http://wiki.math.bme.hu/history/Matematika_k%C3%B6zlek_A1a_2013/2._gyakorlat?feed=atom&Matematika közlek A1a 2013/2. gyakorlat - Laptörténet2024-03-28T14:07:32ZAz oldal laptörténete a wikibenMediaWiki 1.18.1http://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Matematika_k%C3%B6zlek_A1a_2013/2._gyakorlat&diff=9040&oldid=prevMozo: /* Hatványhalmaz */2013-09-22T18:24:55Z<p><span class="autocomment">Hatványhalmaz</span></p>
<table class='diff diff-contentalign-left'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr valign='top'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">←Régebbi változat</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">A lap 2013. szeptember 22., 18:24-kori változata</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno">203. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">203. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>Egy véges halmaz elemszáma mindig kisebb, mint a hatványhalmazáé, mert ha a halmaz elemszáma ''n'', akkor a hatványhalmazáé 2<sup>''n''</sup>.</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>Egy véges halmaz elemszáma mindig kisebb, mint a hatványhalmazáé, mert ha a halmaz elemszáma ''n'', akkor a hatványhalmazáé 2<sup>''n''</sup>.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div>Végtelen halmaz és hatványhalmaza sem lehet azonos számosságú. <del class="diffchange diffchange-inline">Ezt </del>az alábbi feladatból derül ki.</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>Végtelen halmaz és hatványhalmaza sem lehet azonos számosságú. <ins class="diffchange diffchange-inline">Ez </ins>az alábbi feladatból derül ki.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>'''10.''' Egy végtelen sok embert tartamlazó univerzumban a lakók minden lehetséges módon bizottságokat alakítanak. Az összes ember is egy nagy bizottság, de van egyelemű és nulla elemű bizottság is. Egy jegyző úgy dönt számba veszi az összes bizottságot. Minden bizottságot egy emberről fog elnevezni, két különböző bizottságnak nem lehet azonos neve. Sikerrel fog-e járni?</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>'''10.''' Egy végtelen sok embert tartamlazó univerzumban a lakók minden lehetséges módon bizottságokat alakítanak. Az összes ember is egy nagy bizottság, de van egyelemű és nulla elemű bizottság is. Egy jegyző úgy dönt számba veszi az összes bizottságot. Minden bizottságot egy emberről fog elnevezni, két különböző bizottságnak nem lehet azonos neve. Sikerrel fog-e járni?</div></td></tr>
</table>Mozohttp://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Matematika_k%C3%B6zlek_A1a_2013/2._gyakorlat&diff=9039&oldid=prevMozo: /* Hatványhalmaz */2013-09-22T18:24:32Z<p><span class="autocomment">Hatványhalmaz</span></p>
<table class='diff diff-contentalign-left'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr valign='top'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">←Régebbi változat</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">A lap 2013. szeptember 22., 18:24-kori változata</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno">198. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">198. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>'''8.''' Igazoljuk, hogy ''P''(A&cap;B) = ''P''(A) &cap; ''P''(B).</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>'''8.''' Igazoljuk, hogy ''P''(A&cap;B) = ''P''(A) &cap; ''P''(B).</div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>'''9.''' Milyen tartalmazás teljesül ''P''(A&cup;B) és ''P''(A) &cup; ''P''(B) között?</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>'''9.''' Milyen tartalmazás teljesül ''P''(A&cup;B) és ''P''(A) &cup; ''P''(B) között?</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-lineno">206. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">207. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>'''10.''' Egy végtelen sok embert tartamlazó univerzumban a lakók minden lehetséges módon bizottságokat alakítanak. Az összes ember is egy nagy bizottság, de van egyelemű és nulla elemű bizottság is. Egy jegyző úgy dönt számba veszi az összes bizottságot. Minden bizottságot egy emberről fog elnevezni, két különböző bizottságnak nem lehet azonos neve. Sikerrel fog-e járni?</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>'''10.''' Egy végtelen sok embert tartamlazó univerzumban a lakók minden lehetséges módon bizottságokat alakítanak. Az összes ember is egy nagy bizottság, de van egyelemű és nulla elemű bizottság is. Egy jegyző úgy dönt számba veszi az összes bizottságot. Minden bizottságot egy emberről fog elnevezni, két különböző bizottságnak nem lehet azonos neve. Sikerrel fog-e járni?</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div>''Útmutatás.'' Vegyük azt a bizottságot, mely azokat az embereket tartalmazza, akik nem tagjai a saját magukról elnevezett bizottságnak. Ezt nevezzük ideiglenesen a szerények bizottságának. Szerény-e a szerények bizottságának névadója? <del class="diffchange diffchange-inline"> </del></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>''Útmutatás.'' Vegyük azt a bizottságot, mely azokat az embereket tartalmazza, akik nem tagjai a saját magukról elnevezett bizottságnak. Ezt nevezzük ideiglenesen a szerények bizottságának. Szerény-e a szerények bizottságának névadója?</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>==Házi feladatok==</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>==Házi feladatok==</div></td></tr>
</table>Mozohttp://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Matematika_k%C3%B6zlek_A1a_2013/2._gyakorlat&diff=9038&oldid=prevMozo: /* Házi feladatok */2013-09-22T18:24:20Z<p><span class="autocomment">Házi feladatok</span></p>
<table class='diff diff-contentalign-left'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr valign='top'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">←Régebbi változat</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">A lap 2013. szeptember 22., 18:24-kori változata</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno">193. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">193. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>A\cap\overline{X}=\emptyset</math></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>A\cap\overline{X}=\emptyset</math></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>azaz ''A'' &sube; ''X'', de az egyenlet ''szimmetrikus'' az ''A'' és az ''X'' felcserélésére, ezért  ''X'' &sube; ''A'' is teljesül, amiből ''X'' = ''A'', ha van megoldás. Márpedig az egyenletet az ''X'' = ''A'' kielégíti.</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>azaz ''A'' &sube; ''X'', de az egyenlet ''szimmetrikus'' az ''A'' és az ''X'' felcserélésére, ezért  ''X'' &sube; ''A'' is teljesül, amiből ''X'' = ''A'', ha van megoldás. Márpedig az egyenletet az ''X'' = ''A'' kielégíti.</div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">==Hatványhalmaz==</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">A ''H'' halmaz hatványhalmaza a ''P''(''H''):={ X | X&sube;H } halmazrendszer. </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">'''8.''' Igazoljuk, hogy ''P''(A&cap;B) = ''P''(A) &cap; ''P''(B).</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">'''9.''' Milyen tartalmazás teljesül ''P''(A&cup;B) és ''P''(A) &cup; ''P''(B) között?</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">Egy véges halmaz elemszáma mindig kisebb, mint a hatványhalmazáé, mert ha a halmaz elemszáma ''n'', akkor a hatványhalmazáé 2<sup>''n''</sup>.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">Végtelen halmaz és hatványhalmaza sem lehet azonos számosságú. Ezt az alábbi feladatból derül ki.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">'''10.''' Egy végtelen sok embert tartamlazó univerzumban a lakók minden lehetséges módon bizottságokat alakítanak. Az összes ember is egy nagy bizottság, de van egyelemű és nulla elemű bizottság is. Egy jegyző úgy dönt számba veszi az összes bizottságot. Minden bizottságot egy emberről fog elnevezni, két különböző bizottságnak nem lehet azonos neve. Sikerrel fog-e járni?</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">''Útmutatás.'' Vegyük azt a bizottságot, mely azokat az embereket tartalmazza, akik nem tagjai a saját magukról elnevezett bizottságnak. Ezt nevezzük ideiglenesen a szerények bizottságának. Szerény-e a szerények bizottságának névadója?  </ins></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>==Házi feladatok==</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>==Házi feladatok==</div></td></tr>
</table>Mozohttp://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Matematika_k%C3%B6zlek_A1a_2013/2._gyakorlat&diff=9004&oldid=prevMozo, 2013. szeptember 15., 10:04-n2013-09-15T10:04:54Z<p></p>
<table class='diff diff-contentalign-left'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr valign='top'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">←Régebbi változat</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">A lap 2013. szeptember 15., 10:04-kori változata</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno">1. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">1. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div>==<del class="diffchange diffchange-inline">Halmatalgebra</del>==</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>==<ins class="diffchange diffchange-inline">Halmazalgebra</ins>==</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>===Megjegyzés===</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>===Megjegyzés===</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>Az és és a vagy logikai operátoraival analóg a &forall; és &exist;, azaz "minden" és "létezik" szavakra vonatkozó szabályok is. A &forall; az &and;-sel rokonítható, az &exist; a &or;-gyal. Ezek az operátorok nem két mondatot kapcsolnak össze, hanem sok mondatra vonatkoznak egyszerre, abban az értelemben, hogy egy ''A(x)'' predikátumból (nyitott mondatból) készítenek egy új mondatot. Például az ''A(x)'' := ''x-nek van emelt szintű matematika érettségije'' nyitott mondatból a &exist; a (&exist;x)''A(x)'' := ''van akinek van emelt szintű matematika érettségije'' mondatot képezi, a &forall;  a (&forall;x)''A(x)'' := ''mindenkinek van emelt szintű matematika érettségije'' mondatot képezi. Az előbbi azt jelenti, hogy a "jelenlévők" közül (az "alaphalmazból") valakinek azaz Pistinek, ''vagy'' Bélának, ''vagy'' Cilinek ill. valakinek van emelt érettségije matekból -- persze '''nem kell feltétlenül tudnunk''', hogy kinek; az utóbbi pedig, hogy Pistinek is ''és'' Bélának is ''és'' Cilinek is ''és'' Daniellának is ''és'' ... mindenkinek megvan az emelt matekja.   </div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>Az és és a vagy logikai operátoraival analóg a &forall; és &exist;, azaz "minden" és "létezik" szavakra vonatkozó szabályok is. A &forall; az &and;-sel rokonítható, az &exist; a &or;-gyal. Ezek az operátorok nem két mondatot kapcsolnak össze, hanem sok mondatra vonatkoznak egyszerre, abban az értelemben, hogy egy ''A(x)'' predikátumból (nyitott mondatból) készítenek egy új mondatot. Például az ''A(x)'' := ''x-nek van emelt szintű matematika érettségije'' nyitott mondatból a &exist; a (&exist;x)''A(x)'' := ''van akinek van emelt szintű matematika érettségije'' mondatot képezi, a &forall;  a (&forall;x)''A(x)'' := ''mindenkinek van emelt szintű matematika érettségije'' mondatot képezi. Az előbbi azt jelenti, hogy a "jelenlévők" közül (az "alaphalmazból") valakinek azaz Pistinek, ''vagy'' Bélának, ''vagy'' Cilinek ill. valakinek van emelt érettségije matekból -- persze '''nem kell feltétlenül tudnunk''', hogy kinek; az utóbbi pedig, hogy Pistinek is ''és'' Bélának is ''és'' Cilinek is ''és'' Daniellának is ''és'' ... mindenkinek megvan az emelt matekja.   </div></td></tr>
</table>Mozohttp://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Matematika_k%C3%B6zlek_A1a_2013/2._gyakorlat&diff=9003&oldid=prevMozo: /* Példák */2013-09-15T10:04:18Z<p><span class="autocomment">Példák</span></p>
<table class='diff diff-contentalign-left'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr valign='top'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">←Régebbi változat</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">A lap 2013. szeptember 15., 10:04-kori változata</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno">140. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">140. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>Azt, hogy egy kijelentés hamis, általában cáfoló ellenpélda vagy cáfoló szituációra való rámutatással. Például egy "ha ''A'', akkor ''B''" állítás cáfolása esetén meg kell mutatunk, hogy a megadott cáfoló szituációban ''A'' ugyan igaz, de ''B'' nem. Ez azt jelenti, hogy ellenpélda esetén is kell bizonyítanunk, éspedig az előző esetben azt, hogy "bár ''A'', de nem ''B''". A metódus tehát a következő: 1) adunk egy példát 2) belátjuk, hogy az adott példa ellenpélda.</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>Azt, hogy egy kijelentés hamis, általában cáfoló ellenpélda vagy cáfoló szituációra való rámutatással. Például egy "ha ''A'', akkor ''B''" állítás cáfolása esetén meg kell mutatunk, hogy a megadott cáfoló szituációban ''A'' ugyan igaz, de ''B'' nem. Ez azt jelenti, hogy ellenpélda esetén is kell bizonyítanunk, éspedig az előző esetben azt, hogy "bár ''A'', de nem ''B''". A metódus tehát a következő: 1) adunk egy példát 2) belátjuk, hogy az adott példa ellenpélda.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">===Példák===</del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div>'''<del class="diffchange diffchange-inline">5</del>. <del class="diffchange diffchange-inline">Feladat</del>.''' Legyen ''A'', ''B'' és ''C'' tetszőleges halmaz, továbbá legyen  </div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>'''<ins class="diffchange diffchange-inline">6</ins>. <ins class="diffchange diffchange-inline">feladat</ins>.''' Legyen ''A'', ''B'' és ''C'' tetszőleges halmaz, továbbá legyen  </div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>K=(A\setminus(B\setminus C))\setminus C</math> és  </div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>K=(A\setminus(B\setminus C))\setminus C</math> és  </div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math> L=(A\setminus B)\cup(A\cap C)</math></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math> L=(A\setminus B)\cup(A\cap C)</math></div></td></tr>
</table>Mozohttp://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Matematika_k%C3%B6zlek_A1a_2013/2._gyakorlat&diff=9002&oldid=prevMozo, 2013. szeptember 15., 10:03-n2013-09-15T10:03:46Z<p></p>
<table class='diff diff-contentalign-left'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr valign='top'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">←Régebbi változat</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">A lap 2013. szeptember 15., 10:03-kori változata</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno">113. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">113. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:::<math>=(A\setminus B)\cup (A\cap C)</math></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:::<math>=(A\setminus B)\cup (A\cap C)</math></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div>==Cáfoló példák, cáfoló szituációk==</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">'''5. feladat.''' Egyszerűsítse az alábbi kifejezéseket!</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">## <math>(A\cap B\cap C)\cup (A\cap B\cap \overline{C})\cup(A\cap \overline{B}\cap C)\cup(A\cap \overline{B}\cap \overline{C})=?</math> </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">## <math>(A\cap B)\cup C=?</math>, ha <math>A\subseteq C</math>.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">''Mo.''</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">1.1. Legyen ''D'' a feladatban szereplő halmaz és legyen ''U'' = ''A'' U ''B'' U ''C'' a komplementerképzés alaphalmaza! Emeljünk ki ''A''-t!</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">:<math>D=A\cap ((B\cap C)\cup (B\cap \overline{C})\cup(\overline{B}\cap C)\cup(\overline{B}\cap \overline{C}))=</math></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">A második tényező első két tagjából kiemelhetünk ''B''-t a második két tagjából ''B'' komplementert:</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">:<math>=A\cap ((B\cap (C\cup \overline{C}))\cup(\overline{B}\cap (C\cup\overline{C})))=</math></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">ekkor a halmaz és komplementere kiadja ''U''-t, így:</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">:<math>=A\cap ((B\cap U)\cup(\overline{B}\cap U))=A\cap (B\cup\overline{B})=A \cap U=A</math></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">Tehát ''D'' = ''A''.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">Vagy Boole-algebrai formalizmusban:</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">:<math>d=abc+a\overline{b}c+ab\overline{c}+a\overline{bc}=a(bc+\overline{b}c+b\overline{c}+\overline{bc})=a((b+\overline{b})c+(b+\overline{b})\overline{c})=</math></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">:<math> =a(1c+1\overline{c})=a(c+\overline{c})=a\cdot 1=a</math></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">1.2.  </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">:<math>(A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap (B\cup C)= C\cap (B \cup C)= C</math></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">az elnyelési tulajdonság miatt és mert ''A'' &sube; ''C'' pontosan azt jelenti, hogy ''A'' U ''C'' = ''C''.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">=</ins>==Cáfoló példák, cáfoló szituációk<ins class="diffchange diffchange-inline">=</ins>==</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>Azt, hogy egy kijelentés igaz, azt a matematikában ''bizonyítással'' látjuk be. Például egy "ha ''A'', akkor ''B''" állítás esetén az ''A''-ból levezetjük ''B''-t.  </div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>Azt, hogy egy kijelentés igaz, azt a matematikában ''bizonyítással'' látjuk be. Például egy "ha ''A'', akkor ''B''" állítás esetén az ''A''-ból levezetjük ''B''-t.  </div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-lineno">140. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">161. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>===Halmazegyenletek===</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>===Halmazegyenletek===</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del class="diffchange diffchange-inline"># </del>'''<del class="diffchange diffchange-inline">Egyszerűsítse az alábbi kifejezéseket!'''</del></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>'''<ins class="diffchange diffchange-inline">7. feladat</ins>.''' Oldja meg az alábbi halmazegyenleteket, ''X''-re!</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">## <math>(A\cap B\cap C)\cup (A\cap B\cap \overline{C})\cup(A\cap \overline{B}\cap C)\cup(A\cap \overline{B}\cap \overline{C})=?</math> </del></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">## <math>(A\cap B)\cup C=?</math>, ha <math>A\subseteq C</math></del>.</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del class="diffchange diffchange-inline"># </del>'''Oldja meg az alábbi halmazegyenleteket, ''X''-re!<del class="diffchange diffchange-inline">'''</del></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>## <math> (A-X)\cup B=X\,</math></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>## <math> (A-X)\cup B=X\,</math></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>##  <math>A-X=X-A\,</math></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>##  <math>A-X=X-A\,</math></div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-lineno">149. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">167. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>''Megoldás.''  </div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>''Megoldás.''  </div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">1.1. Legyen ''D'' a feladatban szereplő halmaz és legyen ''U'' = ''A'' U ''B'' U ''C'' a komplementerképzés alaphalmaza! Emeljünk ki ''A''-t!</del></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>1. Legyen a komplementerképzés univerzuma U. Tegyük fel, hogy van megoldás. Eltünik az ''X'' komplementer a bal oldalról, ha mindkét oldalt elmetszük ''X''-szel <ins class="diffchange diffchange-inline">(ez nem egy ekvivalens átalakítás, csak ritkán, melyenek fennállását külön meg kell gondolnunk)</ins>:</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">:<math>D=A\cap ((B\cap C)\cup (B\cap \overline{C})\cup(\overline{B}\cap C)\cup(\overline{B}\cap \overline{C}))=</math></del></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">A második tényező első két tagjából kiemelhetünk ''B''-t a második két tagjából ''B'' komplementert:</del></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">:<math>=A\cap ((B\cap (C\cup \overline{C}))\cup(\overline{B}\cap (C\cup\overline{C})))=</math></del></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">ekkor a halmaz és komplementere kiadja ''U''-t, így:</del></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">:<math>=A\cap ((B\cap U)\cup(\overline{B}\cap U))=A\cap (B\cup\overline{B})=A \cap U=A</math></del></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">Tehát ''D'' = ''A''.</del></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">Vagy Boole-algebrai formalizmusban:</del></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">:<math>d=abc+a\overline{b}c+ab\overline{c}+a\overline{bc}=a(bc+\overline{b}c+b\overline{c}+\overline{bc})=a((b+\overline{b})c+(b+\overline{b})\overline{c})=</math></del></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">:<math> =a(1c+1\overline{c})=a(c+\overline{c})=a\cdot 1=a</math></del></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">1.2.  </del></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">:<math>(A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap (B\cup C)= C\cap (B \cup C)= C</math></del></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">az elnyelési tulajdonság miatt és mert ''A'' &sube; ''C'' pontosan azt jelenti, hogy ''A'' U ''C'' = ''C''.</del></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">2.</del>1. Legyen a komplementerképzés univerzuma U. Tegyük fel, hogy van megoldás. Eltünik az ''X'' komplementer a bal oldalról, ha mindkét oldalt elmetszük ''X''-szel:</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>\begin{matrix}</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>\begin{matrix}</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>(A-X) \cup B & = & X \\</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>(A-X) \cup B & = & X \\</div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-lineno">183. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">185. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>De ez elégséges feltétele is a megoldhatóságnak, ugyanis ekkor az ''X'' = ''B'' helyettesítés kielégíti az egyenletet:</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>De ez elégséges feltétele is a megoldhatóságnak, ugyanis ekkor az ''X'' = ''B'' helyettesítés kielégíti az egyenletet:</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math> \quad\quad(A\cap \overline{B}) \cup B =\emptyset \cup B=B</math></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math> \quad\quad(A\cap \overline{B}) \cup B =\emptyset \cup B=B</math></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">2.</del>2.  </div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>2.  </div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>A-X=X-A\,</math></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>A-X=X-A\,</math></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>vagyis  </div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>vagyis  </div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>A\cap\overline{X}=X\cap \overline{A}\,</math></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>A\cap\overline{X}=X\cap \overline{A}\,</math></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div>Ha van megoldás és bemetszünk mindkét oldalon ''A''-val, akkor  </div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>Ha van megoldás és bemetszünk mindkét oldalon ''A''-val <ins class="diffchange diffchange-inline">(ez nem egy ekvivalens átalakítás, csak ritkán, melyenek fennállását külön meg kell gondolnunk)</ins>, akkor  </div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>A\cap A\cap\overline{X}=X\cap \overline{A}\cap A\,</math></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>A\cap A\cap\overline{X}=X\cap \overline{A}\cap A\,</math></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>A\cap\overline{X}=\emptyset</math></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>A\cap\overline{X}=\emptyset</math></div></td></tr>
</table>Mozohttp://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Matematika_k%C3%B6zlek_A1a_2013/2._gyakorlat&diff=9001&oldid=prevMozo: /* Példák */2013-09-15T09:59:29Z<p><span class="autocomment">Példák</span></p>
<table class='diff diff-contentalign-left'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr valign='top'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">←Régebbi változat</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">A lap 2013. szeptember 15., 09:59-kori változata</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno">138. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">138. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>''Ugyanis,'' ekkor <math>K=\emptyset</math>, <math>L\ne\emptyset</math>.</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>''Ugyanis,'' ekkor <math>K=\emptyset</math>, <math>L\ne\emptyset</math>.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">===Halmazegyenletek===</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"># '''Egyszerűsítse az alábbi kifejezéseket!'''</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">## <math>(A\cap B\cap C)\cup (A\cap B\cap \overline{C})\cup(A\cap \overline{B}\cap C)\cup(A\cap \overline{B}\cap \overline{C})=?</math> </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">## <math>(A\cap B)\cup C=?</math>, ha <math>A\subseteq C</math>.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"># '''Oldja meg az alábbi halmazegyenleteket, ''X''-re!'''</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">## <math> (A-X)\cup B=X\,</math></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">##  <math>A-X=X-A\,</math></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">''Megoldás.'' </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">1.1. Legyen ''D'' a feladatban szereplő halmaz és legyen ''U'' = ''A'' U ''B'' U ''C'' a komplementerképzés alaphalmaza! Emeljünk ki ''A''-t!</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">:<math>D=A\cap ((B\cap C)\cup (B\cap \overline{C})\cup(\overline{B}\cap C)\cup(\overline{B}\cap \overline{C}))=</math></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">A második tényező első két tagjából kiemelhetünk ''B''-t a második két tagjából ''B'' komplementert:</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">:<math>=A\cap ((B\cap (C\cup \overline{C}))\cup(\overline{B}\cap (C\cup\overline{C})))=</math></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">ekkor a halmaz és komplementere kiadja ''U''-t, így:</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">:<math>=A\cap ((B\cap U)\cup(\overline{B}\cap U))=A\cap (B\cup\overline{B})=A \cap U=A</math></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">Tehát ''D'' = ''A''.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">Vagy Boole-algebrai formalizmusban:</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">:<math>d=abc+a\overline{b}c+ab\overline{c}+a\overline{bc}=a(bc+\overline{b}c+b\overline{c}+\overline{bc})=a((b+\overline{b})c+(b+\overline{b})\overline{c})=</math></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">:<math> =a(1c+1\overline{c})=a(c+\overline{c})=a\cdot 1=a</math></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">1.2.  </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">:<math>(A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap (B\cup C)= C\cap (B \cup C)= C</math></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">az elnyelési tulajdonság miatt és mert ''A'' &sube; ''C'' pontosan azt jelenti, hogy ''A'' U ''C'' = ''C''.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">2.1. Legyen a komplementerképzés univerzuma U. Tegyük fel, hogy van megoldás. Eltünik az ''X'' komplementer a bal oldalról, ha mindkét oldalt elmetszük ''X''-szel:</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">:<math>\begin{matrix}</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">(A-X) \cup B & = & X \\</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">(A\cap \overline{X}) \cup B & = & X \\</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">((A\cap \overline{X}) \cup B)\cap X & = & X \cap X\\</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">(A\cap \overline{X}\cap X) \cup (B\cap X) & = & X \\</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">(A\cap \emptyset) \cup (B\cap X) & = & X \\</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">B\cap X & = & X </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">\end{matrix}</math></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">ez utóbbi pontosan azt jelenti, hogy ''X'' &sube; ''B''. Emellett a feltétel mellett B-vel a baloldalon "beuniózva":</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">:<math> [\;X =\; ]\quad\quad(A\cap \overline{X}) \cup B =(A\cup B)\cap (\overline{X}\cup B)\supseteq (A\cup B)\cap (\overline{X}\cup X)=(A\cup B)\cap U =A\cup B</math></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">amiből következik, hogy ''B'' &sube; ''X'' és ''A'' &sube; ''X''. Ez azt jelenti, hogy ha van megoldás, akkor az egyértelmű éspedig</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">:<math>X=B\,</math></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">Most vizsgáljuk meg a megoldhatóság feltételét. Azt kaptuk, hogy ha van megoldás, akkor  ''A'' &sube; ''X'' = ''B'', vagyis </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">:<math>A\subseteq B\,</math></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">De ez elégséges feltétele is a megoldhatóságnak, ugyanis ekkor az ''X'' = ''B'' helyettesítés kielégíti az egyenletet:</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">:<math> \quad\quad(A\cap \overline{B}) \cup B =\emptyset \cup B=B</math></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">2.2. </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">:<math>A-X=X-A\,</math></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">vagyis </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">:<math>A\cap\overline{X}=X\cap \overline{A}\,</math></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">Ha van megoldás és bemetszünk mindkét oldalon ''A''-val, akkor </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">:<math>A\cap A\cap\overline{X}=X\cap \overline{A}\cap A\,</math></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">:<math>A\cap\overline{X}=\emptyset</math></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">azaz ''A'' &sube; ''X'', de az egyenlet ''szimmetrikus'' az ''A'' és az ''X'' felcserélésére, ezért  ''X'' &sube; ''A'' is teljesül, amiből ''X'' = ''A'', ha van megoldás. Márpedig az egyenletet az ''X'' = ''A'' kielégíti.</ins></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>==Házi feladatok==</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>==Házi feladatok==</div></td></tr>
</table>Mozohttp://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Matematika_k%C3%B6zlek_A1a_2013/2._gyakorlat&diff=9000&oldid=prevMozo, 2013. szeptember 15., 09:56-n2013-09-15T09:56:54Z<p></p>
<table class='diff diff-contentalign-left'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr valign='top'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">←Régebbi változat</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">A lap 2013. szeptember 15., 09:56-kori változata</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno">1. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">1. sor:</td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">==Halmatalgebra==</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">===Megjegyzés===</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">Az és és a vagy logikai operátoraival analóg a &forall; és &exist;, azaz "minden" és "létezik" szavakra vonatkozó szabályok is. A &forall; az &and;-sel rokonítható, az &exist; a &or;-gyal. Ezek az operátorok nem két mondatot kapcsolnak össze, hanem sok mondatra vonatkoznak egyszerre, abban az értelemben, hogy egy ''A(x)'' predikátumból (nyitott mondatból) készítenek egy új mondatot. Például az ''A(x)'' := ''x-nek van emelt szintű matematika érettségije'' nyitott mondatból a &exist; a (&exist;x)''A(x)'' := ''van akinek van emelt szintű matematika érettségije'' mondatot képezi, a &forall;  a (&forall;x)''A(x)'' := ''mindenkinek van emelt szintű matematika érettségije'' mondatot képezi. Az előbbi azt jelenti, hogy a "jelenlévők" közül (az "alaphalmazból") valakinek azaz Pistinek, ''vagy'' Bélának, ''vagy'' Cilinek ill. valakinek van emelt érettségije matekból -- persze '''nem kell feltétlenül tudnunk''', hogy kinek; az utóbbi pedig, hogy Pistinek is ''és'' Bélának is ''és'' Cilinek is ''és'' Daniellának is ''és'' ... mindenkinek megvan az emelt matekja.  </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">:<math>(\forall\; \mathrm{ki})\quad\quad\frac{(\forall x)A(x)}{A(t)}</math> tetszőleges ''t'' dologra.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">:<math>(\forall\; \mathrm{be})\quad\quad\frac{A(x)}{(\forall x)A(x)}</math> ahol ''x''-re semmilyen plusz megszorítás nincs. </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">:<math>(\exist\; \mathrm{be})\quad\quad\frac{A(t)}{(\exist x)A(x)}</math> valamilyen ''t'' dologra.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">:<math>(\exist\; \mathrm{ki})\quad\quad\frac{\cfrac{\;A(x)\;}{C},(\exist x)A(x)}{C}</math></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>===Példa===</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>===Példa===</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">A fenti </del>következtetésekre azonnal hozhatunk példát a halmazok témaköréből, ugyanis a halmazműveletek megfeleltethetők a logikai műveleteknek. A halmazoknál van egy kitüntetett nyitott mondat: ha ''H'' halmaz, akkor ''x'' &isin; ''H'' azt jelenti, hogy az alaphalmaz egy ''x''-szel jelölt (esetleg közelebbről jobban meg nem határozott) eleme benne van a ''H'' halmazban. Legyenek ''A'' és ''B'' halmazok. Ekkor ''A'' és ''B'' uniója:</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">Az és és a vagy-ra vonatkozó </ins>következtetésekre azonnal hozhatunk példát a halmazok témaköréből, ugyanis a halmazműveletek megfeleltethetők a logikai műveleteknek. A halmazoknál van egy kitüntetett nyitott mondat: ha ''H'' halmaz, akkor ''x'' &isin; ''H'' azt jelenti, hogy az alaphalmaz egy ''x''-szel jelölt (esetleg közelebbről jobban meg nem határozott) eleme benne van a ''H'' halmazban. Legyenek ''A'' és ''B'' halmazok. Ekkor ''A'' és ''B'' uniója:</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>A\cup B=_\mathrm{def}\{x\mid x\in A \vee x\in B\}</math></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>:<math>A\cup B=_\mathrm{def}\{x\mid x\in A \vee x\in B\}</math></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>azaz azon elemek halmaza, mely az ''A'' illetve a ''B'' közül ''legalább az egyikben benne vannak'';</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>azaz azon elemek halmaza, mely az ''A'' illetve a ''B'' közül ''legalább az egyikben benne vannak'';</div></td></tr>
</table>Mozohttp://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Matematika_k%C3%B6zlek_A1a_2013/2._gyakorlat&diff=8999&oldid=prevMozo: Új oldal, tartalma: „===Példa=== A fenti következtetésekre azonnal hozhatunk példát a halmazok témaköréből, ugyanis a halmazműveletek megfeleltethetők a logikai műveleteknek. A …”2013-09-15T09:54:42Z<p>Új oldal, tartalma: „===Példa=== A fenti következtetésekre azonnal hozhatunk példát a halmazok témaköréből, ugyanis a halmazműveletek megfeleltethetők a logikai műveleteknek. A …”</p>
<p><b>Új lap</b></p><div>===Példa===<br />
A fenti következtetésekre azonnal hozhatunk példát a halmazok témaköréből, ugyanis a halmazműveletek megfeleltethetők a logikai műveleteknek. A halmazoknál van egy kitüntetett nyitott mondat: ha ''H'' halmaz, akkor ''x'' &isin; ''H'' azt jelenti, hogy az alaphalmaz egy ''x''-szel jelölt (esetleg közelebbről jobban meg nem határozott) eleme benne van a ''H'' halmazban. Legyenek ''A'' és ''B'' halmazok. Ekkor ''A'' és ''B'' uniója:<br />
:<math>A\cup B=_\mathrm{def}\{x\mid x\in A \vee x\in B\}</math><br />
azaz azon elemek halmaza, mely az ''A'' illetve a ''B'' közül ''legalább az egyikben benne vannak'';<br />
<br />
''A'' és ''B'' metszete:<br />
:<math>A\cap B=_\mathrm{def}\{x\mid x\in A \wedge x\in B\}</math><br />
azaz azon elemek halmaza, mely az ''A''-ban is ''és'' a ''B''-ben is benne vannak.<br />
<br />
Ha választ várnánk arra a kérdésre, hogy ''mi az a halmaz'', akkor szintén a matematikafilozófia ingoványában találnánk magunkat, ezért intellektuálisan a legtisztességesebb, ha tárgyunk célját (az analízis elsajátítását) érdeklődésünk homlokterébe tartva, ezzel a kérdéssel nem foglalkozunk.<br />
<br />
Tudjuk: két halmaz egyenlő, akkor és csak akkor, ha ugyanazok az elemeik. Formulákban:<br />
:<math>A=B\quad\Leftrightarrow\quad(\forall x)(\;(x\in A \Rightarrow x\in B)\;\wedge\; (x\in A \Leftarrow x\in B )\;)</math><br />
A nyilak a következtetés irányát jelzik. Az, hogy a "''ha A akkor B''" (jelben: ''A <math>\Rightarrow</math> B'') és az "''A -ból következik B''" (jelben: <math>\frac{A}{B}</math>) ugyanazt jelenti, az egyáltalán nem nyilvánvaló és valójában az úgy nevezett ''dedukciótétel'' mondja ki, persze bizonyos itt nem részletezett feltételek mellett.<br />
<br />
'''1. Feladat. ''' Igazoljuk a disztributív szabályt, legalábbis az egyiket, az alábbit: <br />
:<math>A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)</math><br />
''Bizonyítás.'' 1) Vegyünk egy tetszőleges ''x''-et. Igazoljuk: "ha ''x'' &isin; baloldal, akkor ''x'' &isin; jobboldal". <br />
:<math>x\in A\cap (B\cup C)</math><br />
::<math>x\in A</math><br />
::<math>x\in B\cup C</math><br />
Esetszétválasztás jön, mert innentől nem tudjuk, ''x'' a ''B''-ben vagy a ''C'-ben van<br />
:::<math>x\in B</math><br />
::::<math>x\in B</math> és <math>x\in A</math> (igaz állítást bármihez "hozzáéselhetünk": és be)<br />
::::<math>x\in A\cap B</math><br />
::::<math>x\in (A\cap B)</math> vagy <math>x\in (A\cap C)</math> (bármi "hozzávagyolható" egy igaz kijelentéshez: vagy be)<br />
::::<math>x\in (A\cap B)\cup(A\cap C)</math> <br />
:::<math>x\in C</math><br />
::::<math>x\in C</math> és <math>x\in A</math> (igaz állítást bármihez "hozzáéselhetünk": és be)<br />
::::<math>x\in A\cap C</math><br />
::::<math>x\in (A\cap C)</math> vagy <math>x\in (A\cap B)</math> (bármi "hozzávagyolható" egy igaz kijelentéshez: vagy be)<br />
::::<math>x\in (A\cap B)\cup(A\cap C)</math><br />
:::<math>x\in (A\cap B)\cup(A\cap C)</math> azaz mindkét esetben kijött a jobboldal.<br />
2) Visszafelé ugyanígy, csak felfelé.<br />
<br />
==Negáció, indirekt bizonyítás==<br />
A tagadás (negáció) kiküszöbölési szabálya az úgy nevezett ''kettős tagadás törlésének szabálya'':<br />
:<math>(\neg\; \mathrm{ki})\quad\quad\frac{\neg\neg A}{A}</math> <br />
A bevezetési szabálya pedig az úgy nevezett ''redukció ad abszurdum''.<br />
:<math>(\neg\; \mathrm{be})\quad\quad\frac{\cfrac{\;A\;}{C},\;\cfrac{\;A\;}{\neg C}}{\neg A}</math><br />
Ezeknek a segítségével olyan fontos tételeket is levezethetünk, mint a De-Morgan azonosságok:<br />
:<math>\neg(A\vee B)\equiv \neg A\wedge \neg B</math><br />
:<math>\neg(A\wedge B)\equiv \neg A\vee \neg B</math><br />
A fentiekben a <math>\equiv</math>, hogy a két oldalon lévő kifejezés kölcsönösek következik egymásból.<br />
<br />
===Példák===<br />
Ami még hiányzik a logikai operációk és a halmazműveletek megfeleltetéséből, az negáció halmazműveletekkel történő átfogalmazása, mely nem titok, a komplementerképzés lesz. Sajnos komoly logikai problémát okozna, ha komplementeren egy ''A'' halmaz esetén azon elemeket értenénk, melyek nem az ''A''-ban vannak. Ekkor ugyanis egy kisebb halmaz, mint mondjuk az {1,2,3} komplementere a világ összes ezektől különböző dolgából állna. Ezzel azonban világos, hogy megint a matematikafilozófia ingoványos talajára tévednénk, így ezt másként tesszük.<br />
<br />
Ha ''H'' halmaz, akkor az ''A'' halmaznak a ''H''-ra vonatkozó komplementere az<br />
:<math>\overline{A}|_H=_\mathrm{def}\{x\in H\mid x\notin A\}</math><br />
<br />
Ha a fenti ''H'' halmazt alkalmasan nagynak választjuk, akkor elkerüljük a logikai problémát.<br />
<br />
Ezzel a De-Morgan-azonosságok halmazokkal megfogalmazott változata a következő alakban írható:<br />
:<math>\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}</math> <br />
:<math>\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}</math> <br />
<br />
A fenti egyenlőségek középiskolából ismert relációval is kifejezhetők. Azt mondjuk, hogy ''A'' része ''B''-nek, ha minden olyan esetben, amikor egy elem eleme ''A''-nak, akkor ''B''-nek is eleme, jelben:<br />
:<math>A\subseteq B</math><br />
Azaz az, hogy ''A'' = ''B'' az ugyanaz, mint hogy <math>A\subseteq B</math> és <math>A\supseteq B</math> is teljesül.<br />
<br />
<br />
'''2. Feladat.''' Példaként nézzük csak a <br />
:<math>\overline{A\cup B}\supseteq\overline{A}\cap\overline{B}</math> <br />
esetet.<br />
<br />
''Megoldás.'' Vegyünk egy elemet a jobboldalból és igazoljuk, hogy benne van a baloldalban. Tudjuk a metszet definíciója miatt, hogy ekkor<br />
:<math>x\notin A</math><br />
:<math>x\notin B</math><br />
::<math>x\in A \vee B</math> (indirekt feltevés), ezek után esetszétválasztáshoz kell folyamodnunk. Mindkét esetben ellentmondásra jutunk:<br />
:::ha <math>x\in A</math>, akkor a legfelső<br />
:::ha <math>x\in B</math>, akkor a legfelső alatti egyenlőség miatt jutunk ellentmondásra, így a<br />
:<math>x\notin A \vee B</math> konklúzióra jutottunk.<br />
<br />
Egy másik jellegzetes példa a részhalmaz relációval kapcsolatos. Előtte azonban fel kell idéznünk a kvantrokra vonatkozó De-Morgan-azonosságot. A "létezik" szót (mely a "minden" duálisa) &exist;-tel jelöljük:<br />
:<math>\neg(\forall x)A(x)\equiv(\exists x)\neg A(x)</math><br />
:<math>\neg(\exists x)A(x)\equiv(\forall x)\neg A(x)</math><br />
A kijelentések világosak: ha nem minden dolog ''A'', akkor van olyan dolog, ami nem ''A''. Ha nem létezik ''A'', akkor minden dolog nem ''A'' tulajdonságú. <br />
<br />
'''3. Feladat.''' Igazoljuk, hogy az üres halmaz minden halmaznak része.<br />
<br />
''Megoldás.'' Legyen ''A'' tetszőleges halmaz. Indirekten tegyük fel, hogy <br />
:<math>\emptyset \not\subseteq A</math><br />
Az <math>\emptyset \subseteq A</math> formulákban így néz ki:<br />
:<math>(\forall x)(x\in \emptyset \Rightarrow x\in A)</math> <br />
Egy ilyen tagadása az, hogy a kvantort átírjuk a duálisára és a tulajdonságot tagadjuk:<br />
:<math>(\exists x)(x\in \emptyset \wedge x\notin A)</math> <br />
Ekkor azonban azt kaptuk, hogy létezik az üres halmaznak eleme, ami ellentmondás.<br />
<br />
==Boole-algebrai átalakítások==<br />
Világos, hogy az unióra és a metszetre a definíciójuk miatt ugyanazok az azonosságok vonatkoznak, mint a "vagy"-ra és az "és"-re. Ezeket a szabályokat Boole-algebrai azonosságoknak nevezzük. Ahhoz, hogy teljes legyen a kép még egy fontos halmazműveletet fel kell elevenítenünk:<br />
Legyenek ''A'' és ''B'' halmazok. Ekkor ''A'' mínusz ''B'' vagy ''A'' különbség ''B'':<br />
:<math>A\setminus B=_\mathrm{def}\{x\mid x\in A \wedge x\notin B\}</math><br />
azaz azon elemek halmaza, melyek az ''A''-nak elemei, de a ''B''-nek nem.<br />
<br />
Nagyon hasznos azonosság, hogy a különbség átírható komplementer és metszet segítségével:<br />
:<math>A\setminus B=A\cap\overline{B}</math><br />
ahol a komplementerképzés egy olyan halmazra vonatkoztatjuk, melyben minden szóban forgó halmaz részhalmazként benne van, például jelen esetben ''H'' = ''A'' U ''B'' alkalmas ilyen halmaz .<br />
<br />
'''4. Feladat.''' Igazoljuk, hogy tetszőleges ''A'', ''B'' és ''C'' halmazokra<br />
:<math>A\setminus(B\setminus C)=(A\setminus B)\cup (A\cap C)</math><br />
<br />
''Megoldás.'' Írjuk fel a baloldalt és alakítsuk addig, míg ki nem jön a jobboldal:<br />
:<math>A\setminus(B\setminus C)=A\cap \overline{B \cap \overline{C}}=A\cap (\overline{B}\cup \overline{\overline{C}})=(A\cap \overline{B}) \cup (A\cap C)=</math><br />
:::<math>=(A\setminus B)\cup (A\cap C)</math><br />
<br />
==Cáfoló példák, cáfoló szituációk==<br />
<br />
Azt, hogy egy kijelentés igaz, azt a matematikában ''bizonyítással'' látjuk be. Például egy "ha ''A'', akkor ''B''" állítás esetén az ''A''-ból levezetjük ''B''-t. <br />
<br />
Azt, hogy egy kijelentés hamis, általában cáfoló ellenpélda vagy cáfoló szituációra való rámutatással. Például egy "ha ''A'', akkor ''B''" állítás cáfolása esetén meg kell mutatunk, hogy a megadott cáfoló szituációban ''A'' ugyan igaz, de ''B'' nem. Ez azt jelenti, hogy ellenpélda esetén is kell bizonyítanunk, éspedig az előző esetben azt, hogy "bár ''A'', de nem ''B''". A metódus tehát a következő: 1) adunk egy példát 2) belátjuk, hogy az adott példa ellenpélda.<br />
<br />
===Példák===<br />
<br />
'''5. Feladat.''' Legyen ''A'', ''B'' és ''C'' tetszőleges halmaz, továbbá legyen <br />
:<math>K=(A\setminus(B\setminus C))\setminus C</math> és <br />
:<math> L=(A\setminus B)\cup(A\cap C)</math><br />
Vizsgáljuk meg, hogy melyik tartalmazás áll fenn!<br />
# <math>K\subseteq L</math><br />
# <math> K\supseteq L</math><br />
<br />
''Megoldás. '' Az ''A'' U ''B''-re vonatkozó komplementerképzésre áttérve:<br />
:<math>K=A\cap \overline{B\cap\overline{C}}\cap \overline{C}=A\cap (\overline{B}\cup C)\cap\overline{C}=((A\cap \overline{B})\cup (A\cap C))\cap\overline{C}=</math><br />
::<math>=((A\setminus B)\cup (A\cap C))\cap\overline{C}=L\cap\overline{C}</math><br />
<br />
Tehát <math>K\subseteq L</math> biztosan igaz, azaz (1) igaz.<br />
<br />
Ellenben (2) hamis, ''ellenpélda'': <br />
:<math>A=C=\{1\}\ne\emptyset</math>,<math> B=\emptyset</math><br />
''Ugyanis,'' ekkor <math>K=\emptyset</math>, <math>L\ne\emptyset</math>.<br />
<br />
<br />
==Házi feladatok==<br />
# K\(K\L) = L\(L\K)<br />
# (K &cap; L) \ ( K\M ) = K &cap; L &cap; M<br />
# (K\L)\M = (K\M)\(L\M)</div>Mozo