Szerkesztő:Mozo/A3 gyakorló feladatok 2.
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
1. sor: | 1. sor: | ||
− | + | ==Lineáris helyettesítés== | |
− | :<math>y'=-2(2x+4y)^2</math> | + | Mi az általános megoldása? |
+ | :<math>y'=-2(2x+4y)^2\,</math> | ||
''Mo.'' Legyen u=2x+4y, ekkor du=2dx+4dy, azaz | ''Mo.'' Legyen u=2x+4y, ekkor du=2dx+4dy, azaz | ||
13. sor: | 14. sor: | ||
Implicit általános megoldás: | Implicit általános megoldás: | ||
:<math>\mathrm{ln}\frac{|1+2u|}{|1-2u|}=8x+const.</math> | :<math>\mathrm{ln}\frac{|1+2u|}{|1-2u|}=8x+const.</math> | ||
− | :<math>\frac{ | + | :<math>\frac{4x+8y+1}{-4x-8y+1}=Ke^{8x},\quad\quad (K>0)</math> |
− | + | ==Kezdeti érték probléma== | |
+ | Oldjuk meg az | ||
:<math>\sin y\,\mathrm{d}y-x^2\cos^4y\,\mathrm{d}x=0</math> | :<math>\sin y\,\mathrm{d}y-x^2\cos^4y\,\mathrm{d}x=0</math> |
A lap 2012. október 8., 10:45-kori változata
Lineáris helyettesítés
Mi az általános megoldása?
Mo. Legyen u=2x+4y, ekkor du=2dx+4dy, azaz
Innen:
Implicit általános megoldás:
Kezdeti érték probléma
Oldjuk meg az
egyenletet az
- a)
- b)
- c)
kezdeti feltételekkel.
Mo. Nem egzakt, de valójában az egyenlet a
és ez szeparábilis. Sőt, egzakttá tehető az (1/cos^4 y) integráló szorzóval.
a) Ez egy konstans megoldás (y(x)=π/2) és nincs másik a (0,π/2)-n áthaladó, mert az y szerinti parciális derivált korlátos.
b) Az általános megoldásból keressük a kezdeti feltételt kielégítő megoldást:
Az implicit egyenlet:
- cos − 3y = x3 + 3C
Ha x=0 és y=π/4, akkor
és
c) ugyanez + 2π
HF. Oldjuk meg az y' = sin(x) yln(y) egyenletet az
- a) y(0)=1,
- b) y(0)=e
kezdeti feltételek mellett!
3. (Állandó variálása)
4. (Kezdeti értékes állandóegyütthatós lineáris)
5. (Rendszer)
Mo. Ha a feladat
alakú különböző valós sajátértékekkel, és az A-nak λ1, λ2-hoz tartozó sajátvektoraiból álló mátrix:
,
akkor a megoldás
Itt a sajátértékefeladat megoldása:
azaz
6.
Mo.
Kar. egy:
-1, -3 háromszoros gyökök, tehát:
- ya = c1e − x + c2xe − x + c3x2e − x + c4e − 3x + c5xe − 3x + c6x2e − 3x
A próbafüggvény: y=Ax2+Bx+C, tehát:
- 4Ax2 + 4Bx + 4C = x2
azaz A=1/4, B=C=0.