Szerkesztő:Mozo/A2 feladatok
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→2.) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Iterált határérték) |
||
41. sor: | 41. sor: | ||
==Iterált határérték== | ==Iterált határérték== | ||
− | === | + | ===Példa=== |
:<math>\lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}\frac{x^4}{x^4+y^4}</math> | :<math>\lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}\frac{x^4}{x^4+y^4}</math> | ||
====Megoldás==== | ====Megoldás==== | ||
67. sor: | 67. sor: | ||
Tehát g egyetlen pontból áll, éspedig a 0-nál 0. Ilyen (egypontú) függvények nincs határértéke: | Tehát g egyetlen pontból áll, éspedig a 0-nál 0. Ilyen (egypontú) függvények nincs határértéke: | ||
:<math>\not\exists\lim\limits_{x\to 0}g(x)</math> | :<math>\not\exists\lim\limits_{x\to 0}g(x)</math> | ||
+ | ===Példa=== | ||
+ | :<math>\lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}\;(x+|x|)\cdot \sin\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right)</math> | ||
+ | ====Megoldás==== | ||
+ | :<math>g(x)=\lim\limits_{y\to 0}\;(x+|x|)\cdot \sin\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right)=\left\{\begin{matrix} \not\exists\lim\limits_{y\to 0}\;2x\cdot \sin\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right) &,& x>0\\ | ||
+ | \\ | ||
+ | 0 &,& x\leq 0 | ||
+ | \end{matrix}\right.</math> | ||
+ | Tehát g csak a nemnegatívokon értelmezett és ott 0: | ||
+ | :<math>\lim\limits_{x\to 0}g(x)=0</math> |
A lap 2008. május 26., 22:54-kori változata
Tartalomjegyzék |
Függvényterek
1.
Legyen L az R-en értelmezett valós függvények következő lineáris altere:
(azaz az exp(2.), a sin(3.) és a cos(3.) függvények által kifeszített altér.) Adjuk meg L bázisát, igazoljuk, hogy
lineáris operátor és adjuk meg egy mátrixát!
Megoldás
boztosan generátorrendszere L-nek. Lássuk be, hogy B független. Tegyük fel ugyanis, hogy minden x valós számra
Ekkor x = 0-t véve:
illetve x = 2π-t véve is:
mely két egyenletet kivonva
azaz A = 0. Viszont ekkor C = 0-is teljesül és B csak nulla lehet, mert a szinuszfüggvény nem az azonosan nulla. Tehát a fenti egyenlőségnek csak triviális megoldása van A, B, C-ben.
Térjünk rá az operátor linearitására. A deriválás lineáris, a 4-gyel való szorzás lineáris és a leképezések összege lineáris, tehát A lineáris. Adjuk meg a mátrixot! A bázisok képei:
Így
Megjegyezzük, hogy a leképezés lényegében egy x tengely körüli forgatás, majd a tengelyek menti nyújtás. A sajátvektorai: Ae2x, sajátértéke 6.
Iterált határérték
Példa
Megoldás
Példa
Megoldás
Tehát g ≡ 0
Példa
Megoldás
Tehát g egyetlen pontból áll, éspedig a 0-nál 0. Ilyen (egypontú) függvények nincs határértéke:
Példa
Megoldás
Tehát g csak a nemnegatívokon értelmezett és ott 0: