Matematika A1a 2008/1. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Direkt következtetések) |
||
20. sor: | 20. sor: | ||
Azaz ha ''A''-ból következik a ''C'' és a ''B''-ből is következik a ''C'', továbbá az ''A'' és a ''B'' közül legalább az egyik igaz (ez a klasszikus ''vagy'': nem feltétlenül tudjuk, melyik igaz, csak azt, hogy az egyik), akkor a ''C'' biztos igaz. | Azaz ha ''A''-ból következik a ''C'' és a ''B''-ből is következik a ''C'', továbbá az ''A'' és a ''B'' közül legalább az egyik igaz (ez a klasszikus ''vagy'': nem feltétlenül tudjuk, melyik igaz, csak azt, hogy az egyik), akkor a ''C'' biztos igaz. | ||
− | Ezekkel analóg a ∀ és ∃, azaz "minden" és "létezik" szavakra vonatkozó szabályok is. A ∀ az ∧-sel rokonítható, az ∃ a ∨-gyal. | + | ===Megjegyzés=== |
+ | Ezekkel analóg a ∀ és ∃, azaz "minden" és "létezik" szavakra vonatkozó szabályok is. A ∀ az ∧-sel rokonítható, az ∃ a ∨-gyal. Ezek az operátorok nem két mondatot kapcsolnak össze, hanem sok mondatra vonatkoznak egyszerre, abban az értelemben, hogy egy ''A(x)'' predikátumból (nyitott mondatból) készítenek egy új mondatot. Például az ''A(x)'' := ''x-nek van emelt szintű matematika érettségije'' nyitott mondatból a ∃ a (∃x)''A(x)'' := ''van akinek van emelt szintű matematika érettségije'' mondatot képezi, a ∀ a (∀x)''A(x)'' := ''mindenkinek van emelt szintű matematika érettségije'' mondatot képezi. Az előbbi azt jelenti, hogy a "jelenlévők" közül (az "alaphalmazból") valakinek vagy Pistinek, vagy Bélának, vagy Cilinek van emelt érettségije matekból -- persze '''nem kell feltétlenül tudnunk''', hogy kinek; az utóbbi pedig, hogy Pistinek is, Bélának is, Cilinek is, Daniellának is,... mindenkinek megvan az emelt matekja. | ||
===Példa=== | ===Példa=== | ||
A fenti következtetésekre azonnal hozhatunk egy példát a halmazok témaköréből. A halmazműveletek megfeleltethetők logikai műveleteknek. A fentieknek megfelelők. Legyenek ''A'' és ''B'' halmazok. Ekkor ''A'' és ''B'' uniója: | A fenti következtetésekre azonnal hozhatunk egy példát a halmazok témaköréből. A halmazműveletek megfeleltethetők logikai műveleteknek. A fentieknek megfelelők. Legyenek ''A'' és ''B'' halmazok. Ekkor ''A'' és ''B'' uniója: |
A lap 2012. július 10., 09:43-kori változata
Ha A1, A2, ..., An, B mondatok, akkor azt mondjuk, hogy az
szimbólummal jelölt következtetés helyes, ha minden olyan esetben, amikor az A1, A2, ..., An mondatok (az úgy nevezett premisszák vagy feltételek) mindegyike igaz, akkor a B mondat, azaz a konkúzió (következmény) is igaz.
A helyes következtetések listája elég nagy, ám vannak bizonyos tekintetben alapvetőnek tekinthető kövekeztetések, melyeket könnyen lehet kategorizálni a bevezetési és kiküszöbölési szabályok módszere szerint.
Tartalomjegyzék |
Direkt következtetések
A legegyszerűbb eset az és (jelben ) mondatoperátorral összekötött összetett mondatokra vonatkozó bevezetési és kiküszöbölési szabály. Egy mondatoperátor kiküszöbölési szabálya lényegében az, hogy megadja, mire következtethetünk az adott operátorral összekötött mondatokból, jelen esetben például A és B összetett mondatból. Eszerint:
Azaz, ha tudjuk, hogy A és B igaz, akkor jogos kijelentenünk, akár A, akár B igazságának fennállását. A bevezetési szabály azt adja meg, hogy miből következtethetünk az adott összetételre. Világos, hogy a helyes következtetés fenti értelemezése szerint minden olyan esetben, amikor az {A, B} premisszapár minden tagja igaz, levonhatjuk az A és B konklúziót:
A vagy (jelben: ) bevezetési szabálya szintén nyilvánvaló:
Ezzel szemben a kiküszöbölési szabályának tárgyalásával máris belefutottunk a logikafilozófia ingoványába, ezt persze nem tárgyaljuk, csak magát a következtetési szabályt. A vagy kiküszöbölési szabályát az esetszétválasztás szabályának nevezzük:
- az esetszétválasztás szabálya
Azaz ha A-ból következik a C és a B-ből is következik a C, továbbá az A és a B közül legalább az egyik igaz (ez a klasszikus vagy: nem feltétlenül tudjuk, melyik igaz, csak azt, hogy az egyik), akkor a C biztos igaz.
Megjegyzés
Ezekkel analóg a ∀ és ∃, azaz "minden" és "létezik" szavakra vonatkozó szabályok is. A ∀ az ∧-sel rokonítható, az ∃ a ∨-gyal. Ezek az operátorok nem két mondatot kapcsolnak össze, hanem sok mondatra vonatkoznak egyszerre, abban az értelemben, hogy egy A(x) predikátumból (nyitott mondatból) készítenek egy új mondatot. Például az A(x) := x-nek van emelt szintű matematika érettségije nyitott mondatból a ∃ a (∃x)A(x) := van akinek van emelt szintű matematika érettségije mondatot képezi, a ∀ a (∀x)A(x) := mindenkinek van emelt szintű matematika érettségije mondatot képezi. Az előbbi azt jelenti, hogy a "jelenlévők" közül (az "alaphalmazból") valakinek vagy Pistinek, vagy Bélának, vagy Cilinek van emelt érettségije matekból -- persze nem kell feltétlenül tudnunk, hogy kinek; az utóbbi pedig, hogy Pistinek is, Bélának is, Cilinek is, Daniellának is,... mindenkinek megvan az emelt matekja.
Példa
A fenti következtetésekre azonnal hozhatunk egy példát a halmazok témaköréből. A halmazműveletek megfeleltethetők logikai műveleteknek. A fentieknek megfelelők. Legyenek A és B halmazok. Ekkor A és B uniója:
azaz azon elemek halmaza, mely az A illetve a B közül legalább az egyikben benne vannak;
A és B metszete:
azaz azon elemek halmaza, mely az A-ban is és a B-ben is benne vannak.
Ha választ várnánk arra a kérdésre, hogy mi az a halmaz, akkor szintén a matematikafilozófia ingoványában találnánk magunkat, ezért intellektuálisan a legtisztességesebb, ha tárgyunk célját (az analízis elsajátítását) érdeklődésünk homlokterébe tartva, ezzel a kérdéssel nem foglalkozunk.
Tudjuk: két halmaz egyenlő, akkor és csak akkor, ha ugyanazok az elemeik. Formulákban:
A nem ismert jel esetleg itt a ∀, melyre a minden szó rövidítéseként gondolunk és a nyilak, amik a következtetés irányát jelzik. (Az, hogy a "ha A akkor B" (jelben: A B) és az "A -ból következik B" (jelben: ) ugyanazt jelenti, az egyáltalán nem nyilvánvaló és valójában az úgy nevezett dedukciótétel mondja ki, persze bizonyos itt nem részletezett feltételek mellett.)
1. Feladat. Igazoljuk a disztributív szabályt, legalább is az egyiket, az alábbit:
Bizonyítás. 1) Vegyünk egy tetszőleges x-et. Igazoljuk: "ha x ∈ baloldal, akkor x ∈ jobboldal".
Esetszétválasztás jön, mert innentől nem tudjuk, x a B-ben vagy a C'-ben van
-
- és (igaz állítást bármihez "hozzáéselhetünk": és be)
- vagy (bármi "hozzávagyolható" egy igaz kijelentéshez: vagy be)
-
- és (igaz állítást bármihez "hozzáéselhetünk": és be)
- vagy (bármi "hozzávagyolható" egy igaz kijelentéshez: vagy be)
- azaz mindkét esetben kijött a jobboldal.
-
2) Visszafelé ugyanígy, csak felefelé.
Negáció, indirekt bizonyítás
A tagadás (negáció) kiküszöbölési szabálya az úgy nevezett kettős tagadás törlésének szabálya:
A bevezetési szabálya pedig az úgy nevezett redukció ad abszurdum.
Ezeknek a segítségével olyan fontos tételeket is levezethetünk, mint a De-Morgan azonosságok:
A fentiekben a , hogy a két oldalon lévő kifejezés kölcsönösek következik egymásból.
Példák
Ami még hiányzik a logikai operációk és a halmazműveltek megfeleltetéséből, az negáció halmazműveletekkel történő átfogalmazása, mely nem titok, a komplementerképzés lesz. Sajnos komoly logikai problémát okozna, ha ezt úgy tenénk, hogy egy A halmaz esetén az A komplementerébe azon elemek tartoznak, melyen nem az A-ban vannak. Ekkor ugyanis egy kisebb halmaz, mint mondjuk az {1,2,3} komplementere a világ összes ezektől különböző dolgából állna. Ezzel azonban világos, hogy megint a matematikafilozófi ingoványos talajára tévednénk, így ezt másként tesszük.
Ha H halmaz, akkor az A halmaznak a H-ra vonatkozó komplementre az
A fenti H halmazt alkalmasan nagynak gondoljuk és ezzel elkerüljük a logkai problémát.
Ezzel a De-Morgan-azonosságok halmazokkal megfogalmazott változata a következő alakban írható:
A fenti egyenlőségek középiskolából ismert relációval is kifejezhetők. Azt mondjuk, hogy A része B-nek, ha minden olyan esetben, amikor egy elem eleme A-nak, akkor B-nek is eleme, jelben:
Azaz az, hogy A = B az ugyanaz, mint hogy és is teljesül.
2. Feladat. Példként nézzük csak a
esetet.
Megoldás. Vegyünk egy elemet a jobboldalból és igazoljuk, hogy benne van a baloldalban. Tudjuk a metszet definíciója miatt, hogy ekkor
-
- (indirekt feltevés), ezek után esetszétválasztáshoz kell folyamodnunk. Mindkét esetben ellentmondásra jutunk:
- ha , akkor a legfelső
- ha , akkor a legfelső alatti egyenlőség miatt jutunk ellentmondásra, így a
- (indirekt feltevés), ezek után esetszétválasztáshoz kell folyamodnunk. Mindkét esetben ellentmondásra jutunk:
- konklúzióra jutottunk.
Egy másik jellegzetes példa a részhalmaz relációval kapcsolatos. Előtte azonban fel kell idéznünk a kvantrokra vontkozó De-Morgan-azonosságot. A "létezik" szót (mely a "minden" duálisa) ∃-tel jelöljük:
A kijelentések világosak: ha nem minden dolog A, akkor van olyan dolog, ami nem A. Ha nem létezik A, akkor minden dolog nem A tulajdonságú.
3. Feladat. Igazoljuk, hogy az üres halmaz minden halmaznak része.
Megoldás. Legyen A tetszőleges halmaz. Indirekten tegyük fel, hogy
Az formulákban így néz ki:
Egy ilyen tagadása az, hogy a kvantort átírjuk a duálisára és a tulajdonságot tagadjuk:
Ekkor azonban azt kaptuk, hogy létezik az üres halmaznak eleme, ami ellentmondás.
Boole-algebrai átalakítások
Világos, hogy az unióra és a metszetre a definíciójuk miatt ugyanazok az azonosságok vonatkoznak, mint a "vagy"-ra és az "és"-re. Ezeket a szabályokat Boole-algebrai azonosságoknak nevezzük. Ahhoz, hogy teljes legyen a kép még egy fontos halmazműveletet fel kell elevenítenünk: Legyenek A és B halmazok. Ekkor A minusz B vagy A különbség B:
azaz azon elemek halmaza, melyek az A-nak elemei, de a B-nek nem.
Nagyon hasznos azonosság, hogy a különbség átírható komplementer és metszet segítségével:
ahol a komplementerkézés egy olyan halmazra vonatkoztatjuk, melyben minden szóbanforgó halmaz részhalmazként benne van, például jelen esetben H = A U B alkalmas ilyen halmaz .
4. Feladat. Igazoljuk, hogy tetszőleges A, B és C halmazokra
Megoldás. Írjuk fel a baloldalt és alakítsuk addig, míg ki nem jön a jobboldal:
Cáfoló példák, cáfoló szituációk
Azt, hogy egy kijelentés igaz, azt a matematikában bizonyítással látjuk be. Például egy "ha A, akkor B" állítás esetén az A-ból levezetjük B-t.
Azt, hogy egy kijelentés hamis, általában cáfoló ellenpélda vagy cáfoló szituációra való rámutatással. Például egy "ha A, akkor B" állítás cáfolása esetén meg kell mutatunk, hogy a megadott cáfoló szituációban A ugyan igaz, de B nem. Ez azt jelenti, hogy ellenpélda esetén is kell bizonyítanunk, éspedig az előző esetben azt, hogy "bár A, de nem B". A metódus tehát a következő: 1) adunk egy példát 2) belátjuk, hogy az adott példa ellenpélda.
Példák
5. Feladat. Legyen A, B és C tetszőleges halmaz, továbbá legyen
- és
Vizsgáljuk meg, hogy melyik tartalmazás áll fenn!
Megoldás. Az A U B-re vonatkozó komplementerképzésre áttérve:
Tehát biztosan igaz, azaz (1) igaz.
Ellenben (2) hamis, ellenpélda:
- ,
Ugyanis, ekkor , .
6. Feladat. Legyen (an) és (bn) két tetszőleges sorozat. Melyik állítás következik a másikból és melyik nem?
- (an) korlátos vagy (bn) korlátos
- (an) korlátos és (bn) korlátos
- (anbn) korlátos
Megoldás.
1 --> 2 pusztán logikai okokból nem teljesül.
Ellenpélda: an1 és (bn)=(n).
Ugyanis, bár 1 korlátos, így legalább az egyik korlátos, de mindkettő nem.
2 --> 1 viszont logikai okokból igaz.
Bizonyítás: ha mindekettő korlátos, akkor világos, hogy legalább az egyik korlátos.
1 --> 3 valószínűleg nem igaz. Valóban:
ellenpélda az 1-->2-beli.
Ugyanis, bár legalább az egyik korlátos, de a szorzat (1n)=(n) nem az.
2 --> 3 igaz.
Bizonyítás. |anbn|=|an||bn| < KL, ahol K az egyik, L, a másik sorozat abszolútértékét felül becslő szám.
3 --> 2 nem igaz
Ellenpélda. (n) és (1/n)
Ugyanis. bár a szorzat korlátos, az egyik sorozat nem az.
3 --> 1 becsapós.
Ellenpélda. an = n, ha n páros és an =1/n, ha n páratlan. bn a "fordítottja", azaz párosakra 1/n és páratlanokra n.
Ugyanis, anbn = 1 és korlátos, de egyik sem korlátos önmagában.
Házi feladatok
- K\(K\L) = L\(L\K)
- (K ∩ L) \ ( K\M ) = K ∩ L ∩ M
- (K\L)\M = (K\M)\(L\M)