiki>|</nowiki> < 1, akkor (''q''<sup>n</sup>) konvergens és lim(''q''<sup>n</sup>) = 0.</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>Az állítás legegyszerűbb (bár módszertanilag talán kifogásolható) bizonyítása, ha megkíséreljük a definíciót felírva megoldani a szokásos egyenlőtlenséget. Legyen &epsilon; pozitív szám és keresünk olyan ''N''-et, hogy minden ''n'' > ''N''-re  </div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>Az állítás legegyszerűbb (bár módszertanilag talán kifogásolható) bizonyítása, ha megkíséreljük a definíciót felírva megoldani a szokásos egyenlőtlenséget. Legyen &epsilon; pozitív szám és keresünk olyan ''N''-et, hogy minden ''n'' > ''N''-re  </div></td></tr>
</table>Mozohttp://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Matematika_A1a_2008/5._gyakorlat&diff=4219&oldid=prevMozo: /* Nullsorozatok vagy zérussorozatok */2008-10-07T18:05:29Z<p><span class="autocomment">Nullsorozatok vagy zérussorozatok</span></p>
<table class='diff diff-contentalign-left'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr valign='top'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">←Régebbi változat</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">A lap 2008. október 7., 18:05-kori változata</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno">87. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">87. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>a nullához tart.</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>a nullához tart.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">''Bizonyítás.'' Legyen &epsilon; > 0 és vegyünk egy olyan ''K'' pozitív számot, hogy minden ''n'' természetes számra |''a''<sub>n</sub>| < ''K'' legyen. |&delta;<sub>n</sub>| minden pozitív számnál kisebbé válik, ezért &epsilon;/''K''-hoz is található olyan ''N'' természetes szám, hogy minden ''n'' > ''N''-re |&delta;<sub>n</sub>| < &epsilon;/''K''. Így minden ''n'' > ''N''-re </del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">:<math>|a_n\cdot \delta_n|=|a_n||\delta_n|< K\cdot \frac{\varepsilon}{K}=\varepsilon\,</math></del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>===Konvergencia, határérték és műveletek===</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>===Konvergencia, határérték és műveletek===</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
</table>Mozohttp://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Matematika_A1a_2008/5._gyakorlat&diff=4218&oldid=prevMozo: /* Konvergencia */2008-10-07T18:05:05Z<p><span class="autocomment">Konvergencia</span></p>
<table class='diff diff-contentalign-left'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr valign='top'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">←Régebbi változat</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">A lap 2008. október 7., 18:05-kori változata</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno">40. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">40. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>''Megjegyzés.'' Némiképp indoklásra szorul, hogy honnan az 5/2. Egyrészt később belátjuk, hogy azonos fokszámú polinomok hányadosának határértéke a főegyütthatók hányadosa. Másrészt a sorozat konvergenciájának vizsgálatánál célszerű nagy ''n'' értékekre elképzelni mi történik a sorozattal. Ez nem egyszerű dolog, hisz legtöbb esetben a számítás elvégzése nagy nehézséget okoz, valamint naiv elképzeléseink gyakran megcsalhatnak etekinteben (amelyre példát is hozunk később). Ez esetben könnyű kitalálni a megfelelő ''A'' számot: helyettesítsünk ''n'' helyébe 1.000.000-t. Ekkor a hányados nagyjából 5.000.000 és 2.000.000 hányadosa, azaz 5/2 és ez a közelítés tovább javul, ha ''n'' helyébe nagyobb számot gondolunk. Hangsúlyozzuk, hogy más esetekben elhamarkodott következtetésekre juthatunk a kiszámoláson alapuló módszerrel, melyet nevezhetünk akár ''naiv módszer''nek is.</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>''Megjegyzés.'' Némiképp indoklásra szorul, hogy honnan az 5/2. Egyrészt később belátjuk, hogy azonos fokszámú polinomok hányadosának határértéke a főegyütthatók hányadosa. Másrészt a sorozat konvergenciájának vizsgálatánál célszerű nagy ''n'' értékekre elképzelni mi történik a sorozattal. Ez nem egyszerű dolog, hisz legtöbb esetben a számítás elvégzése nagy nehézséget okoz, valamint naiv elképzeléseink gyakran megcsalhatnak etekinteben (amelyre példát is hozunk később). Ez esetben könnyű kitalálni a megfelelő ''A'' számot: helyettesítsünk ''n'' helyébe 1.000.000-t. Ekkor a hányados nagyjából 5.000.000 és 2.000.000 hányadosa, azaz 5/2 és ez a közelítés tovább javul, ha ''n'' helyébe nagyobb számot gondolunk. Hangsúlyozzuk, hogy más esetekben elhamarkodott következtetésekre juthatunk a kiszámoláson alapuló módszerrel, melyet nevezhetünk akár ''naiv módszer''nek is.</div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">===Mértani sorozat===</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">Azok a mértani sorozatok, melyek kvociensének abszolút értéke kisebb mint 1, a nullához konvergálnak. Pont emiatt ezeknél a sorozatoknál teljesen érdektelen, hogy mi az első tagjuk – rendszerint azt 1-nek választjuk.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">'''Állítás''' – Ha <nowiki>|</nowiki>''q''<nowiki>|</nowiki> < 1, akkor (''q''<sup>n</sup>) konvergens és lim(''q''<sup>n</sup>) = 0.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">Az állítás legegyszerűbb (bár módszertanilag talán kifogásolható) bizonyítása, ha megkíséreljük a definíciót felírva megoldani a szokásos egyenlőtlenséget. Legyen &epsilon; pozitív szám és keresünk olyan ''N''-et, hogy minden ''n'' > ''N''-re </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">:<math>|q^n|<\varepsilon\,</math></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">teljesüljön. Ehhez oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenséget ''n''-re:</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">:<math>|q^n|=|q|^n<\varepsilon\,</math></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">Feltehető, hogy ''q'' nem nulla, hiszen ekkor az azonosan nulla sorozattal van dolgunk. Vegyük a tizes alapú logaritmusát:</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">:<math>\mathrm{lg}\,|q|^n<\varepsilon\,</math></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">:<math>n\cdot\mathrm{lg}\,|q|<\varepsilon\,</math></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">:<math>n>\frac{\varepsilon}{\mathrm{lg}\,|q|}\,</math></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">hiszen negatív számmal osztva az egyenlőtlenség megfordul. Ezért ha ''N''-et az előző egyenlőtlenség jobb oldalánál nagyobbra választjuk, akkor a nála nagyobb ''n''-ekre bizonyosan igaz lesz a kívánt állítás.</ins></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>==Nullsorozatok vagy zérussorozatok==</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>==Nullsorozatok vagy zérussorozatok==</div></td></tr>
</table>Mozohttp://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Matematika_A1a_2008/5._gyakorlat&diff=4217&oldid=prevMozo: /* Mértani sorozat */2008-10-07T18:04:47Z<p><span class="autocomment">Mértani sorozat</span></p>
<table class='diff diff-contentalign-left'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr valign='top'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">←Régebbi változat</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">A lap 2008. október 7., 18:04-kori változata</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno">192. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">192. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>ami azt jelenti, hogy az ''N''+1 indextől kezdve a sorozat minden tagja benne van a sup(''a''<sub>n</sub>) szám &epsilon; sugarú környezetében.</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>ami azt jelenti, hogy az ''N''+1 indextől kezdve a sorozat minden tagja benne van a sup(''a''<sub>n</sub>) szám &epsilon; sugarú környezetében.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">===Mértani sorozat===</del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">Azok a mértani sorozatok, melyek kvociensének abszolút értéke kisebb mint 1, a nullához konvergálnak. Pont emiatt ezeknél a sorozatoknál teljesen érdektelen, hogy mi az első tagjuk – rendszerint azt 1-nek választjuk.</del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">'''Állítás''' – Ha <nowiki>|</nowiki>''q''<nowiki>|</nowiki> < 1, akkor (''q''<sup>n</sup>) konvergens és lim(''q''<sup>n</sup>) = 0.</del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">Az állítás legegyszerűbb (bár módszertanilag talán kifogásolható) bizonyítása, ha megkíséreljük a definíciót felírva megoldani a szokásos egyenlőtlenséget. Legyen &epsilon; pozitív szám és keresünk olyan ''N''-et, hogy minden ''n'' > ''N''-re </del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">:<math>|q^n|<\varepsilon\,</math></del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">teljesüljön. Ehhez oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenséget ''n''-re:</del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">:<math>|q^n|=|q|^n<\varepsilon\,</math></del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">Feltehető, hogy ''q'' nem nulla, hiszen ekkor az azonosan nulla sorozattal van dolgunk. Vegyük a tizes alapú logaritmusát:</del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">:<math>\mathrm{lg}\,|q|^n<\varepsilon\,</math></del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">:<math>n\cdot\mathrm{lg}\,|q|<\varepsilon\,</math></del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">:<math>n>\frac{\varepsilon}{\mathrm{lg}\,|q|}\,</math></del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">hiszen negatív számmal osztva az egyenlőtlenség megfordul. Ezért ha ''N''-et az előző egyenlőtlenség jobb oldalánál nagyobbra választjuk, akkor a nála nagyobb ''n''-ekre bizonyosan igaz lesz a kívánt állítás.</del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>===Az Euler-féle példa===</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>===Az Euler-féle példa===</div></td></tr>
</table>Mozohttp://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Matematika_A1a_2008/5._gyakorlat&diff=4216&oldid=prevMozo: /* Konvergencia, határérték és műveletek */2008-10-07T18:04:17Z<p><span class="autocomment">Konvergencia, határérték és műveletek</span></p>
<table class='diff diff-contentalign-left'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr valign='top'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">←Régebbi változat</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">A lap 2008. október 7., 18:04-kori változata</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno">41. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">41. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>''Megjegyzés.'' Némiképp indoklásra szorul, hogy honnan az 5/2. Egyrészt később belátjuk, hogy azonos fokszámú polinomok hányadosának határértéke a főegyütthatók hányadosa. Másrészt a sorozat konvergenciájának vizsgálatánál célszerű nagy ''n'' értékekre elképzelni mi történik a sorozattal. Ez nem egyszerű dolog, hisz legtöbb esetben a számítás elvégzése nagy nehézséget okoz, valamint naiv elképzeléseink gyakran megcsalhatnak etekinteben (amelyre példát is hozunk később). Ez esetben könnyű kitalálni a megfelelő ''A'' számot: helyettesítsünk ''n'' helyébe 1.000.000-t. Ekkor a hányados nagyjából 5.000.000 és 2.000.000 hányadosa, azaz 5/2 és ez a közelítés tovább javul, ha ''n'' helyébe nagyobb számot gondolunk. Hangsúlyozzuk, hogy más esetekben elhamarkodott következtetésekre juthatunk a kiszámoláson alapuló módszerrel, melyet nevezhetünk akár ''naiv módszer''nek is.</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>''Megjegyzés.'' Némiképp indoklásra szorul, hogy honnan az 5/2. Egyrészt később belátjuk, hogy azonos fokszámú polinomok hányadosának határértéke a főegyütthatók hányadosa. Másrészt a sorozat konvergenciájának vizsgálatánál célszerű nagy ''n'' értékekre elképzelni mi történik a sorozattal. Ez nem egyszerű dolog, hisz legtöbb esetben a számítás elvégzése nagy nehézséget okoz, valamint naiv elképzeléseink gyakran megcsalhatnak etekinteben (amelyre példát is hozunk később). Ez esetben könnyű kitalálni a megfelelő ''A'' számot: helyettesítsünk ''n'' helyébe 1.000.000-t. Ekkor a hányados nagyjából 5.000.000 és 2.000.000 hányadosa, azaz 5/2 és ez a közelítés tovább javul, ha ''n'' helyébe nagyobb számot gondolunk. Hangsúlyozzuk, hogy más esetekben elhamarkodott következtetésekre juthatunk a kiszámoláson alapuló módszerrel, melyet nevezhetünk akár ''naiv módszer''nek is.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">==Nullsorozatok vagy zérussorozatok==</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">A numerikus sorozatok témakörében rendkívül hasznosan alkalmazhatóak azok a sorozatok, melyek határértéke a 0 szám. Ezeket nullsorozatoknak, vagy zérussorozatoknak nevezzük. Világos, hogy az (1/n) sorozat például nullsorozat.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">'''Állítás''' <nowiki>–</nowiki> Az (''a''<sub>n</sub>) sorozat pontosan akkor tart a nullához, ha a tagjai abszolút értékeiből képezett (<nowiki>|</nowiki>''a''<sub>n</sub><nowiki>|</nowiki>) sorozat a nullához tart.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">''Megjegyzés.'' nem nullsorozatok esetén még az állításban foglalt ekvikonvergencia sem érvényes, csak abban az irányban, hogy ha a sorozat konvergens, akkor az abszolútértéksorozat is konvergens. A másik irányra kiváló ellenpélda a ((-1)<sup>n</sup>) alternáló sorozat.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">'''Állítás''' – ''Konvergencia jellemzése nullsorozatokkal'' – Az (''a''<sub>n</sub>) sorozat pontosan akkor tart az ''A'' ''valós szám''hoz, ha az (''a''<sub>n</sub> - ''A'') sorozat nullsorozat.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">''Ugyanis,'' az alábbi két kijelentés triviális módon ekvivalens (és pont ez igazolja a két sorozat definíció szerinti ekvikonvergenciáját)</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">:<math>|a_n-A|<\varepsilon \quad\quad \Leftrightarrow \quad\quad |\,(a_n-A)-0\,|<\varepsilon</math></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">tetszőleges ''n''-re és &epsilon;-ra.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">Az alábbi állítás lényegében az úgy nevezett ''rendőrelv'' egy alakja, mellyel később foglalkozunk részletesebben.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">'''Állítás''' – '' Majorálás nullsorozatokkal'' – Ha (&delta;<sub>n</sub>) nullsorozat és az (''a''<sub>n</sub>) sorozat olyan, hogy valamely ''M''-re minden ''n'' > ''M'' esetén</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">:<math>|a_n|\leq \delta_n\,</math>,</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">akkor (''a''<sub>n</sub>) is nullsorozat.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">Az alábbi tétel az alkalmazások szempontjából különösen fontos.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">'''Tétel''' – '' A „korlátos szor nullához tartó” alakú sorozatok elve'' – Ha (&delta;<sub>n</sub>) nullsorozat és az (''a''<sub>n</sub>) korlátos sorozat olyan, akkor</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">:<math>(a_n\cdot\delta_n)\,</math></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">a nullához tart.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">''Bizonyítás.'' Legyen &epsilon; > 0 és vegyünk egy olyan ''K'' pozitív számot, hogy minden ''n'' természetes számra |''a''<sub>n</sub>| < ''K'' legyen. |&delta;<sub>n</sub>| minden pozitív számnál kisebbé válik, ezért &epsilon;/''K''-hoz is található olyan ''N'' természetes szám, hogy minden ''n'' > ''N''-re |&delta;<sub>n</sub>| < &epsilon;/''K''. Így minden ''n'' > ''N''-re </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">:<math>|a_n\cdot \delta_n|=|a_n||\delta_n|< K\cdot \frac{\varepsilon}{K}=\varepsilon\,</math></ins></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>===Konvergencia, határérték és műveletek===</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>===Konvergencia, határérték és műveletek===</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-lineno">65. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">96. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>#:<math>\lim(a_n\cdot b_n)=\lim(a_n)\cdot\lim(b_n)\,</math>  </div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>#:<math>\lim(a_n\cdot b_n)=\lim(a_n)\cdot\lim(b_n)\,</math>  </div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div># ha lim(b<sub>n</sub>) &ne;0, akkor (''a''<sub>n</sub>/''b''<sub>n</sub>) is konvergens és  </div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div># ha lim(b<sub>n</sub>) &ne;0, akkor (''a''<sub>n</sub>/''b''<sub>n</sub>) is konvergens és  </div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div>#:<math>\lim\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=\frac{\lim(a_n)}{\lim(b_n)}</math>  </div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>#:<math>\lim\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=\frac{\lim(a_n)}{\lim(b_n)}</math></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>===Feladatok===</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>===Feladatok===</div></td></tr>
</table>Mozohttp://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Matematika_A1a_2008/5._gyakorlat&diff=4215&oldid=prevMozo: /* Az Euler-féle példa */2008-10-07T18:00:15Z<p><span class="autocomment">Az Euler-féle példa</span></p>
<table class='diff diff-contentalign-left'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr valign='top'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">←Régebbi változat</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">A lap 2008. október 7., 18:00-kori változata</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno">185. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">185. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>általános tagú sorozat konvergens, mert igazolható módon monoton és korlátos.</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>általános tagú sorozat konvergens, mert igazolható módon monoton és korlátos.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">'''Feladat.''' Konvergens-e az alábbi sorozat és ha igen, adjuk meg a határértékét! </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">: <math>\left(\frac{n+4}{n+3}\right)^{n}</math></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">''(Útmutatás: osszuk le a számlálót is és a nevezőt is ''n''-nel és alkalmazzuk mindkettőre az alkalmas nevezetes határértéket.)''</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"> </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">:<math>\left(\frac{n+4}{n+3}\right)^n=\left(\frac{ \cfrac{n+4}{n} }{ \cfrac{n+3}{n} }\right)^n=\frac{\left(1+\cfrac{4}{n}\right)^n}{\left(1+\cfrac{3}{n}\right)^n}\to \frac{\mathrm{e}^4}{\mathrm{e}^3}=\mathrm{e}</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></math></ins></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
</table>Mozo