http://wiki.math.bme.hu/history/Szerkeszt%C5%91:Mozo/A2_szigorlat_10?feed=atom&Szerkesztő:Mozo/A2 szigorlat 10 - Laptörténet2024-03-29T10:25:26ZAz oldal laptörténete a wikibenMediaWiki 1.18.1http://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Szerkeszt%C5%91:Mozo/A2_szigorlat_10&diff=12684&oldid=prevMozo, 2017. június 2., 07:52-n2017-06-02T07:52:10Z<p></p>
<table class='diff diff-contentalign-left'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr valign='top'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">←Régebbi változat</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">A lap 2017. június 2., 07:52-kori változata</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno">90. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">90. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>'''Tétel.''' -- Elsőderivált próba -- Legyen az ''f'' (a,b) <math>\to</math> '''R''' differenciálható az (a,u)U(u,b) halmazon és folytonos u-ban. Ekkor:</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>'''Tétel.''' -- Elsőderivált próba -- Legyen az ''f'' (a,b) <math>\to</math> '''R''' differenciálható az (a,u)U(u,b) halmazon és folytonos u-ban. Ekkor:</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div># ha f' < 0 (a,u)-n és f' > 0 (u,b)-n, akkor u-ban minimum van,  </div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div># ha f' < 0 (a,u)-n és f' > 0 (u,b)-n, akkor u-ban minimum van,  </div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div># ha f' <del class="diffchange diffchange-inline">< </del>0 (a,u)-n és f' <del class="diffchange diffchange-inline">> </del>0 (u,b)-n, akkor u-ban maximum van,  </div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div># ha f' <ins class="diffchange diffchange-inline">> </ins>0 (a,u)-n és f' <ins class="diffchange diffchange-inline">< </ins>0 (u,b)-n, akkor u-ban maximum van,  </div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div># ha azonos előjelű mindenhol, akkor biztosan nincs szélsőérték</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div># ha azonos előjelű mindenhol, akkor biztosan nincs szélsőérték</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div># ellenkező esetben a próba nem ját sikerrel.</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div># ellenkező esetben a próba nem ját sikerrel.</div></td></tr>
</table>Mozohttp://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Szerkeszt%C5%91:Mozo/A2_szigorlat_10&diff=12678&oldid=prevMozo: Új oldal, tartalma: „'''Fermat-féle szélsőértéktétel''' -- Differenciálható függvény belső pontbeli szélsőértéke létezésének szükséges feltétele -- Ha ''f'' valós-val…”2017-05-21T09:48:44Z<p>Új oldal, tartalma: „'''Fermat-féle szélsőértéktétel''' -- Differenciálható függvény belső pontbeli szélsőértéke létezésének szükséges feltétele -- Ha ''f'' valós-val…”</p>
<p><b>Új lap</b></p><div>'''Fermat-féle szélsőértéktétel''' -- Differenciálható függvény belső pontbeli szélsőértéke létezésének szükséges feltétele -- Ha ''f'' valós-valós függvény és ''f'' differenciálható az ''u'' &isin; int Dom(''f'') pontban és ''f''-nek ''u''-ban lokális szélsőértéke van, akkor <br />
:<math>f'(u)=0,</math><br />
<br />
Tipikus átvitelielves tétel, hisz a "határérték" létezését tudjuk, csak az értékét kell kiszámolnunk. Tegyük fel, hogy ''u''-ban minimum van. Legyen (&delta;<sub>n</sub>) az 0-hoz tartó pozitív sorozat, mely minden ''n''-re &delta;<sub>n</sub> + u, u- &delta;<sub>n</sub> &isin; Dom(''f''). Ekkor <br />
:<math>0\leq f(u+\delta_n)-f(u)\,</math> és <math>f(u-\delta_n)-f(u)\geq 0\,</math><br />
Most az elsőt osszuk le &deta;<sub>n</sub>-nel, a másodikat -&deta;<sub>n</sub>-nel. Ekkor:<br />
:<math>0\leq\frac{f(u+\delta_n)-f(u)}{\delta_n}\to f'(u)\,</math> és <math>f'(u)\leftarrow\frac{f(u-\delta_n)-f(u)}{-\delta_n}\leq 0\,</math><br />
S mivel, ha egy sorozat csupa nemnegatív (nempozitív), akkor a határértéke is ilyen, ezért:<br />
:<math>0\leq f'(u)\leq 0\,</math> azaz <math>f'(u)=0\,</math><br />
'''Tétel''' ''Lagrange-féle középértéktétel'' Legyen ''f'': [''a'',''b''] <math>\to</math> '''R''' differenciálható függvény. Ekkor létezik olyan &xi; &isin; (a,b), hogy <br />
:<math>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi)\,</math><br />
<br />
''Ugyanis,'' Legyen <br />
:<math>m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\,</math><br />
Olyan ''g'' differenciálható függvény adunk meg, melynek pontosan olyan ''x'' helyen van nulla deriváltja, ahol f'(x)=m. Transzformáljuk el az ''f'' függvényt az l(x)=m(x-a) függvénnyel:<br />
:<math>g(x)=f(x)-m(x-a)\quad\quad(x\in[a,b])</math><br />
Ez a függvény egyrészt differenciálható, mert differenciálhatókból van összetéve az azt megőrző módon (speciel, ekkor folytonos is). Másrészt: g(a)=f(a)=g(b). Harmadrészt tetszőleges ''x'' &isin; [a,b]-re <br />
:<math>g'(x)=0 \quad\quad \Leftrightarrow \quad\quad f'(x)=m</math><br />
A továbbiakban belátjuk, hogy g-nek van az (a,b) nyílton szélsőértéke.<br />
<br />
''g'' a Weierstrass-tétel miatt felveszi mindkét típusú extrémumát. Innen esetszétválasztással megyünk tovább. <br />
<br />
1) Ha max(g)=f(a) és min(g)=f(a), akkor a függvény konstans, így minden pontja szélsőérték.<br />
<br />
2) Ha max(g) és min(g) közül bármelyik nem f(a), akkor ez a valamelyik nem lehet sem a-ban, sem b-ben, mert ott a függvényérték f(a), belül kell, hogy legyen ez a szélsőérték.<br />
<br />
Tehát az (a,b)-ben van szélsőértékhely, mondjuk &xi;, amire a Fermat-féle szélsőértéktételt alkalmazva kapjuk, hogy <br />
:<math>g'(\xi)=0 \, </math><br />
tehát<br />
:<math>f'(\xi)=m\,</math><br />
QED<br />
<br />
'''Feladat.''' Igazoljuk, hogy intervallumon differenciálható függvény pontosan akkor monoton, ha a deriváltja mindenhol vagy nemnegatív, vagy nempozitív.<br />
<br />
<br />
'''Tétel.''' ''f'':<math>I</math> <math>\to</math> '''R''' differenciálható. Ekkor a következő két kijelentés ekvivalens egymással:<br />
# ''f'' monoton növekvő,<br />
# minden x &isin; <math>I</math>-re <math>f'(x)\geq 0</math><br />
<br />
''Ugyanis,'' 1) <math>\to</math> 2) a < x &isin; I-re: a monotonitásból:<br />
:<math>f(x)-f(a) \geq 0\quad\quad/:(x-a)</math><br />
:<math>\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \geq 0</math><br />
x < a &isin; I-re: a monotonitásból:<br />
:<math>f(a)-f(x) \geq 0\quad\quad/:(a-x)</math><br />
:<math>0\leq\frac{f(a)-f(x)}{a-x}=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}</math><br />
azaz a különbségi-hányados függvény mindenütt nemnegatív (amit úgy nevezünk, hogy a függvény az ''a''-ban lokálisan nő), azaz ennek határértéke sem lehet negatív.<br />
2) <math>\to</math> 1) minden a < b &isin; I-re:<br />
:<math>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi) \geq 0\quad\quad/\cdot(b-a)</math><br />
:<math>f(b)-f(a) \geq 0</math><br />
azaz ''f'' monoton nő. <br />
<br />
'''Tétel.''' ''f'':<math>I</math> <math>\to</math> '''R''' differenciálható. Ha minden x &isin; <math>I</math>-re <math>f'(x)> 0</math>''f'', akkor ''f'' szigorúan monoton növekvő.<br />
<br />
''Ugyanis,'' inden a < b &isin; I-re:<br />
:<math>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi) > 0\quad\quad/\cdot(b-a)</math><br />
:<math>f(b)-f(a) > 0</math><br />
azaz ''f'' szigorúan monoton nő.<br />
<br />
'''Feladat.''' Igaz-e?<br />
# Ha f monoton nő, akkor f' nemnegatív.<br />
# Ha f monoton nő, és mindenhol differenciálható, akkor f' nemnegatív.<br />
# Ha f mindenhol differenciálható és f' mindenhol nemnegatív, akkor f monoton nő.<br />
# Ha f intervallumon differenciálható és szigorúan monoton nő, akkor f' pozitív.<br />
<br />
''Megoldás.''<br />
# Ha úgy értjük, hogy mindenhol diffható és f' nemnegatív, akkor nem ha úgy, hogy csak ahol f' létezik, akkor igaz.<br />
# Igen, mert ekkor lokálisan is monoton nő.<br />
# Nem, f(x)=-1/x deriváltja mindenhol létezik, mindenhol nemnegatív és mégsem monoton nő (csak intervallumonként nő)<br />
# Nem, f(x)=x<sup>3</sup> szig. mon nő, de 0-ban a derivált 0.<br />
<br />
'''Feladat.''' Igazoljuk, hogy ha x > 0, akkor f(x) = ln(1+x)-x+1/2x<sup>2</sup> > 0!<br />
<br />
''Megoldás.'' Mivel 0-ban folytonosan kiterjeszthető, ezért ha a kiterjesztés szigorúan monoton növekvő lenne, akkor fennállna a kijelentés. Ehhez az kell, hogy a derivált (0,+&infin;)-en pozitív legyen:<br />
:<math> \frac{1}{1+x}-1 + x >0\,</math><br />
A baloldali függvény negativitására abból következtethetünk, hogy szigorúan monoton növekvő a folytonos kiterjesztése (ami létezik, 0-ban 1), amihez az kell, hogy a deriváltja (0,+&infin;)-en pozitív legyen:<br />
:<math> -\frac{1}{(1+x)^2}+1 >0\,</math><br />
ami fennáll, hiszen ez pont azt mondja, hogy <br />
:<math>1 >\frac{1}{(1+x)^2}\,</math><br />
azaz<br />
:<math>1 <(1+x)^2</math><br />
<br />
<br />
Láttuk a monotonitás differenciális jellemzését:<br />
<br />
:<math>f\in \mathrm{Diff}(I):\quad\quad f\in \mathrm{M}^{\leq} \;\Leftrightarrow\;f'\geq 0</math><br />
:<math>f\in \mathrm{Diff}(I):\quad\quad f\in \mathrm{M}^{\geq} \;\Leftrightarrow\;f'\leq 0</math><br />
<br />
A szélsőértékre és annak jellegére az első deriváltból a következő módon következtethetünk:<br />
<br />
'''Tétel.''' -- Elsőderivált próba -- Legyen az ''f'' (a,b) <math>\to</math> '''R''' differenciálható az (a,u)U(u,b) halmazon és folytonos u-ban. Ekkor:<br />
# ha f' < 0 (a,u)-n és f' > 0 (u,b)-n, akkor u-ban minimum van, <br />
# ha f' < 0 (a,u)-n és f' > 0 (u,b)-n, akkor u-ban maximum van, <br />
# ha azonos előjelű mindenhol, akkor biztosan nincs szélsőérték<br />
# ellenkező esetben a próba nem ját sikerrel.<br />
<br />
Világos, hogy ehhez kell a monotonitási vizsgálat.<br />
<br />
'''A második derivált vizsgálata''' A görbületre vonatkozó differenciális feltétel:<br />
:<math>f\in \mathrm{Diff}^2(I):\quad\quad f\in \mathrm{Konv} \;\Leftrightarrow\;f''\geq 0</math><br />
:<math>f\in \mathrm{Diff}^2(I):\quad\quad f\in \mathrm{Konk} \;\Leftrightarrow\;f''\leq 0</math><br />
<br />
A szélsőértékkel analóg fogalom itt az ''inflexiós pont'', mely eleve a differenciális feltétellel definiált: azt mondjuk, hogy az ''u'' &isin; I pont inflexiós pontja az <math>f\in \mathrm{Diff}^2(I)</math> függvénynek, ha abban a pontban a második derivált előjelet vált.<br />
<br />
Érdemes még megjegyezni a szélsőértékre vonatkozó másodikderivált próbát, mely lokális abban az értelemben, hogy pusztán csak a második derivált pontbeli értéke a döntő:<br />
<br />
'''Tétel.''' -- Másodikderivált próba -- Legyen <math>f\in \mathrm{C}^2(I)</math> olyan, hogy az ''u'' &isin; int(I) pontban f'(u)=0. Ekkor <br />
* ha f<nowiki>''</nowiki>(u) > 0, akkor ''u''-ban f-nek ''u''-ban lokális minimuma van,<br />
* ha f<nowiki>''</nowiki>(u) < 0, akkor ''u''-ban f-nek ''u''-ban lokális minimuma van,<br />
* más esetekben a próba nem jár sikerrel.<br />
<br />
A tétel így, azaz a kétszeri folytonos differenciálhatóság megkövetelésével kimondva világos. Az első esetben ''u'' egy környezetében f<nowiki>''</nowiki> pozitív, azaz f' szig. mon. nő, azaz a f' előjelet vált, így az első derivált próba szerint ott szélsőértéke van (éspedig minimum). A másik eset analóg ezzel.<br />
<br />
<br />
'''Tétel''' - ''Fermat-féle szélsőértéktétel'' - Legyen ''f'': '''R'''<sup>n</sup> <math>\supset\!\to</math> '''R''', ''u'' &isin; int Dom(''f''), ''f'' parciálisan differenciálható ''u''-ban.<br />
:Ha ''u''-ban ''f''-nek (lokális) szélsőértéke van, akkor <br />
::<math>\mathrm{grad}\,f(u)=0_{\mathbf{R}^n}\,</math> <br />
''U.is:'' minden ''i''-re az ''i''-edik parciális függvénynek szélsőértéke van ''u''<sub>i</sub>-ben, így az egyváltozós Fermat-tétel miatt ezeknek a deriváltja ''u''<sub>i</sub>-ben 0, így a gradiens értéke 0.<br />
<br />
'''Másodikderivált-próba'''<br />
Kétszer differenciálható függvényre vonatkozóan megfogalmazhatjuk a lokális maximum és minimum létezésének elégséges feltételét. Csak a kétváltozós függvényekkel foglalkozunk. Tegyük fel, hogy grad ''f''(u) = 0 és H<sup>f</sup>(u) az ''f'' Hesse-mátrixa<br />
# ha det H<sup>f</sup>(u) > 0 és &part;<sub>11</sub>''f''(''u'') < 0, akkor ''f''-nek ''u''-ban '''maximuma''' van<br />
# ha det H<sup>f</sup>(u) > 0 és &part;<sub>11</sub>''f''(''u'') > 0, akkor ''f''-nek ''u''-ban '''minimuma''' van<br />
# ha det H<sup>f</sup>(u) < 0, akkor ''f''-nek biztosan nincs szélsőértéke, ún. '''nyeregpont'''ja van<br />
# ha det H<sup>f</sup>(u) = 0, akkor a próba nem járt sikerrel, azaz további vizsgálatokat igényel annak eldöntése, hogy ''u'' szélsőérték hely-e.</div>Mozo