Szerkesztő:Mozo/A3 gyakorló feladatok 2.
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Kezdeti értékes állandó együtthatós lineáris) |
||
(egy szerkesztő 13 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
1. sor: | 1. sor: | ||
− | + | ==Lineáris helyettesítés== | |
− | :<math>y'=-2(2x+4y)^2</math> | + | Mi az általános megoldása? |
+ | :<math>y'=-2(2x+4y)^2\,</math> | ||
− | + | ===Mo.=== | |
+ | Legyen u=2x+4y, ekkor du=2dx+4dy, azaz | ||
:<math>u'=2+4y'\,</math> | :<math>u'=2+4y'\,</math> | ||
Innen: | Innen: | ||
13. sor: | 15. sor: | ||
Implicit általános megoldás: | Implicit általános megoldás: | ||
:<math>\mathrm{ln}\frac{|1+2u|}{|1-2u|}=8x+const.</math> | :<math>\mathrm{ln}\frac{|1+2u|}{|1-2u|}=8x+const.</math> | ||
− | :<math>\frac{ | + | :<math>\frac{4x+8y+1}{-4x-8y+1}=Ke^{8x},\quad\quad (K>0)</math> |
− | + | ==Kezdeti érték probléma== | |
− | + | Oldjuk meg az | |
− | :<math>\ | + | :<math>-x^2\cos^4y\,\mathrm{d}x+\sin y\,\mathrm{d}y=0</math> |
egyenletet az | egyenletet az | ||
:a) <math> y(0)=-\frac{\pi}{2}</math> | :a) <math> y(0)=-\frac{\pi}{2}</math> | ||
24. sor: | 26. sor: | ||
kezdeti feltételekkel. | kezdeti feltételekkel. | ||
− | + | ===1. Mo.=== | |
+ | Nem egzakt: | ||
+ | :<math>\frac{\partial P}{\partial y}=4x^2\cos^{3}y(\sin y)</math> | ||
+ | :<math>\frac{\partial Q}{\partial x}=0</math> | ||
+ | Egzakttá tehető, ugyanis: | ||
+ | :<math>-\frac{\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}}{P}=\frac{4x^2\cos^{3}y(\sin y)}{x^2\cos^4y}=\frac{4\sin y}{\cos y}</math> | ||
+ | :<math>\mu=e^{\int\frac{4\sin y}{\cos y}}=e^{-4 \mathrm{ln}|cos y |}=\frac{1}{\cos^4y}</math> | ||
+ | Emiatt | ||
+ | :<math>-x^2\,\mathrm{d}x+\frac{\sin y}{\cos^4 y}\,\mathrm{d}y=0</math> | ||
+ | Megoldása: | ||
+ | :<math>-\frac{x^3}{3}+\frac{1}{3\cos^3 y}\,=C</math> | ||
+ | ===2. Mo.=== | ||
+ | Persze szeparábilis is: | ||
:<math>y'=x^2\frac{\cos^4 y}{\sin y}</math> | :<math>y'=x^2\frac{\cos^4 y}{\sin y}</math> | ||
− | |||
a) Ez egy konstans megoldás (y(x)=π/2) és nincs másik a (0,π/2)-n áthaladó, mert az y szerinti parciális derivált korlátos. | a) Ez egy konstans megoldás (y(x)=π/2) és nincs másik a (0,π/2)-n áthaladó, mert az y szerinti parciális derivált korlátos. | ||
47. sor: | 60. sor: | ||
kezdeti feltételek mellett! | kezdeti feltételek mellett! | ||
− | + | ==Függvényegyütthatós lineáris, állandó variálása== | |
:<math>y'+\frac{1}{x}y=\sin(x^2)\,</math> | :<math>y'+\frac{1}{x}y=\sin(x^2)\,</math> | ||
− | + | ==Kezdeti értékes állandó együtthatós lineáris== | |
:<math> | :<math> | ||
− | y''- | + | y''-10y'+9y=5t,\quad\quad y(0)=-1,\;y'(0)=2)</math> |
− | + | ==Homogén lineáris differenciál egyenlet rendszer== | |
− | :<math>\dot{x_1}= | + | :<math>\dot{x_1}=2x_1+3x_2</math> |
:<math>\dot{x_2}= x_1+4x_2</math> | :<math>\dot{x_2}= x_1+4x_2</math> | ||
84. sor: | 97. sor: | ||
:<math>4Ax^2+4Bx+4C=x^2</math> | :<math>4Ax^2+4Bx+4C=x^2</math> | ||
azaz A=1/4, B=C=0. | azaz A=1/4, B=C=0. | ||
+ | |||
+ | ==Inomogén lineáris differenciál egyenlet rendszer== | ||
+ | :<math>\dot{x_1}=x_1-x_2+3t</math> | ||
+ | :<math>\dot{x_2}= 2x_1+4x_2-4t</math> | ||
+ | ===Mo.=== | ||
+ | Homogén: | ||
+ | :<math>\begin{pmatrix}1 & -1\\ 2 & 4\end{pmatrix}</math> | ||
+ | Sajátértékek: | ||
+ | :<math>(1-\lambda)(4-\lambda)+2=0\,</math> | ||
+ | :<math>\lambda^2-5\lambda+6=0\,</math> | ||
+ | :<math>\lambda_{1,2}=2;3\,</math> | ||
+ | Sajátvektorok: | ||
+ | :<math>\begin{pmatrix}-1 & -1\\ 2 & 2\end{pmatrix}</math> | ||
+ | Innen: | ||
+ | :<math>s_1=\begin{pmatrix}1 \\ -1\end{pmatrix}</math> | ||
+ | :<math>\begin{pmatrix}-2 & -1\\ 2 & 1\end{pmatrix}</math> | ||
+ | :<math>s_2=\begin{pmatrix}1\\ -2\end{pmatrix}</math> | ||
+ | Innen: | ||
+ | :<math>\Psi(t)=\begin{pmatrix}e^{2t} & e^{3t}\\ -e^{2t} & -2e^{3t}\end{pmatrix}</math>, és c=(c_1,c_2)-vel | ||
+ | :<math>\Psi(t)c=\begin{pmatrix}c_1e^{2t} & c_1e^{3t}\\ -c_2e^{2t} & -2c_2e^{3t}\end{pmatrix}</math> | ||
+ | Inhomogén: | ||
+ | :<math>\Psi c'(t)=\begin{pmatrix}3t \\ -4t\end{pmatrix}</math> |
A lap jelenlegi, 2013. október 13., 21:33-kori változata
Tartalomjegyzék |
Lineáris helyettesítés
Mi az általános megoldása?
Mo.
Legyen u=2x+4y, ekkor du=2dx+4dy, azaz
Innen:
Implicit általános megoldás:
Kezdeti érték probléma
Oldjuk meg az
egyenletet az
- a)
- b)
- c)
kezdeti feltételekkel.
1. Mo.
Nem egzakt:
Egzakttá tehető, ugyanis:
Emiatt
Megoldása:
2. Mo.
Persze szeparábilis is:
a) Ez egy konstans megoldás (y(x)=π/2) és nincs másik a (0,π/2)-n áthaladó, mert az y szerinti parciális derivált korlátos.
b) Az általános megoldásból keressük a kezdeti feltételt kielégítő megoldást:
Az implicit egyenlet:
- cos − 3y = x3 + 3C
Ha x=0 és y=π/4, akkor
és
c) ugyanez + 2π
HF. Oldjuk meg az y' = sin(x) yln(y) egyenletet az
- a) y(0)=1,
- b) y(0)=e
kezdeti feltételek mellett!
Függvényegyütthatós lineáris, állandó variálása
Kezdeti értékes állandó együtthatós lineáris
Homogén lineáris differenciál egyenlet rendszer
Mo. Ha a feladat
alakú különböző valós sajátértékekkel, és az A-nak λ1, λ2-hoz tartozó sajátvektoraiból álló mátrix:
,
akkor a megoldás
Itt a sajátértékefeladat megoldása:
azaz
6.
Mo.
Kar. egy:
-1, -3 háromszoros gyökök, tehát:
- ya = c1e − x + c2xe − x + c3x2e − x + c4e − 3x + c5xe − 3x + c6x2e − 3x
A próbafüggvény: y=Ax2+Bx+C, tehát:
- 4Ax2 + 4Bx + 4C = x2
azaz A=1/4, B=C=0.
Inomogén lineáris differenciál egyenlet rendszer
Mo.
Homogén:
Sajátértékek:
Sajátvektorok:
Innen:
Innen:
, és c=(c_1,c_2)-vel
Inhomogén: