http://wiki.math.bme.hu/history/Matematika_verseny/2011?feed=atom&Matematika verseny/2011 - Laptörténet2024-03-28T16:01:23ZAz oldal laptörténete a wikibenMediaWiki 1.18.1http://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Matematika_verseny/2011&diff=8736&oldid=prevAmbrus, 2013. április 29., 07:54-n2013-04-29T07:54:21Z<p></p>
<table class='diff diff-contentalign-left'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr valign='top'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">←Régebbi változat</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">A lap 2013. április 29., 07:54-kori változata</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno">1. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">1. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del class="diffchange diffchange-inline"> </del>== Matematika verseny 2011 ==</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>== Matematika verseny 2011 ==</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>A 2011. évi [[Matematika verseny|BME Matematika versenyt]] 2011. április 14-én rendezték meg.  [[Matematika verseny|A verseny általános leírását lásd a Matematika verseny lapon]], [http://www.math.bme.hu/~horvath/verseny.html a feladatsort és eredményeket Horváth Miklós honlapján].   </div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>A 2011. évi [[Matematika verseny|BME Matematika versenyt]] 2011. április 14-én rendezték meg.  [[Matematika verseny|A verseny általános leírását lásd a Matematika verseny lapon]], [http://www.math.bme.hu/~horvath/verseny.html a feladatsort és eredményeket Horváth Miklós honlapján].   </div></td></tr>
</table>Ambrushttp://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Matematika_verseny/2011&diff=8720&oldid=prevAmbrus, 2013. április 18., 08:23-n2013-04-18T08:23:38Z<p></p>
<table class='diff diff-contentalign-left'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr valign='top'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">←Régebbi változat</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">A lap 2013. április 18., 08:23-kori változata</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno">72. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">72. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>az <math> 1, 2, \dots, k </math> számok csupa különböző ciklusban.</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>az <math> 1, 2, \dots, k </math> számok csupa különböző ciklusban.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div>== Megoldás ==</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">=</ins>== Megoldás <ins class="diffchange diffchange-inline">=</ins>==</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>Vegyük az <math> 1, \dots, n - 1 </math> számok egy permutációját,</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>Vegyük az <math> 1, \dots, n - 1 </math> számok egy permutációját,</div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-lineno">112. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">112. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div><math> (1/(n-1)) \cdot ((n-1)/n) = 1/n </math>.</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div><math> (1/(n-1)) \cdot ((n-1)/n) = 1/n </math>.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div>== Megoldás másképp ==</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">=</ins>== Megoldás másképp <ins class="diffchange diffchange-inline">=</ins>==</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>Ismert, hogy ha a ciklusfelbontást úgy írjuk fel,  </div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>Ismert, hogy ha a ciklusfelbontást úgy írjuk fel,  </div></td></tr>
</table>Ambrushttp://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Matematika_verseny/2011&diff=8719&oldid=prevAmbrus: /* 8. feladat */2013-04-18T08:22:21Z<p><span class="autocomment">8. feladat</span></p>
<table class='diff diff-contentalign-left'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr valign='top'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">←Régebbi változat</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">A lap 2013. április 18., 08:22-kori változata</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno">72. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">72. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>az <math> 1, 2, \dots, k </math> számok csupa különböző ciklusban.</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>az <math> 1, 2, \dots, k </math> számok csupa különböző ciklusban.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div>==<del class="diffchange diffchange-inline">= A szerkesztő megjegyzése =</del>==</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>== <ins class="diffchange diffchange-inline">Megoldás </ins>==</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">A feladatra van olyan megoldás, ami </del>az a. és b. <del class="diffchange diffchange-inline">részt </del>is <del class="diffchange diffchange-inline">megoldja</del>, <del class="diffchange diffchange-inline">de olyan megoldás </del>is, <del class="diffchange diffchange-inline">ami </del>csak az a. <del class="diffchange diffchange-inline">részt oldja meg</del>.</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">Vegyük </ins>az <ins class="diffchange diffchange-inline"><math> 1, \dots, n - 1 </math> számok egy permutációját,</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">és állítsuk elő ennek </ins>a <ins class="diffchange diffchange-inline">ciklusfelbontását</ins>.</div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">Ebből megkaphatjuk az <math> 1, \dots, n </math> egy permutációját úgy,</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">hogy valamelyik ciklusba valahova beszúrjuk az <math> n </math> számot.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">Mivel bármely <math> t </math> hosszú ciklusba <math> t </math> helyre lehet egy új elemet beszúrni,</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">ez összesen <math> n - 1 </math> lehetőség.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">Ezen kívül kaphatunk még egy permutációt úgy is, hogy az <math> n </math> egy új, </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">1 hosszú ciklusba kerül.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">Nem nehéz látni, </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">hogy ha vesszük az <math> 1, \dots, n - 1 </math> egy egyenletes eloszlású </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">véletlen permutációját,</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>és <ins class="diffchange diffchange-inline">a talált <math> n </math> lehetséges kibővítés valamelyikét </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">választjuk egyenletesen véletlenszerűen,</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">akkor így az <math> 1, \dots, n </math> egy egyenletes eloszlású véletlen permutációját kapjuk.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">Csakhogy ha <math> k \le n - 1 </math>, </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">akkor a permutáció kibővítése nem változtat azon, </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">hogy az <math> 1, \dots, k </math> számok közül melyek vannak egy ciklusban.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">Így aztán elég belátni az állítást a <math> k = n </math> esetben.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">A (</ins>b<ins class="diffchange diffchange-inline">) állítás ilyenkor nyilvánvaló, </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">mert a <math> k </math> szám csak az identikus permutációban kerül </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">mindegyik elem külön ciklusba</ins>.</div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">Az (a) állítást <math> n </math>-re teljes indukcióval láthatjuk be </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">(mindig a <math> k = n </math> esetet véve).</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">Tegyük fel, hogy az <math> 1, \dots, n </math> egy permutációját</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">megint a fenti módon, </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">egy eggyel rövidebb permutáció kibővítéseként kapjuk.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">Az összes eleme ekkor pontosan akkor van egy ciklusban,</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">ha ez már a rövidebb permutációban </ins>is <ins class="diffchange diffchange-inline">teljesült</ins>,</div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">és az <math> n </math> </ins>is <ins class="diffchange diffchange-inline">ebbe a ciklusba kerül.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">Az indukciós feltétel miatt a rövidebb permutáció <math> 1/(n-1) </math></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">valószínűséggel áll egy ciklusból</ins>,</div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">és bármely ilyen permutációnak az <math> n </math> kibővítése közül</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>csak <ins class="diffchange diffchange-inline">egy olyan, hogy </ins>az <ins class="diffchange diffchange-inline"><math> n </math> nem ebbe </ins>a <ins class="diffchange diffchange-inline">ciklusba kerül,</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">tehát a keresett valószínűség valóban</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline"><math> (1/(n-1)) \cdot ((n-1)/n) = 1/n </math></ins>.</div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">== Megoldás másképp ==</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">Ismert, hogy ha a ciklusfelbontást úgy írjuk fel, </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">hogy minden ciklust a legkisebb elemével kezdjük,</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">és a ciklusokat az első elem szerint csökkenő sorrendben írjuk egymás után,</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">akkor elhagyhatjuk a ciklusokat határoló zárójeleket, </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">mert az elhagyás után kapott permutáció az eredetit egyértelműen azonosítja.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">A zárójelek elhagyása után tehát ismét az <math> 1, \dots, n </math> </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">egy egyenletes véletlen permutációját kapjuk.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">Az, </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">hogy az eredeti permutációban az <math> 1, \dots, k </math> külön ciklusokba kerül,</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">azzal ekvivalens,</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">hogy az új permutációban ezek az elemek csökkenő sorrendben állnak,</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">aminek a valószínűsége nyilván <math> 1/(k!) </math>.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">Másrészt az, </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">hogy az eredeti permutációban az <math> 1, \dots, k </math> egy ciklusba kerül,</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">ekvivalens azzal,</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">hogy az új permutációban ezek közül az elemek közül az <math> 1 </math> áll legelöl,</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">ennek pedig <math> 1/k </math> a valószínűsége</ins>.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>== 9. feladat ==</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>== 9. feladat ==</div></td></tr>
</table>Ambrushttp://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Matematika_verseny/2011&diff=8688&oldid=prevAmbrus, 2013. április 10., 11:32-n2013-04-10T11:32:56Z<p></p>
<table class='diff diff-contentalign-left'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr valign='top'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">←Régebbi változat</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">A lap 2013. április 10., 11:32-kori változata</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno">1. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">1. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>  == Matematika verseny 2011 ==</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>  == Matematika verseny 2011 ==</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div>A 2011. évi [[Matematika verseny|BME Matematika versenyt]] 2011. április 14-én rendezték meg.  [[Matematika verseny|A verseny általános leírását lásd a Matematika verseny lapon]], [http://www.math.bme.hu/~horvath/verseny.html a feladatsort és eredményeket Horváth Miklós honlapján<del class="diffchange diffchange-inline">]</del>].   </div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>A 2011. évi [[Matematika verseny|BME Matematika versenyt]] 2011. április 14-én rendezték meg.  [[Matematika verseny|A verseny általános leírását lásd a Matematika verseny lapon]], [http://www.math.bme.hu/~horvath/verseny.html a feladatsort és eredményeket Horváth Miklós honlapján].   </div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>Ez a lap a feladatokat tartalmazza, de ide (vagy allapokra) lehet írni a feladatok megoldását vagy megjegyzéseket hozzájuk.</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>Ez a lap a feladatokat tartalmazza, de ide (vagy allapokra) lehet írni a feladatok megoldását vagy megjegyzéseket hozzájuk.</div></td></tr>
</table>Ambrushttp://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Matematika_verseny/2011&diff=8687&oldid=prevAmbrus: /* 8. feladat */2013-04-10T11:32:43Z<p><span class="autocomment">8. feladat</span></p>
<table class='diff diff-contentalign-left'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr valign='top'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">←Régebbi változat</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">A lap 2013. április 10., 11:32-kori változata</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno">71. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">71. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>b. <math> 1/k! </math> valószínűséggel lesznek</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>b. <math> 1/k! </math> valószínűséggel lesznek</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>az <math> 1, 2, \dots, k </math> számok csupa különböző ciklusban.</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>az <math> 1, 2, \dots, k </math> számok csupa különböző ciklusban.</div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">=== A szerkesztő megjegyzése ===</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">A feladatra van olyan megoldás, ami az a. és b. részt is megoldja, de olyan megoldás is, ami csak az a. részt oldja meg.</ins></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>== 9. feladat ==</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>== 9. feladat ==</div></td></tr>
</table>Ambrushttp://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Matematika_verseny/2011&diff=8686&oldid=prevAmbrus: /* 6. feladat */2013-04-10T11:31:55Z<p><span class="autocomment">6. feladat</span></p>
<table class='diff diff-contentalign-left'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr valign='top'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">←Régebbi változat</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">A lap 2013. április 10., 11:31-kori változata</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno">50. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">50. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>ahol <math> \chi(G) </math> a megfelelő irányítatlan gráf kromatikus száma.</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>ahol <math> \chi(G) </math> a megfelelő irányítatlan gráf kromatikus száma.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>Azaz az irányított kromatikus szám nem becsülhető a kromatikus szám ismeretében.</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>Azaz az irányított kromatikus szám nem becsülhető a kromatikus szám ismeretében.</div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">=== A szerkesztő megjegyzése ===</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">A feladatot értsük úgy, hogy csak olyan G gráfokat tekintünk, amelyekben semelyik két csúcs között nincs oda-vissza él (így az irányított kromatikus szám mindig véges).</ins></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>== 7. feladat ==</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>== 7. feladat ==</div></td></tr>
</table>Ambrushttp://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Matematika_verseny/2011&diff=8685&oldid=prevAmbrus: Új oldal, tartalma: „ == Matematika verseny 2011 == A 2011. évi BME Matematika versenyt 2011. április 14-én rendezték meg. [[Matematika verseny|A verseny által…”2013-04-10T11:30:58Z<p>Új oldal, tartalma: „ == Matematika verseny 2011 == A 2011. évi <a href="/view/Matematika_verseny" title="Matematika verseny">BME Matematika versenyt</a> 2011. április 14-én rendezték meg. [[Matematika verseny|A verseny által…”</p>
<p><b>Új lap</b></p><div> == Matematika verseny 2011 ==<br />
<br />
A 2011. évi [[Matematika verseny|BME Matematika versenyt]] 2011. április 14-én rendezték meg. [[Matematika verseny|A verseny általános leírását lásd a Matematika verseny lapon]], [http://www.math.bme.hu/~horvath/verseny.html a feladatsort és eredményeket Horváth Miklós honlapján]]. <br />
<br />
Ez a lap a feladatokat tartalmazza, de ide (vagy allapokra) lehet írni a feladatok megoldását vagy megjegyzéseket hozzájuk.<br />
<br />
== 1. feladat ==<br />
<br />
Adott <math> a, b, c, d </math> oldalhosszúságú síkbeli négyszögek közül<br />
melyik lesz maximális területű?<br />
Az oldalak ebben a sorrendben csatlakoznak.<br />
<br />
== 2. feladat ==<br />
<br />
Melyek azok a tízes számrendszerben felírt természetes számok,<br />
melyek utolsó számjegyét az elejére áthelyezve az eredeti szám 2/3-át kapjuk?<br />
<br />
== 3. feladat ==<br />
<br />
Legyen <math> A </math> invertálható <math> n \times n </math>-es mátrix.<br />
Tegyük fel, hogy az <math> A </math> és <math> A^{-1} </math> mátrixok minden el<br />
eme nemnegatív.<br />
Bizonyítsuk be, hogy van olyan <math> k > 0 </math> egész,<br />
hogy <math> A^k </math> diagonális mátrix.<br />
<br />
== 4. feladat ==<br />
<br />
:<math> \int_{0}^{\infty} e^{-(y^2+y^{-2})}dy = ? </math><br />
<br />
== 5. feladat ==<br />
<br />
a. Legyenek <math> v_1, \dots, v_n </math> egységvektorok egy euklideszi térben,<br />
<math> |\langle v_i, v_j\rangle| < 1/(n-1) </math>, ha <math> i \ne j </math>.<br />
Mutassuk meg, hogy <math> v_1, \dots, v_n </math> lineárisan függetlenek. <br />
<br />
b. Lengyen <math> m = (n - 1)n/2 + 1 </math>, <math> v_1, \dots, v_m </math> egységvektorok,<br />
<math> |\langle v_i, v_j\rangle|^2 < 1/(m - 1) </math>, ha <math> i \ne j </math>.<br />
Mutassuk meg, hogy <math> v_1, \dots, v_m </math><br />
közül kiválasztható <math> n </math> lineárisan független vektor.<br />
<br />
== 6. feladat ==<br />
<br />
Az irányított <math> G </math> egyszerű gráf irányított kromatikus száma, <math> \chi_i(G) </math><br />
az a legkisebb <math> k </math>,<br />
amelyre <math> k </math> színnel színezhetők a csúcsok úgy,<br />
hogy egy él két vége különböző színű<br />
és bármely adott színpárban csak az egyik irányba vezethet él.<br />
Mutassuk meg, hogy nincs olyan <math> f : \mathbb{N} \to \mathbb{N} </math> függvény,<br />
melyre <math> \chi_i(G) \le f(\chi(G)) </math> teljesül minden <math> G </math>-re,<br />
ahol <math> \chi(G) </math> a megfelelő irányítatlan gráf kromatikus száma.<br />
Azaz az irányított kromatikus szám nem becsülhető a kromatikus szám ismeretében.<br />
<br />
== 7. feladat ==<br />
<br />
Mutassuk meg, hogy ha <math> f \in C(0, \infty) </math><br />
és minden <math> x > 0 </math>-ra <math> \lim_{n\to\infty} f(x/n) = 0 </math>,<br />
akkor <math> \lim_{x \to 0+} f(x) = 0 </math>.<br />
<br />
== 8. feladat ==<br />
<br />
Legyen <math> 1 \le k \le n </math>.<br />
Mutassuk meg, hogy az <math> 1, 2, \dots, n </math> számok egy véletlen permutációjánál <br />
<br />
a. <math> 1/k </math> valószínűséggel lesznek<br />
az <math> 1, 2, \dots, k </math> számok ugyanabban a ciklusban, <br />
<br />
b. <math> 1/k! </math> valószínűséggel lesznek<br />
az <math> 1, 2, \dots, k </math> számok csupa különböző ciklusban.<br />
<br />
== 9. feladat ==<br />
<br />
Legyenek <math> P, Q </math> ortogonális projekciók egy véges dimenziós térben.<br />
Mutassuk meg, hogy<br />
:<math> \mathbf{Tr} e^{P+Q} \le \mathbf{Tr}(e^P e^Q). </math><br />
<br />
== 10. feladat ==<br />
<br />
Legyen <math> f(z) </math> reguláris a <math> {\rm Re} z > 0 </math> félsíkon.<br />
Tegyük fel, hogy<br />
:<math> \lim_{z\to0, {\rm Re} z>0} \frac{f(z) - a_0}{z} = a_1. </math><br />
Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges <math> \delta > 0 </math> esetén<br />
:<math> \lim_{z\to0, {\rm Re} z>\delta|{\rm Im} z|} f'(z) = a_1. </math><br />
<br />
== Megjegyzések ==</div>Ambrus