Matematika A1a 2008/11. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Linearizáló formulák) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Példák) |
||
(egy szerkesztő 25 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
67. sor: | 67. sor: | ||
'''Példa.''' Felvetődik a kérdés: van-e konitinuum sok helyen szakadó, Riemann-integrálható függvény. A válasz igenlő. A konstrukció e következő. Először definiáljuk az '''ördög lépcsője''' függvényt: | '''Példa.''' Felvetődik a kérdés: van-e konitinuum sok helyen szakadó, Riemann-integrálható függvény. A válasz igenlő. A konstrukció e következő. Először definiáljuk az '''ördög lépcsője''' függvényt: | ||
− | A [0,1] intervallumot osszuk 3 részre és vegyük ki a belső nyílt harmadot. Ezen a szakaszon legyen a függvény értéke | + | A [0,1] intervallumot osszuk 3 részre és vegyük ki a belső nyílt harmadot. Ezen a szakaszon legyen a függvény értéke 1/2. Ismételjük a megmaradt két zárt intervallumra, és az érték legyen ott 1/4 ill. 3/4. A fennmaradt részeket is osszuk, majd a középső harmad értéke mindig a két szélső közepe legyen... Ha csak a belső harmadokat vesszük, akkor ami megmarad a halmazból, az az úgy nevezett Cantor-halmaz. A Cantor-halmaz kontinuum számosságúan végtelen, de Lebesgue-nullmértékű -- ezt a két dolgot persze nem bizonyítjuk. A függvény mindenhol folytonos, a m.m- deriválható és a deriváltja 0 (de nem intervallumon értelmezett: Dom = [0,1]\C). Ha most vesszük a deriváltfüggvényét és kiterjesztjük a C pontjaiban úgy, hogy ott 1 legyen az értéke, akkor ez egy kontinuum számosságú, de Lebesgue-nullmértékű halmazon szakadó, korlátos függvény, azaz integrálható. És az integrálja 0. Ebből is látható, hogy a fenti ekvivalenciatétel csodálatosan oldja meg, hogy bár a Riemann-felosztás véges, kontinuum számosságú, L-0-m. résszel is el tud bánni. |
===A Riemann-integrálhatóság néhány kritériuma=== | ===A Riemann-integrálhatóság néhány kritériuma=== | ||
84. sor: | 84. sor: | ||
1. | 1. | ||
:<math>f:[-1,1]\to \mathbf{R},\;x\mapsto\left\{\begin{matrix}|x|\sin(\frac{1}{x}), & \mathrm{ha} & x\ne 0 \\\\ 0, & \mathrm{ha} & x= 0\end{matrix}\right.</math> | :<math>f:[-1,1]\to \mathbf{R},\;x\mapsto\left\{\begin{matrix}|x|\sin(\frac{1}{x}), & \mathrm{ha} & x\ne 0 \\\\ 0, & \mathrm{ha} & x= 0\end{matrix}\right.</math> | ||
− | Igen, mert folytonos (illetve legfeljebb csak 1 ponton szakad). Ezen kívül páratlan: |-x|sin(1/-x) = -|x|sin(1/x), emiatt az origóra szimmetrikus intervallumon az integrálja 0 | + | Igen, mert folytonos (illetve legfeljebb csak 1 ponton szakad, miközben korlátos). Ezen kívül páratlan: |-x|sin(1/-x) = -|x|sin(1/x), emiatt az origóra szimmetrikus intervallumon az integrálja: |
+ | :<math>\int\limits_{-1}^1f(x)\,\mathrm{d}x=0</math> | ||
2. | 2. | ||
92. sor: | 93. sor: | ||
:<math>\sum\limits_{k=1}^{m-1}\frac{1}{2^k}\frac{1}{2^k}=\sum\limits_{k=1}^{m-1}\frac{1}{4^k}=-1-\frac{1}{4^{m}}+\sum\limits_{k=0}^{m}\frac{1}{4^k}\,</math> | :<math>\sum\limits_{k=1}^{m-1}\frac{1}{2^k}\frac{1}{2^k}=\sum\limits_{k=1}^{m-1}\frac{1}{4^k}=-1-\frac{1}{4^{m}}+\sum\limits_{k=0}^{m}\frac{1}{4^k}\,</math> | ||
Ennek a határértéke a mértani sor összegképlete miatt: | Ennek a határértéke a mértani sor összegképlete miatt: | ||
− | :<math>-1+\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{3}</math> | + | :<math>\int\limits_{0}^1f(x)\,\mathrm{d}x=-1+\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{3}</math> |
3. | 3. | ||
98. sor: | 99. sor: | ||
:<math>f:[0,1]\to \mathbf{R},\;x\mapsto\left\{\begin{matrix}\frac{1}{1+\sin(\frac{1}{x})}, & \mathrm{ha} & x\ne \frac{1}{-\frac{\pi}{2}+2k\pi},0\\\\ 0, & \mathrm{ha} & x= \frac{1}{\frac{-\pi}{2}+2k\pi},0\end{matrix}\right.</math> | :<math>f:[0,1]\to \mathbf{R},\;x\mapsto\left\{\begin{matrix}\frac{1}{1+\sin(\frac{1}{x})}, & \mathrm{ha} & x\ne \frac{1}{-\frac{\pi}{2}+2k\pi},0\\\\ 0, & \mathrm{ha} & x= \frac{1}{\frac{-\pi}{2}+2k\pi},0\end{matrix}\right.</math> | ||
− | Megszámlálható sok szakadása van ugyan a függvénynek, de nem korlátosan a szakadások, így a függvény nem integrálható | + | Megszámlálható sok szakadása van ugyan a függvénynek, de nem korlátosan a szakadások, így a függvény nem integrálható: |
+ | :<math>\not\exists\int\limits_{0}^1f(x)\,\mathrm{d}x</math> | ||
===Az határozott integrál néhány tulajdonsága=== | ===Az határozott integrál néhány tulajdonsága=== | ||
125. sor: | 127. sor: | ||
:<math>f:[0,2]\to \mathbf{R},\;x\mapsto\left\{\begin{matrix}1, & \mathrm{ha} & x\in [0,1) \\\\ 2, & \mathrm{ha} & x\in [1,2] \end{matrix}\right.</math> | :<math>f:[0,2]\to \mathbf{R},\;x\mapsto\left\{\begin{matrix}1, & \mathrm{ha} & x\in [0,1) \\\\ 2, & \mathrm{ha} & x\in [1,2] \end{matrix}\right.</math> | ||
− | írjuk fel az | + | írjuk fel az integrálfüggvényét tudva-tudván, hogy az nem más mint a területfüggvény: |
− | :<math>T(x)=\left\{\begin{matrix}x\cdot 1, & \mathrm{ha} & x\in [0,1) \\\\ 1+2(x-1), & \mathrm{ha} & x\in [1,2] \end{matrix}\right\}=\left\{\begin{matrix}x, & \mathrm{ha} & x\in [0,1) \\\\ | + | :<math>T(x)=\left\{\begin{matrix}x\cdot 1, & \mathrm{ha} & x\in [0,1) \\\\ 1+2(x-1), & \mathrm{ha} & x\in [1,2] \end{matrix}\right\}=\left\{\begin{matrix}x, & \mathrm{ha} & x\in [0,1) \\\\ 2x-1, & \mathrm{ha} & x\in [1,2] \end{matrix}\right.</math> |
− | Ábrázolva azt kapjuk, hogy T képe egy törött vonal, '''folytonos''' és mindehol, ahol nem törik a '''deriváltja az integrandus'''. T diff.-ható a [0,1)U(1,2] halmazon és | + | Ábrázolva, azt kapjuk, hogy T képe egy törött vonal, '''folytonos''' és mindehol, ahol nem törik, a '''deriváltja az integrandus'''. T diff.-ható a [0,1)U(1,2] halmazon és |
:<math>T'=f|_{[0,1)\cup(1,2]} </math> | :<math>T'=f|_{[0,1)\cup(1,2]} </math> | ||
146. sor: | 148. sor: | ||
s mivel ε tetszőleges volt, ezért f(u) nem más, mint az integrálfüggvény u-beli különbségi háényadosának határértéke (az x=u helyettesítéssel). QED | s mivel ε tetszőleges volt, ezért f(u) nem más, mint az integrálfüggvény u-beli különbségi háényadosának határértéke (az x=u helyettesítéssel). QED | ||
− | Látható, hogy a bizonyításban többet láttunk be. Egyfajta u | + | Látható, hogy a bizonyításban többet láttunk be. Egyfajta u körüli "egyenletes differenciálatóságot", az úgy nevezett erős differenciálhatóságot. Ez azért lehet fontos, mert ha az integrálfüggény deriváltja nem nulla, akkor nem csak ő, de az inverze is Lipschitz-folytonos, amiből pedig az következik, hogy mind az i.f. mind az inverze nullmértékű halmazt nullmértékűbe képez. |
====Az integrálfüggvény Lipschitz-tulajdonsága==== | ====Az integrálfüggvény Lipschitz-tulajdonsága==== | ||
− | És persze az integrálfüggvény "nagyon" folytonos, azaz létezik olyan L, hogy minden x,y ∈ [a,b]-re | + | És persze az integrálfüggvény "nagyon" folytonos, egészen pontosan Lipschitz-tuljadonságú vagy más névven Lipschitz-folytonos, azaz |
+ | :létezik olyan L nemnegatív szám, hogy minden x,y ∈ [a,b]-re | ||
+ | ::<math>|F(x) - F(y)| \leq L |x - y|\,</math> | ||
+ | azaz létezik olyan L, hogy minden x,y ∈ [a,b]-re | ||
:<math>\left|\int\limits_{a}^yf-\int\limits_{a}^x f\right|\leq L|y-x|\,</math> | :<math>\left|\int\limits_{a}^yf-\int\limits_{a}^x f\right|\leq L|y-x|\,</math> | ||
− | + | Ugyanis a triviális felső becslésből: | |
:<math>\left|\int\limits_{a}^y f-\int\limits_{a}^x f\right|\leq \left|\int\limits_{x}^y f\right|\leq \int\limits_{x}^y|f|\leq \sup |f|\,|_{[x,y]}\cdot |y-x|\leq\sup |f|\cdot |y-x|</math> | :<math>\left|\int\limits_{a}^y f-\int\limits_{a}^x f\right|\leq \left|\int\limits_{x}^y f\right|\leq \int\limits_{x}^y|f|\leq \sup |f|\,|_{[x,y]}\cdot |y-x|\leq\sup |f|\cdot |y-x|</math> | ||
ahol L-nek alkalmas a sup |f| szám. | ahol L-nek alkalmas a sup |f| szám. | ||
− | + | A Lipschitz-tulajdonság és folytonosság kapcsolatáról lásd még [itt]. | |
+ | ====Példák==== | ||
+ | :<math>\left(\int\limits_{0}^x\mathrm{sc}\,t\,\mathrm{dt}\right)'(x)=?</math> | ||
+ | :<math>\left(\int\limits_{0}^{\sin x}\sqrt{1+t^3}\,\mathrm{d}t\right)'(x)=?</math> | ||
+ | Vizsgáljuk meg növekedés szempontjából az | ||
+ | :<math>[0,+\infty)\to \mathbf{R},\,x\mapsto \int\limits_{0}^x\frac{\sin t}{t}\,\mathrm{d}t</math> | ||
+ | szinusz integrálisz függvényt! | ||
==Primitívfüggvények== | ==Primitívfüggvények== | ||
177. sor: | 188. sor: | ||
<sub> Talán fellengzősség, de a fenti tételt néha az integrálszámítás alaptételének nevezik. Ennek egy kiterjesztett formája azonban tényleg méltó erre a névre: | <sub> Talán fellengzősség, de a fenti tételt néha az integrálszámítás alaptételének nevezik. Ennek egy kiterjesztett formája azonban tényleg méltó erre a névre: | ||
− | '''Tétel.''' Ha az ''F'':[a,b]<math>\to</math> '''R''' differenciálható függvény majdnem mindnehol differenciálható, ezekben a pontokban a derivált nulla és | + | '''Tétel.''' Ha az ''F'':[a,b]<math>\to</math> '''R''' differenciálható függvény majdnem mindnehol differenciálható, ezekben a pontokban a derivált nulla és ''F'' Lipschitz-tulajdonságú, akkor ''F'' konstans. </sub> |
Az alábbi tétel szerint, amit szintén joggal neveznek a kalkulus fundamentális tételének, ha egy integrálható függvénynek van primitív függénye, akkor az integrálfüggvények és primitívfüggvények halmaza egybeesik, sőt: | Az alábbi tétel szerint, amit szintén joggal neveznek a kalkulus fundamentális tételének, ha egy integrálható függvénynek van primitív függénye, akkor az integrálfüggvények és primitívfüggvények halmaza egybeesik, sőt: | ||
184. sor: | 195. sor: | ||
:<math>\int\limits_{a}^bf(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a) \,</math> | :<math>\int\limits_{a}^bf(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a) \,</math> | ||
+ | Ez a kalkulus második fundamentális tétele. Érdemes alaposan megvizsgálni a feltételeit, mert tanulságos példákra lelhetünk. | ||
− | + | ||
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ | ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ | ||
+ létezik primitív függvénye + Dir | + létezik primitív függvénye + Dir | ||
252. sor: | 264. sor: | ||
===Alapintegrálra visszavezethető integrálok=== | ===Alapintegrálra visszavezethető integrálok=== | ||
− | Ha tehát vesszük az elemi függvények és inverzeinek | + | Ha tehát vesszük az elemi függvények és inverzeinek deriválási táblázatát, akkor jobbról balra olvasva megkapjuk az '''alapintegrálok''' táblázatát. |
+ | |||
+ | <table cellspacing=5> | ||
+ | <tr> | ||
+ | <td><math>\int x^n\,\mathrm{d}x</math> | ||
+ | <td><math>=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C</math> | ||
+ | <td><math>(x\in\mathbb{R},n\in\mathbb{Z}\setminus\{-1\})</math> | ||
+ | <tr> | ||
+ | <td><math>\int x^\alpha\,\mathrm{d}x</math> | ||
+ | <td><math>=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C</math> | ||
+ | <td><math>(x\in\mathbb{R}^+,-1\neq\alpha\in\mathbb{R})</math> | ||
+ | <tr> | ||
+ | <td><math>\int\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x</math> | ||
+ | <td><math>=\,\ln|x|+C</math> | ||
+ | <td><math>(0\neq x\in\mathbb{R})</math> | ||
+ | <tr> | ||
+ | <td><math>\int e^x\,\mathrm{d}x</math> | ||
+ | <td><math>=\,e^x+C</math> | ||
+ | <td><math>(x\in\mathbb{R})</math> | ||
+ | <tr> | ||
+ | <td><math>\int a^x\,\mathrm{d}x</math> | ||
+ | <td><math>=\frac{a^x}{\ln a}+C</math> | ||
+ | <td><math>(x\in\mathbb{R},1\neq a\in\mathbb{R}^+)</math> | ||
+ | <tr> | ||
+ | <td><math>\int\sin x\,\mathrm{d}x</math> | ||
+ | <td><math>=-\cos x\,+C</math> | ||
+ | <td><math>(x\in\mathbb{R})</math> | ||
+ | <tr> | ||
+ | <td><math>\int\cos x\,\mathrm{d}x</math> | ||
+ | <td><math>=\sin x\,+C</math> | ||
+ | <td><math>(x\in\mathbb{R})</math> | ||
+ | <tr> | ||
+ | <td><math>\int\frac{1}{\sin^2x}\,\mathrm{d}x</math> | ||
+ | <td><math>=-\mathrm{ctg}\,x\,+C</math> | ||
+ | <td><math>(k\pi\neq x\in\mathbb{R},k\in\mathbb{Z})</math> | ||
+ | <tr> | ||
+ | <td><math>\int\frac{1}{\cos^2x}\,\mathrm{d}x</math> | ||
+ | <td><math>=\mathrm{tg}\,x\,+C</math> | ||
+ | <td><math>(\frac{k\pi}{2}\neq x\in\mathbb{R},k\in\mathbb{Z})</math> | ||
+ | <tr> | ||
+ | <td><math>\int\mathrm{sh}\, x\,\mathrm{d}x</math> | ||
+ | <td><math>=\mathrm{ch}\,x\,+C</math> | ||
+ | <td><math>(x\in\mathbb{R})</math> | ||
+ | <tr> | ||
+ | <td><math>\int\mathrm{ch}\, x\,\mathrm{d}x</math> | ||
+ | <td><math>=\mathrm{sh}\, x\,+C</math> | ||
+ | <td><math>(x\in\mathbb{R})</math> | ||
+ | <tr> | ||
+ | <td><math>\int\frac{1}{\mathrm{sh}^2x}\,\mathrm{d}x</math> | ||
+ | <td><math>=-\mathrm{cth}\, x\,+C</math> | ||
+ | <td><math>(0\neq x\in\mathbb{R})</math> | ||
+ | <tr> | ||
+ | <td><math>\int\frac{1}{\mathrm{ch}^2x}\,\mathrm{d}x</math> | ||
+ | <td><math>=\mathrm{th}\, x\,+C</math> | ||
+ | <td><math>(x\in\mathbb{R})</math> | ||
+ | <tr> | ||
+ | <td><math>\int\frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x</math> | ||
+ | <td><math>=\mathrm{arc\,tg}\, x\,+C</math> | ||
+ | <td><math>(x\in\mathbb{R})</math> | ||
+ | <tr> | ||
+ | <td><math>\int\frac{1}{1-x^2}\,\mathrm{d}x</math> | ||
+ | <td><math>=\frac{1}{2}\ln\left|\frac{x+1}{x-1}\right|+C</math> | ||
+ | <td><math>=\left\{{\mathrm{ar\,th}\,x+C\quad(1>|x|\in\mathbb{R})\atop\mathrm{ar\,ch}\,x+C\quad(1<|x|\in\mathbb{R})}\right.</math> | ||
+ | <tr> | ||
+ | <td><math>\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x</math> | ||
+ | <td><math>=\mathrm{arc\,sin} x\,+C</math> | ||
+ | <td><math>(1>|x|\in\mathbb{R})</math> | ||
+ | <tr> | ||
+ | <td><math>\int\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\,\mathrm{d}x</math> | ||
+ | <td><math>=\mathrm{ar\,sh}\,x+C</math> | ||
+ | <td><math>(x\in\mathbb{R})</math> | ||
+ | <tr> | ||
+ | <td><math>\int\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\,\mathrm{d}x</math> | ||
+ | <td><math>=\ln\left|x+\sqrt{x^2-1}\right|+C</math> | ||
+ | <td><math>=\left\{\;{\mathrm{ar\,ch}\,x+C\quad\quad(1<x\in\mathbb{R})\atop\!-\mathrm{ar\,ch}(-x)+C\quad(1>x\in\mathbb{R})}\right.</math> | ||
+ | </table> | ||
+ | |||
+ | |||
====Alapintegrálok kiszámítása táblázatból==== | ====Alapintegrálok kiszámítása táblázatból==== | ||
:<math> | :<math> | ||
312. sor: | 401. sor: | ||
====Linearizáló formulák==== | ====Linearizáló formulák==== | ||
− | Ezek arra alkalmasak, hogy a sin<sup>2</sup>, cos<sup>2</sup>, sh<sup>2</sup>. ch<sup>2</sup> függvényeket (illetve alkalmasan megváltoztatott | + | Ezek arra alkalmasak, hogy a sin<sup>2</sup>, cos<sup>2</sup>, sh<sup>2</sup>. ch<sup>2</sup> függvényeket (illetve alkalmasan megváltoztatott argumentumú változatukat) ki lehessen integrálni: |
:<math> | :<math> | ||
\sin^2 x=\frac{1-\cos(2x)}{2}\,</math> | \sin^2 x=\frac{1-\cos(2x)}{2}\,</math> | ||
321. sor: | 410. sor: | ||
:<math> | :<math> | ||
\mathrm{ch}^2 x=\frac{\mathrm{ch}(2x)+1}{2}\,</math> | \mathrm{ch}^2 x=\frac{\mathrm{ch}(2x)+1}{2}\,</math> | ||
− | Mindezek a | + | Mindezek a következők miatt állnak fenn: |
:<math>\cos^2+\sin^2=1\,</math> | :<math>\cos^2+\sin^2=1\,</math> | ||
329. sor: | 418. sor: | ||
:<math>\mathrm{ch}^2+\mathrm{sh}^2=\mathrm{ch}(2x)\,</math> | :<math>\mathrm{ch}^2+\mathrm{sh}^2=\mathrm{ch}(2x)\,</math> | ||
Itt érdemes megjegyezni az '''Osborne-szabályt''': ha egy trigonometrikus azonosságban kicseréljük a megfelelő hiperbolikus függvényekre az összetevőket és minden olyan tag előjelét megváltoztatjuk, melyek két sh szorzatából állnak (speciálisan a sh<sup>2</sup>-ek elé egy - jelet teszünk), akkor megkapjuk a hiperbolikus azonosságot. Lásd: [http://mathworld.wolfram.com/OsbornesRule.html ''Osborne-szabály'']. | Itt érdemes megjegyezni az '''Osborne-szabályt''': ha egy trigonometrikus azonosságban kicseréljük a megfelelő hiperbolikus függvényekre az összetevőket és minden olyan tag előjelét megváltoztatjuk, melyek két sh szorzatából állnak (speciálisan a sh<sup>2</sup>-ek elé egy - jelet teszünk), akkor megkapjuk a hiperbolikus azonosságot. Lásd: [http://mathworld.wolfram.com/OsbornesRule.html ''Osborne-szabály'']. | ||
+ | |||
+ | Ezek főleg határozott integráloknál adnak "szép" eredményt | ||
+ | |||
+ | '''Példa.''' | ||
+ | :<math>\int\limits_{0}^{\pi}\sin^2 x\mathrm{d}x=\int\limits_{0}^{\pi}\frac{1-\cos(2x)}{2}\mathrm{d}x=\left[\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\sin(2x)\right]_0^\pi=\frac{\pi}{2}</math> | ||
===Helyettesítéses integrálás=== | ===Helyettesítéses integrálás=== | ||
342. sor: | 436. sor: | ||
:<math>F(g(x))'=F'(g(x))\cdot g'(x)=f(g(x))\cdot g'(x)</math> | :<math>F(g(x))'=F'(g(x))\cdot g'(x)=f(g(x))\cdot g'(x)</math> | ||
QED. | QED. | ||
− | + | ====...-alakú integrálok==== | |
Ebből a tételből származtathatjuk a "'''... alakú integrál'''okat": | Ebből a tételből származtathatjuk a "'''... alakú integrál'''okat": | ||
358. sor: | 452. sor: | ||
'''2.''' | '''2.''' | ||
− | :<math> \int\frac{\mathrm{arc\,tg}\,x}{x^2+1}\,\mathrm{d}x= \int(\mathrm{arc\,tg}\,x)^ | + | :<math> \int\frac{\mathrm{arc\,tg}\,x}{x^2+1}\,\mathrm{d}x= \int(\mathrm{arc\,tg}\,x)^1\cdot\frac{1}{x^2+1}\,\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{arc\,tg}^2\,x}{2}+C</math> |
hiszen a "külső" függvény: | hiszen a "külső" függvény: | ||
:<math>f(\,.\,)=(\,.\,)^1 \quad\quad\to_{\int}\quad\quad F(\,.\,)=\frac{(\,.\,)^2}{2}</math> | :<math>f(\,.\,)=(\,.\,)^1 \quad\quad\to_{\int}\quad\quad F(\,.\,)=\frac{(\,.\,)^2}{2}</math> | ||
378. sor: | 472. sor: | ||
:<math>g(x)=\mathrm{sh}\,(x^3) \quad\quad\to'\quad\quad g'(x)=3x^2\mathrm{ch}\,(x^3) </math> | :<math>g(x)=\mathrm{sh}\,(x^3) \quad\quad\to'\quad\quad g'(x)=3x^2\mathrm{ch}\,(x^3) </math> | ||
+ | ====Integrálás a helyettesítés elvégzésével==== | ||
'''Megjegyzés.''' Intermezzóként megemlítjük, hogy a helyettesítés elnevezés abból fakad, hogy ekkor lényegében új ismeretlent vezetünk be. Persze az ezzel való számolás egy egészen más szemléletet igényel. A fő képlet ekkor: | '''Megjegyzés.''' Intermezzóként megemlítjük, hogy a helyettesítés elnevezés abból fakad, hogy ekkor lényegében új ismeretlent vezetünk be. Persze az ezzel való számolás egy egészen más szemléletet igényel. A fő képlet ekkor: | ||
:<math> | :<math> | ||
417. sor: | 512. sor: | ||
:<math>-\int \frac{1-\cos(2u)}{2}\,\mathrm{d}u=\left.-\frac{1}{2}u+\frac{1}{4}\sin(2u)+C\right|_{u=\mathrm{arc\,cos}\,x}=-\frac{1}{2}\mathrm{arc\,cos}\,x+\frac{1}{4}\sin(2\mathrm{arc\,cos}\,x)+C</math> | :<math>-\int \frac{1-\cos(2u)}{2}\,\mathrm{d}u=\left.-\frac{1}{2}u+\frac{1}{4}\sin(2u)+C\right|_{u=\mathrm{arc\,cos}\,x}=-\frac{1}{2}\mathrm{arc\,cos}\,x+\frac{1}{4}\sin(2\mathrm{arc\,cos}\,x)+C</math> | ||
+ | ===Parciális integrálás=== | ||
+ | A helyettesításes integrálás a függvénykompozíció deriválására szolgáló képlet felhasználása volt primitívfüggvény keresésre. Most a szorzási szabályt fogjuk használni. | ||
+ | '''Tétel.''' Legyen f,g:[a,b] <math> \to</math> '''R''' folytonos és F,G:[a,b] <math> \to</math> '''R''' differenciálható olyan, hogy F' = f, G' = g. Ekkor az alábbi képletben szereplő összes integrandusnak létezik primitív függvénye és | ||
+ | :<math>\int Fg=FG - \int fG\,</math> | ||
+ | ''Bizonyítás.'' Elég a bizonyítani, hogy a jobb oldal deriváltja a baloldali integrandus. Ehelyett egy kicsit másként csináljuk: belátjuk, hogy az FG függvény primitívfüggvénye az fG + Fg függvénynek, majd kefejezzük velőle a fenti formula baloldalát: | ||
+ | :<math>(FG)'=F'G+FG'=fG+Fg\,</math> | ||
+ | tehát | ||
+ | :<math>FG=\int fG+Fg=\int fG+\int Fg\,</math> | ||
+ | amiből már következik a fenti formula. QED. | ||
+ | ====Polinom szor exp, trig, hip ==== | ||
+ | Az első alkalmazás az, amikor a egymás után parciális integrálásokkal polinommentes formulává alakítjuk az integrandust. Ekkor a fenti képlet F-je a polinom, amiből egyel alacsonyabb fokú polinomszoros integrandus keletkezik az ∫fG integrál esetén. | ||
+ | :<math> | ||
+ | \int x\sin x\,\mathrm{d}x=x(-\cos x)-\int 1\cdot (-\cos x)\,\mathrm{d}x=-x\cos x + \sin x+C</math> | ||
+ | Hiszen | ||
+ | :<math>F = \mathrm{id} \quad\quad\to '\quad\quad f=F'=1</math> | ||
+ | :<math>g = \mathrm{sin} \quad\quad\to ^\int\quad\quad G=\int g=-\cos</math> | ||
+ | |||
+ | Egy hasonló: | ||
+ | :<math> | ||
+ | \int (2x+1)\mathrm{sh}\,(3x-2)\,\mathrm{d}x=(2x+1)\frac{1}{3}\mathrm{ch}\,(3x-2)-\int 2\cdot \frac{1}{3}\mathrm{ch}\,(3x-2)\,\mathrm{d}x=</math> | ||
+ | |||
+ | :<math>=\frac{2x+1}{3}\mathrm{ch}\,(3x-2)-\frac{2}{9}\mathrm{sh}\,(3x-2)</math> | ||
+ | Hiszen | ||
+ | :<math>F = 2\mathrm{id}+1 \quad\quad\to '\quad\quad f=F'=2</math> | ||
+ | :<math>g = \mathrm{sh}\circ(3\mathrm{id}-2) \quad\quad\to ^\int\quad\quad G=\int g=\frac{1}{3}\mathrm{ch}\circ(3\mathrm{id}-2) </math> | ||
+ | ====Rekurziós integrálok, formulák==== | ||
+ | '''1.''' | ||
+ | : <math>\int\frac{\mathrm{ln}\,x}{x}\mathrm{d}x=\mathrm{ln}^\,x-\int \frac{1}{x}\cdot\mathrm{ln}\,x \,\mathrm{d}x</math> | ||
+ | az | ||
+ | :<math>F = \mathrm{ln} \quad\quad\to '\quad\quad f=F'=\frac{1}{\mathrm{id}}</math> | ||
+ | :<math>g = \frac{1}{\mathrm{id}} \quad\quad\to ^\int\quad\quad G=\int g= \mathrm{ln}</math> | ||
+ | szereposztással. A formulában visszatért a keresett integrál, így ezt kifejezve: | ||
+ | : <math>\int\frac{\mathrm{ln}\,x}{x}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\mathrm{ln}^\,x+C</math> | ||
+ | '''2.''' | ||
+ | :<math>\int\cos(x)\cdot e^x\,\mathrm{d}x=\cos(x)\cdot e^x -\int(-\sin x)\cdot e^x\,\mathrm{d}x=\cos(x)\cdot e^x+\sin(x)\cdot e^x-\int\cos(x)\cdot e^x\,\mathrm{d}x</math> | ||
+ | amiből | ||
+ | :<math>\int\cos(x)\cdot e^x\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}(\cos(x)\cdot e^x +\sin(x)\cdot e^x)+C=</math> | ||
+ | tehát kétszeri parciális integrálással értük el. | ||
+ | '''3.''' Rekurziós formulát kapunk az alábbi <math>I_n</math> alakú integrálokra: | ||
+ | <math>I_n=\int\frac{1}{(x^2+1)^n}\,\mathrm{d}x=\int\frac{x^2+1}{(x^2+1)^n}-\frac{x^2}{(x^2+1)^n}\,\mathrm{d}x=\int\frac{1}{(x^2+1)^{n-1}}-\frac{x^2}{(x^2+1)^n}\,\mathrm{d}x</math> | ||
+ | az utolsó tagot parciálisan integráljuk ki: | ||
+ | |||
+ | :<math>=\frac{1}{2}\int x\frac{2x}{(x^2+1)^n}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\cdot \frac{x}{(n-1)(x^2+1)^{n-1}}-\int\frac{1}{(n-1)(x^2+1)^{n-1}}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\cdot \frac{x}{(n-1)(x^2+1)^{n-1}}-\frac{1}{n-1}\cdot I_{n-1}</math> | ||
+ | azaz <math> I_n</math> kifejezhető <math>I_{n-1}</math>-segítségével. | ||
+ | ====Inverzfüggvények integrálja==== | ||
+ | Az | ||
+ | :<math>\int f^{-1}=\int f^{-1}\cdot 1=f^{-1}\cdot \mathrm{id}-\int \mathrm{id}\cdot (f^{-1})'</math> | ||
+ | trükk sokszor alkalmas arra, hogy az inverz függvények integrálját parciálisan kiintegráljuk, hiszen az inverz függvények deriváltjának képlete az utolsó tényezőt a kezünkre játssza. Speciálisan a módszer alkalmas az összes ln, arc és ar függvény kiintegrálására. | ||
+ | |||
+ | '''1.''' | ||
+ | :<math>\int\mathrm{arc\,sin}\,(x)\,\mathrm{d}x=\int\mathrm{arc\,sin}\,(x)\cdot 1\,\mathrm{d}x=x\cdot \mathrm{arc\,sin}\,(x)-\int x\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x=</math> | ||
+ | :<math>=x\cdot \mathrm{arc\,sin}\,(x)+\frac{1}{2}\int \frac{-2x}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x=x\cdot \mathrm{arc\,sin}\,(x)+\sqrt{1-x^2}+C</math> | ||
[[Kategória:Matematika A1]] | [[Kategória:Matematika A1]] |
A lap jelenlegi, 2009. április 29., 12:31-kori változata
Tartalomjegyzék
|
Határozott integrál
Az egyváltozós analízis történetileg kialakult két jellegzetes témaköre közül az egyik az érintőproléma (lényegében a differenciálelmélet) a másik a területszámítás problémája, vagy régies elnevezéssel a kvadratúra-feldat (ami lényegében az integrálelmélet). Most a kvadratúra, azaz a függvénygörbe alatti terület definícióját adjuk meg. Ehhez azonban néhény segédfogalmat kell megismernünk.
Az [a,b] korlátos és zárt intervallum egy Riemann-felosztásán nem mást értünk mint egy olyan kiválasztófüggvényt, mely az [a,b]-t unióként előállító, egymásba nem nyúló intervallumokból álló halmaz minden egyes eleméhez egy az adott elemben lévő elemet rendel, azaz egy olyan
függvényt, melyre:
- n olyan véges természetes szám, hogy x0 = a < x1 < x2 < ... < xn = b és
- minden J ∈ Dom(η) esetén .
Az [a,b] összes Riemann-felosztásai halmazát RF[a,b] jelöli. Azon Riemann-felbontások halmazát, amelyekben az összes részintervallum hossza kisebb egy δ > 0 pozitív számnál, azt RFδ[a,b] jelöli, azt a halmazt az [a,b] összes δ-nál finomabb Riemann-felosztásának nevezük.
Egy f, az [a,b]-n értelmezett függvény egy Riemann-közelítő összegén a
ahol η a fenti jelölésekkel az [a,b] egy Riemann-felosztása.
Ekkor már definiálhatjuk az integrálhatóságot:
Definíció. Legyen f:[a,b] Regy zárt és korlátos intervallumon értelmezett függvény. Azt mondjuk, hogy f Riemann-integrálható és integrálja az I valós szám, ha
Belátható, hogy ha f integrálható, akkor I egyértelmű és ekkor ennek a számnak a jelölésére az
- , vagy az
szimbólum szolgál.
Az [a,b] intervallumon Riemann-integrálható függvények halmazát R[a,b] jelöli.
Az integrál lényegében a függvénygörbe alatti terület. Integrálható függvény esetén létezik ez a terület, azaz a Riemann-felosztást egyre finomabbra véve, a Riemann-közelítő összeg minden előre megadott legnagyobb ε eltérésnél közelebb kerül I-hez.
Világos, hogy ha egy függvény integrálható, akkor minden részintervallumán is integrálható (hisz ekkor azokat a felosztásokat kell venni, amik a részintervallumon belül is felosztások, és persze ezek szerint is képezve a határátmenetet, létező határértéket kapunk). Minhogy az integrál egy szám, integrálható f esetén értelmes ha definiáljuk a következő, úgy nevezett integrálfüggvényt (vagy a-ban eltűnő integrálfüggvényt):
Definíció szerinti példák
1. Példa. Jóformán az egyetlen függvény, aminek az integrálhatóságát a definíció alapján könnyen igazolni tudjuk, az a konstans függvény. Az f(x) = c esetén a kiválaszott pontok mindig c függvényértékűek, és az összes közelítő összeg mindig
azaz
Már ezzel is azonban fel tudunk írni egy integrálfüggvényt: f:[a,b] R, f ≡ c esetén:
2. Példa. Nem minden függvény integrálható.
2. a. Zárjuk le a reciprok függvényt egy ponttal:
(Riemann az 1854-es habilitációs dolgozatában definiálta és vizsgálta a most Riemann-integrálhatóságnak nevezett fogalmaz, mindazonáltal az integrál első, a szigorúság követelményének eleget tévő definícióját Cauchy adta (1821) az intuitívet pedig Leibniz.) Ez a függvény nem integrálható, mert akármilyen fimon intervallumfelosztás esetén, ha az első intervallumot δ hosszúra választjuk, definiálható egy η([x0,x1]) < δ2 érték, azaz f(η([x0,x1])) > 1/ δ2. Ekkor viszont az első téglalap területe 1/δ lesz, ami δ \to 0 esetén a +∞-be tart, azaz az összterület nem lesz véges.
2. b. Legyen f a Dirichlet-függvény:
ahol Q a racionális számok halmaza, R / Q pedig nyilván az irracionális. Ez a függvény nem Riemann-integrálható, bár korlátos, mert akármilyen finom intervallum-felbontás esetén van egy olyan Riemann-kiválasztó függvény, mely mindig racionális pontokat választ ki és ezáltal a közelítő összeg mindig 1 és olyan, mely mindig irracionálist, azaz ezzel a közelítő összeg 0. Mindig lesz tehát két olyan felbontás, mely összegek különbsége legalább 1.
A Riemann-inregrálhatóság szükséges és elégséges feltétele
Bár a Riemann-integrálhatóság általában könnyen kezeéhető fogalom, a következő tétel bizonyításához azonban az egyváltozós analízis szinte összes eszközét be kell vetni. Nem csoda, hogy csak 1905-ben fogalmazhatta meg Lebesgue, egy tágabb perspektívából szemlélve a Riemann-integrált.
Tétel. Legyen f: [a,b] R korlátos és zárt intervallumon értelmezett függvény. f pontosan akkor integrálható, ha korlátos, és szakadási helyeinek halmaza Lebesgue-nullmértékű halmaz, azaz
Itt Lebesgue-nullmértékűnek nevezünk egy H ⊆ R halmazt, ha minden ε > 0-hoz létezik olyan (In) intervallumsorozat, hogy ennek összhossza < ε és lefedi H-t.
Biztos nem nullmértékű például egy nemelfajuló intervallum, mert annak a mértéke az intervallum nemnulla hossza. De véges halmaz nullmértékű, mert lefedhető, egy határértékben eltűnő intervallumsorozat-rendszerrel. Belátható, hogy megszámlálható pont nullmértékű halmazt alkot. Konkrétan, könyen belátható, hogy az 1/n pontjai nullmértékű halmazt alkotnak.
Világos, hogy a Dirichlet-függvényes példa azért jó ellenpélda, mert ez a függvény [0,1]-en mindenhol szakad, azaz discon(Dir)=[0,1], melynek a mértéke 1.
Példa. Felvetődik a kérdés: van-e konitinuum sok helyen szakadó, Riemann-integrálható függvény. A válasz igenlő. A konstrukció e következő. Először definiáljuk az ördög lépcsője függvényt:
A [0,1] intervallumot osszuk 3 részre és vegyük ki a belső nyílt harmadot. Ezen a szakaszon legyen a függvény értéke 1/2. Ismételjük a megmaradt két zárt intervallumra, és az érték legyen ott 1/4 ill. 3/4. A fennmaradt részeket is osszuk, majd a középső harmad értéke mindig a két szélső közepe legyen... Ha csak a belső harmadokat vesszük, akkor ami megmarad a halmazból, az az úgy nevezett Cantor-halmaz. A Cantor-halmaz kontinuum számosságúan végtelen, de Lebesgue-nullmértékű -- ezt a két dolgot persze nem bizonyítjuk. A függvény mindenhol folytonos, a m.m- deriválható és a deriváltja 0 (de nem intervallumon értelmezett: Dom = [0,1]\C). Ha most vesszük a deriváltfüggvényét és kiterjesztjük a C pontjaiban úgy, hogy ott 1 legyen az értéke, akkor ez egy kontinuum számosságú, de Lebesgue-nullmértékű halmazon szakadó, korlátos függvény, azaz integrálható. És az integrálja 0. Ebből is látható, hogy a fenti ekvivalenciatétel csodálatosan oldja meg, hogy bár a Riemann-felosztás véges, kontinuum számosságú, L-0-m. résszel is el tud bánni.
A Riemann-integrálhatóság néhány kritériuma
Részletezünk néhány hasznos esetet a fenti tételből.
-
- csak korlátos függvények R-intgrálhatóak
-
- (Cauchy) világos: ha folytonos, akkor nincs szakadási pontja, és korlátos a Weierstrass-tétel miatt
-
- monoton függvény R-integrálható (minden feltétel nélkül), amiatt a nem említett tétel miatt, hogy intervallumon értelmezett, monoton függvénynek csak megszámlálható szakadási pontja van, korlátos és zárt intervallumon pedig egy ilyen függvény korlátos.
Feladat. Intergálhatóak-e az alábbi függvények és ha igen, mi az integráljuk?
1.
Igen, mert folytonos (illetve legfeljebb csak 1 ponton szakad, miközben korlátos). Ezen kívül páratlan: |-x|sin(1/-x) = -|x|sin(1/x), emiatt az origóra szimmetrikus intervallumon az integrálja:
2.
Igen, mert monoton. Az integrálját elegendő egyetlen végtelenül finomodó felosztássorozathoz tartozó közelítő összegsorozat határértékeként számolni, hiszen ha ez nem konvergálna, akkor nem teljesülne a definícióban megkövetelt határérték létezése. Az intervallumot 2m részre osztjuk fel. Ekkor az összeg:
Ennek a határértéke a mértani sor összegképlete miatt:
3.
Megszámlálható sok szakadása van ugyan a függvénynek, de nem korlátosan a szakadások, így a függvény nem integrálható:
Az határozott integrál néhány tulajdonsága
A következőkben feltesszük, hogy az f és g a formulákban szereplő intervallumokat tartalmazó valamely intervallumon Riemann-integrálható.
- Intervallum szerinti additivitás:
- Integrandus szerinti additivitás:
- Integrandus szerinti monotonitás.
- Integrandus szerinti homogenitás:
- Abszolút becslés.
- Triviális alsó és felső becslés.
- Eltolásinvariancia.
Az integrálfüggvény néhány tulajdonsága
Az integrálfüggvény viselkedését vizsgálva meglepő következtetésre juthatunk.
Példa. Vegyük az alábbi lépcsős függvényt:
írjuk fel az integrálfüggvényét tudva-tudván, hogy az nem más mint a területfüggvény:
Ábrázolva, azt kapjuk, hogy T képe egy törött vonal, folytonos és mindehol, ahol nem törik, a deriváltja az integrandus. T diff.-ható a [0,1)U(1,2] halmazon és
Az integrálfüggvény differenciálhatóságáról
Az integrandus folytonossági helyein az integrálfüggvény valóban differenciálható. Az alábbi tételt az analízis első alaptételének szokás nevezni.
Tétel. -- A kalkulus fundamentális tétele I. -- Legyen f:[a,b] R integrálható. Ha f folytonos az u ∈ [a,b] pontban, akkor ∫ f differenciálható u-ban és
Bizonyítás. f folytonos u-ban, ezért tetszőleges ε > 0-ra létezik olyan δ > 0, hogy f|B(δ,u) ⊆ Bε(f(u)), azaz:
Írjuk fel a deriváltra a különbségi hányadost! Legyen x,y olyan, hogy az u δ sugarú környezetébe esik. Ekkor az integrál intervallum szerinti additivitása miatt:
Ha most a tirviális alsó és felső becslést vesszük:
s mivel ε tetszőleges volt, ezért f(u) nem más, mint az integrálfüggvény u-beli különbségi háényadosának határértéke (az x=u helyettesítéssel). QED
Látható, hogy a bizonyításban többet láttunk be. Egyfajta u körüli "egyenletes differenciálatóságot", az úgy nevezett erős differenciálhatóságot. Ez azért lehet fontos, mert ha az integrálfüggény deriváltja nem nulla, akkor nem csak ő, de az inverze is Lipschitz-folytonos, amiből pedig az következik, hogy mind az i.f. mind az inverze nullmértékű halmazt nullmértékűbe képez.
Az integrálfüggvény Lipschitz-tulajdonsága
És persze az integrálfüggvény "nagyon" folytonos, egészen pontosan Lipschitz-tuljadonságú vagy más névven Lipschitz-folytonos, azaz
- létezik olyan L nemnegatív szám, hogy minden x,y ∈ [a,b]-re
azaz létezik olyan L, hogy minden x,y ∈ [a,b]-re
Ugyanis a triviális felső becslésből:
ahol L-nek alkalmas a sup |f| szám.
A Lipschitz-tulajdonság és folytonosság kapcsolatáról lásd még [itt].
Példák
Vizsgáljuk meg növekedés szempontjából az
szinusz integrálisz függvényt!
Primitívfüggvények
Definíció. Azt mondjuk, hogy az f:[a,b] R függvénynek primitív függvénye az F:[a,b] R differenciálható függvény, ha F' = f.
Világos, hogy ha F primitív függvénye f-nek, akkor akármilyen konstans C-vel F + C is primitív függvénye f-nek, hisz (F + C)'= F' = f. Ennél több is igaz. Ha f-nek primitívfüggvénye F, akkor f összes primitívfüggvénye F + C alakú, ahol C tetszőleges valós szám. Ez az alábbi fontos tétel közvetlen következménye:
Tétel. Ha az F:[a,b] R differenciálható függvény olyan, hogy F' ≡ 0, akkor létezik olyan C valós szám, hogy F ≡ C.
Bizonyítás. Egyszerűen a Lagrange-tételt kell alkalmazni F egy tetszőleges [a,x]-re történő leszűkítésétre:
azaz
QED
Ha tehát egyáltalán van f-nek van primitív függvénye és F ilyen, akkor ezek halmaza:
Talán fellengzősség, de a fenti tételt néha az integrálszámítás alaptételének nevezik. Ennek egy kiterjesztett formája azonban tényleg méltó erre a névre:
Tétel. Ha az F:[a,b] R differenciálható függvény majdnem mindnehol differenciálható, ezekben a pontokban a derivált nulla és F Lipschitz-tulajdonságú, akkor F konstans.
Az alábbi tétel szerint, amit szintén joggal neveznek a kalkulus fundamentális tételének, ha egy integrálható függvénynek van primitív függénye, akkor az integrálfüggvények és primitívfüggvények halmaza egybeesik, sőt:
Tétel. Newton--Leibniz-formula Legyen f:[a,b] R integrálható és létezzen primitív függvénye. Ekkor f mindnen F primitív függvényére:
Ez a kalkulus második fundamentális tétele. Érdemes alaposan megvizsgálni a feltételeit, mert tanulságos példákra lelhetünk.
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ + létezik primitív függvénye + Dir + + + + + ********************************************************* + g' * h' + R-integrálható * + * + * + * ############### + * + * # folytonos # + * + * # # + * + * ############### + Ent|[0,2] * + * + * + * + * +++++++++++++++++*++++++++++++++++++++++++ * * * * * * * *********************************************************
A Dir Dirichlet-függvények nem létezik primitívfüggvénye, mert ha lenne olyan függvény, aminek ő a deriváltja lenne, akkor ő, mint deriváltfüggvény nem lenne Darboux-tulajdpnságú: két függvényértéke között nem mindent venne fel. Azt is megéztük, hogy R-integrálja sincs. (Bár Lebesgue-integrálja 0.)
Az Ent egészrész függvény integrálható (egy korlátos és zárt intevallumon), mert monoton, de nincs primitív függvénye, mert derivált nem ugorhat.
Legyen g : [-1,1] R a következő:
Ekkor g differenciálható, így g'-nek g primitívfüggvénye, de tudjuk, hogy g'-nek nem korlátos másodfajú szakadésa van a 0-ban, így g' nem lehet integrálható.
Végül nézzünk példát olyan függvényre, mely nem folytonos, de értelmes rá a N--L-formula. Legyen h: [-1,1] R a következő:
Ekkor g differenciálható, így g'-nek g primitívfüggvénye, és tudjuk, hogy g' korlátos és csak a 0-ban van egyetlen szakadása, így g' integrálható.
Megjegyezük, hogy a görbe alatti területet nem véges összegekkel, hanem végtelen sorral közelítő Lebesgue-integrál olyan általános, hogy ilyen vagy még általánosabban definiált értelmeben nem integrálható függvényt keresni már komoly matematikai/halmazelméleti kihívást jelent.
A Newton--Leibniz-formula bizonyítása. Belátjuk, hogy a baloldal és a jobboldal abszolút eltérése minden pozitív számnál kisebb. Legyen ε > 0. Ekkor az integrálhatóság miatt létezik olyan δ > 0 szám, hogy minden η ∈ RFδ[a,b] Riamann-felosztásra
A bizonyítás trükkje az, hogy az F(b)-F(a) különbséget a közelító összegben lévő sok taggal, mint teleszkópikus összeggel tudjuk előállítani. Ugyanis a Lagrange-féle középértéktétel miatt egy tetszőlegesen rögzített η ∈ RFδ[a,b] felosztás minden részintervallumán létezik olyan ξi ∈ [xi-1,xi], hogy
Emiatt, ha azt az ξ felosztást választjuk, melynek osztópontjai az &eta osztópontjaival esenek egybe, de a részintervallumokból rendre a ξxi értékeket választja ki, akkor fennáll:
Itt az összeg tagjai úgy esnek össze, ahogy azt a teleszkópikus összegeknél láthatjuk. Végül
s mivel ε tetszőleges volt, ezért az egyenlőség fennáll. QED
Az ábrán van egy különlegesen fontos eset. Amikor az integrandus folytonos, akkor a fügvénynek biztosan létezik primitívfüggvénye. Ez annak a tételnek a duálisa, hogy folytonos függvény integrálható.
Tétel. f ∈ C[a,b], akkor f-nek (biztosan) létezik primitívfüggvénye.
Ugyanis ekkor az integrálfüggvény minden pontban differenciálható, azaz az integrálfüggény primitívfüggvénye f-nek.
Jelölés. Ha f folytonos, akkor indokolt a primitív függvények összességét a
alakban írni, ahol C tetszőleges szám.
Megjegyzés. Ha tehát az a kérdés, hogy melyek a primitív függvényei f-nek, akkor a válasz a fenti kifejezés, ahol a határozatlan integrált szimbolizáló tag általában egy konkrét függvény.
Primitívfüggvény-keresés
Primitívfüggvény-keresésnek két metódusa van. Az egyik a helyettesítéses integrálás, a másik a parciális integrálás. Ezek előtt azonban egy triviális módszer, a deriválási táblázat megfodítása és az integrál eltolásinvarianciájának felhasználása. (Esetleg a lineáris argumentumú alapintegrál kiszámítása.)
Alapintegrálra visszavezethető integrálok
Ha tehát vesszük az elemi függvények és inverzeinek deriválási táblázatát, akkor jobbról balra olvasva megkapjuk az alapintegrálok táblázatát.
Alapintegrálok kiszámítása táblázatból
vagy a legkönnyebben elronthatók:
Alapintegrálok és eltolásinvariancia
Az integrál eltolásinvarianciáját használva:
Lineáris agrumentumú integrandus
A lineáris agrumentumúkra vonatkozó képlet:
ahol F'=f. Hiszen az összetett függvény deriválási szabálya szerint:
Ezzel pl:
Megjegyzés. Érdemes fejünkbe vésni a sin függvény deriváltajainak függvénysorozatát:
- sin
- cos
- − sin
- − cos
- sin
- cos
felfejé haladva integrálunk, lefelé haladva deriválunk.
pl.
Polinom/lineáris alak
itt már érdemes polinomosztással eljárni:
(x^2 + 2) : (x - 1) = x + 1 - x^2 - x --------- x + 2 - x - 1 -------- 3
Néha x2 + 1 nevezőjűre is működik:
Linearizáló formulák
Ezek arra alkalmasak, hogy a sin2, cos2, sh2. ch2 függvényeket (illetve alkalmasan megváltoztatott argumentumú változatukat) ki lehessen integrálni:
Mindezek a következők miatt állnak fenn:
ezért ezeket kivonva ill. összeadva, majd 2-vel elosztva a felső kettőt kapjuk. A másik kettő:
Itt érdemes megjegyezni az Osborne-szabályt: ha egy trigonometrikus azonosságban kicseréljük a megfelelő hiperbolikus függvényekre az összetevőket és minden olyan tag előjelét megváltoztatjuk, melyek két sh szorzatából állnak (speciálisan a sh2-ek elé egy - jelet teszünk), akkor megkapjuk a hiperbolikus azonosságot. Lásd: Osborne-szabály.
Ezek főleg határozott integráloknál adnak "szép" eredményt
Példa.
Helyettesítéses integrálás
Az első keresési eljárás az összetett függvény deriválási szabályának megfordításán alapul.
Tétel. Legyen g:I J, F: J R folytonosan differenciálható függvények és f: J R pedig olyan, hogy az F' = f, akkor az x f(g(x)) g'(x)-nek is létezik primitív függvénye és
Bizonyítás. A primitív függvény létezését az garantálja, hogy az integrandus folytonos.
Elegendő ellenőrizni, hogy x F(g(x)) primitív függvénye x f(g(x)) g'(x)-nek, azaz az előbbi deriváltja az utóbbi:
QED.
...-alakú integrálok
Ebből a tételből származtathatjuk a "... alakú integrálokat":
Példák.
1. hiszen a "külső" függvény:
a "belső" függvény:
2.
hiszen a "külső" függvény:
a "belső" függvény:
3.
hiszen a "külső" függvény:
a "belső" függvény:
4.
hiszen a "külső" függvény:
a "belső" függvény:
Integrálás a helyettesítés elvégzésével
Megjegyzés. Intermezzóként megemlítjük, hogy a helyettesítés elnevezés abból fakad, hogy ekkor lényegében új ismeretlent vezetünk be. Persze az ezzel való számolás egy egészen más szemléletet igényel. A fő képlet ekkor:
ahol el kell végezni az
szimbolikus helyettesítést.
5. (exponenciális helyettesítés)
5. (gyökös helyettesítés)
6. (trigonometrikus helyettesítés)
Parciális integrálás
A helyettesításes integrálás a függvénykompozíció deriválására szolgáló képlet felhasználása volt primitívfüggvény keresésre. Most a szorzási szabályt fogjuk használni.
Tétel. Legyen f,g:[a,b] R folytonos és F,G:[a,b] R differenciálható olyan, hogy F' = f, G' = g. Ekkor az alábbi képletben szereplő összes integrandusnak létezik primitív függvénye és
Bizonyítás. Elég a bizonyítani, hogy a jobb oldal deriváltja a baloldali integrandus. Ehelyett egy kicsit másként csináljuk: belátjuk, hogy az FG függvény primitívfüggvénye az fG + Fg függvénynek, majd kefejezzük velőle a fenti formula baloldalát:
tehát
amiből már következik a fenti formula. QED.
Polinom szor exp, trig, hip
Az első alkalmazás az, amikor a egymás után parciális integrálásokkal polinommentes formulává alakítjuk az integrandust. Ekkor a fenti képlet F-je a polinom, amiből egyel alacsonyabb fokú polinomszoros integrandus keletkezik az ∫fG integrál esetén.
Hiszen
Egy hasonló:
Hiszen
Rekurziós integrálok, formulák
1.
az
szereposztással. A formulában visszatért a keresett integrál, így ezt kifejezve:
2.
amiből
tehát kétszeri parciális integrálással értük el.
3. Rekurziós formulát kapunk az alábbi In alakú integrálokra: az utolsó tagot parciálisan integráljuk ki:
azaz In kifejezhető In − 1-segítségével.
Inverzfüggvények integrálja
Az
trükk sokszor alkalmas arra, hogy az inverz függvények integrálját parciálisan kiintegráljuk, hiszen az inverz függvények deriváltjának képlete az utolsó tényezőt a kezünkre játssza. Speciálisan a módszer alkalmas az összes ln, arc és ar függvény kiintegrálására.
1.