Szerkesztő:Mozo/A2 gyakorló feladatok 5
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Topologia) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Mo.) |
||
(egy szerkesztő 11 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
1. sor: | 1. sor: | ||
− | == | + | == Topológia == |
1. Igaz-e bármely végtelen sok zárt halmazból álló halmazrendszerre, hogy unioja nyilt? | 1. Igaz-e bármely végtelen sok zárt halmazból álló halmazrendszerre, hogy unioja nyilt? | ||
11. sor: | 11. sor: | ||
===Mo.=== | ===Mo.=== | ||
− | 1. Nem, ellenpélda: | + | 1. Nem, ellenpélda: {[-1/n,1/n]|n∈'''N'''}, ugyanis U{[-1/n,1/n]|n∈'''N'''} = [-1;1], mely nem nyílt, ugyanis a -1 pontnak nincs olyan környezete, mely teljes egészében [-1 ;1]-ben lenne. |
+ | |||
+ | 2. Nem, ellenpélda: {[-1+1/n,1-1/n]|n∈'''N'''}, ugyanis U{[-1+1/n,1-1/n]|n∈'''N'''} = (-1;1), ugyanis ha x∈(-1;1), akkor lesz olyan [-1+1/n,1-1/n] mely lefedi x-et. (-1;1) nem zárt ugyanis komplementere: (-∞,-1]U[1;∞) nem nyílt, hisz az 1 nek nincs olyan környezet, mely teljes egészében a halmazban lenne. | ||
+ | |||
+ | 3. Mert komplementere a (-∞,-1)U(1;∞) halmaz két nyílt halmaz uniója, ami nyílt. | ||
+ | |||
+ | 4. Igen, a [0;1) se nem nyílt, se nem zárt (0 neki, 1 a komplementerének nem belső pontja), és az üres és '''R''' nyílt-zárt, mert egymás komplementerei és az üres és '''R''' nyílt. | ||
+ | |||
+ | == Határérték teljes differenciálhatóság == | ||
+ | |||
+ | Hol totálisan diferenciálható az | ||
+ | :<math>f(x,y)=\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2},\qquad (x,y)\ne (0,0),\qquad f(0,0)=0</math> | ||
+ | függvény? | ||
+ | |||
+ | ===Mo.=== | ||
+ | Az origón kívül differenciálhatóakból van összetéve a differenciálhatósűgot megőrző módokon. | ||
+ | |||
+ | :<math>f(x,0)=x</math>, azaz <math>\partial_xf(0,0)=1</math> és | ||
+ | :<math>f(0,y)=-y</math>, azaz <math>\partial_yf(0,0)=-1</math> | ||
+ | Ezért a Jacobi-mártix: [1 -1] | ||
+ | :<math>\frac{\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}-[1\quad -1]\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}-x+y}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{\frac{x^3-y^3-x^3-xy^2+y^3+yx^2}{x^2+y^2}-x+y}{\sqrt{x^2+y^2}}=</math> | ||
+ | :<math>=\frac{-xy^2+yx^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}=\frac{xy(-y+x}{(x^2+y^2)^{3/2}}</math> | ||
+ | Ez a függvény az (x,0) pontokban azonosan 0, az (x,-x) pontokban nemnulla konstans, azaz nincs határértéke a (0,0)-ban. | ||
+ | |||
+ | == Lokális és tartományi szélsőérték == | ||
+ | |||
+ | Legyen | ||
+ | :<math>f(x,y)=x^3+6xy+y^2+15x\;</math> | ||
+ | a) Hol és milyen lokális szélsőértéke van? | ||
+ | |||
+ | b) Hol és mekkora az x=0, y=0, y=1-x határolta tartományon a tartományi maximuma és minimuma? | ||
+ | |||
+ | ===Mo.=== | ||
+ | :<math>\nabla f(x,y)=[3x^2+6y+15,\quad 6x+2y]</math> | ||
+ | :<math>[3x^2+6y+15,\quad 6x+2y]=[0,\quad 0]</math> | ||
+ | :<math>[x^2+2y+5,\quad 3x+y]=[0,\quad 0]</math> | ||
+ | Innen y=-3x, <math>x^2-6x+5=0</math>, azaz x=1; 5, y= rendre -3, -15. | ||
+ | |||
+ | Hesse-mátrix: | ||
+ | :<math>\begin{pmatrix} 6x & 6\\ 6 & 2\end{pmatrix}</math> | ||
+ | Determinánsa az (1;-3) és (5;-15) pontokban rendre | ||
+ | :<math>\begin{vmatrix} 6 & 6\\ 6 & 2\end{vmatrix}<0,\qquad \begin{vmatrix} 30 & 6\\ 6 & 2\end{vmatrix}>0</math> | ||
+ | azaz az első pontban nyeregpontja van, a másodikban (30>0, 60-36>0) minimuma. | ||
+ | |||
+ | b) Belül nincs szélsőértéke. A peremen: (x,0), ahol x∈[0,1], akkor <math>x^3+15x</math>, deriváltja: <math>2x^2+15</math>, ennek nincs nullhelye, azaz sz.m.nő: f(0,0)=0, f(1,0)=16. (0,y), ahol y∈[0,1], akkor <math>y^2</math>, azaz sz.m.nő [0,1]-en: f(0,0)=0, f(0,1)=1. Az (x,1-x) mentén, ahol x∈[0,1]: | ||
+ | :<math>f(x,1-x)=x^3+6x(1-x)+(1-x)^2+15x</math> deriváltja: | ||
+ | :<math>f'(x,1-x)=3x^2+6-12x-2(1-x)+15=3x^2-10x+19=3(x-5/3)^2-(25/3)+19>0</math>, azaz f(x,1-x) sz. m. nő. | ||
+ | Tehát f(0,0)=0 minimum, f(1,0)=16 maximum. | ||
+ | |||
+ | == Konvergens sorok == | ||
+ | |||
+ | Konvergensek-e az alábbi sorok? | ||
+ | |||
+ | :a) <math>\sum\frac{1}{n}\sin(\frac{1}{n})</math> | ||
+ | :b) <math>\sum n\sin(\frac{1}{n^2})</math> | ||
+ | :c) <math>\sum n\cos(\frac{1}{n^3})</math> | ||
+ | |||
+ | ===Mo.=== | ||
+ | a) Igen, <math>\sin x\sim_0 x\,</math>, <math>\frac{1}{n}\sin(\frac{1}{n})\sim\frac{1}{n^2}</math>,és valóban: :<math>\lim\frac{\frac{1}{n}\sin(\frac{1}{n})}{\frac{1}{n^2}}=\lim\frac{\sin(\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}}=1>0</math> | ||
+ | azaz, mivel ∑1/n<sup>2</sup> konvergens, ezért az intelligens kritérium miatt az a) sor is divergens. | ||
+ | |||
+ | b) <math>\sum n\sin(\frac{1}{n^2})</math> divergens, mert az előző megoldás eleje miatt, azt az alábbiakkal folytatva | ||
+ | :<math>\lim\frac{n\sin(\frac{1}{n^2})}{\frac{1}{n}}=\lim\frac{\sin(\frac{1}{n^2})}{\frac{1}{n^2}}=1>0</math> | ||
+ | azaz, mivel ∑1/n divergens, ezért az intelligens kritérium miatt a b) sor is divergens. | ||
+ | |||
+ | c) A szükséges kritérium alapján, mivel | ||
+ | :<math>\lim\cos(\frac{1}{n^3})=\lim n=\infty\ne 0</math> | ||
+ | azaz nem nullához tartanak a tagok, ezért nem lehet c) konvergens, azaz c) divergens. (lim<sub>2</sub> cos=1-et használtuk fel a határérték kiszámításakor.) | ||
+ | |||
+ | == Integrálhatóság == | ||
+ | |||
+ | a) Riemann-integrálható-e az | ||
+ | |||
+ | :<math>f(x,y)=\frac{\sin x}{x},\qquad x\ne 0</math> | ||
+ | :<math>f(0,y)=0\,</math> | ||
+ | függvény az [0;1]×[0,1] kockán? | ||
+ | |||
+ | b) Riemann-integrálható-e az | ||
+ | :<math>1,\qquad x^2+y^2-1\ne 0</math> | ||
+ | :<math>0,\qquad x^2+y^2-1 =0</math> | ||
+ | függvény, azaz a <math>H=\{(x,y)\mid x^2+y^2-1\ne 0 \}</math> halmaz karakterisztikus függvénye a [-1;1]×[-1;1] kockán? | ||
+ | |||
+ | c) Riemann-integrálható-e | ||
+ | :<math>Dir(x,y)\cdot(x^2+y^2)</math> | ||
+ | függvény, az origó középpontú egység sugarú körlapon [0;1]×[0,1] kockán? Itt Dir(x,y) 1, ha (x,y) mindkét komponense racionális, és 0, ha valamelyik irracionális? Hol differenciálható ez a függvény? | ||
+ | |||
+ | ===Mo.=== | ||
+ | a) Megszüntethető szakadása van az (0,y) pontok mentén, azaz nullmértékű halmazon és korlátos, tehát integrálható. | ||
+ | |||
+ | b) Korlátos és a körvonal mentén szakad, azaz nullmértékű halmazon, tehát integrálható. | ||
+ | |||
+ | c) racionálisokra a z=x^2+y^2 forgási paraboloid, máshol a 0 függvény. Ez a körlapon az origó kivételével szakad. Ezt a [-1;1]×[-1;1]-re a 0 függvénnyel kiterjesztve nem nullmértékű sok helyen szakad, bár korlátos, azaz nem Riemann-integrálható. A függvény csak az origóban folytonos, de ott (amúgy) differenciálható is. | ||
+ | |||
+ | == Integrálás normáltartományon, polárkoordinátákkal és az integrálás sorrendjének felcserésével == | ||
+ | == Iránymenti és parciális deriváltak == |
A lap jelenlegi, 2015. április 1., 14:05-kori változata
Tartalomjegyzék |
Topológia
1. Igaz-e bármely végtelen sok zárt halmazból álló halmazrendszerre, hogy unioja nyilt?
2. Igaz-e bármely végtelen sok zárt halmazból álló halmazrendszerre, hogy unioja zárt?
3. Miert zárt a [-1;1] intervallum?
4. Van-e olyan halmaz, mely se nem zárt se nem nyílt, ill. olyan, ami nyílt is és zárt is?
Mo.
1. Nem, ellenpélda: {[-1/n,1/n]|n∈N}, ugyanis U{[-1/n,1/n]|n∈N} = [-1;1], mely nem nyílt, ugyanis a -1 pontnak nincs olyan környezete, mely teljes egészében [-1 ;1]-ben lenne.
2. Nem, ellenpélda: {[-1+1/n,1-1/n]|n∈N}, ugyanis U{[-1+1/n,1-1/n]|n∈N} = (-1;1), ugyanis ha x∈(-1;1), akkor lesz olyan [-1+1/n,1-1/n] mely lefedi x-et. (-1;1) nem zárt ugyanis komplementere: (-∞,-1]U[1;∞) nem nyílt, hisz az 1 nek nincs olyan környezet, mely teljes egészében a halmazban lenne.
3. Mert komplementere a (-∞,-1)U(1;∞) halmaz két nyílt halmaz uniója, ami nyílt.
4. Igen, a [0;1) se nem nyílt, se nem zárt (0 neki, 1 a komplementerének nem belső pontja), és az üres és R nyílt-zárt, mert egymás komplementerei és az üres és R nyílt.
Határérték teljes differenciálhatóság
Hol totálisan diferenciálható az
függvény?
Mo.
Az origón kívül differenciálhatóakból van összetéve a differenciálhatósűgot megőrző módokon.
- f(x,0) = x, azaz és
- f(0,y) = − y, azaz
Ezért a Jacobi-mártix: [1 -1]
Ez a függvény az (x,0) pontokban azonosan 0, az (x,-x) pontokban nemnulla konstans, azaz nincs határértéke a (0,0)-ban.
Lokális és tartományi szélsőérték
Legyen
a) Hol és milyen lokális szélsőértéke van?
b) Hol és mekkora az x=0, y=0, y=1-x határolta tartományon a tartományi maximuma és minimuma?
Mo.
Innen y=-3x, x2 − 6x + 5 = 0, azaz x=1; 5, y= rendre -3, -15.
Hesse-mátrix:
Determinánsa az (1;-3) és (5;-15) pontokban rendre
azaz az első pontban nyeregpontja van, a másodikban (30>0, 60-36>0) minimuma.
b) Belül nincs szélsőértéke. A peremen: (x,0), ahol x∈[0,1], akkor x3 + 15x, deriváltja: 2x2 + 15, ennek nincs nullhelye, azaz sz.m.nő: f(0,0)=0, f(1,0)=16. (0,y), ahol y∈[0,1], akkor y2, azaz sz.m.nő [0,1]-en: f(0,0)=0, f(0,1)=1. Az (x,1-x) mentén, ahol x∈[0,1]:
- f(x,1 − x) = x3 + 6x(1 − x) + (1 − x)2 + 15x deriváltja:
- f'(x,1 − x) = 3x2 + 6 − 12x − 2(1 − x) + 15 = 3x2 − 10x + 19 = 3(x − 5 / 3)2 − (25 / 3) + 19 > 0, azaz f(x,1-x) sz. m. nő.
Tehát f(0,0)=0 minimum, f(1,0)=16 maximum.
Konvergens sorok
Konvergensek-e az alábbi sorok?
- a)
- b)
- c)
Mo.
a) Igen, , ,és valóban: : azaz, mivel ∑1/n2 konvergens, ezért az intelligens kritérium miatt az a) sor is divergens.
b) divergens, mert az előző megoldás eleje miatt, azt az alábbiakkal folytatva
azaz, mivel ∑1/n divergens, ezért az intelligens kritérium miatt a b) sor is divergens.
c) A szükséges kritérium alapján, mivel
azaz nem nullához tartanak a tagok, ezért nem lehet c) konvergens, azaz c) divergens. (lim2 cos=1-et használtuk fel a határérték kiszámításakor.)
Integrálhatóság
a) Riemann-integrálható-e az
függvény az [0;1]×[0,1] kockán?
b) Riemann-integrálható-e az
függvény, azaz a halmaz karakterisztikus függvénye a [-1;1]×[-1;1] kockán?
c) Riemann-integrálható-e
függvény, az origó középpontú egység sugarú körlapon [0;1]×[0,1] kockán? Itt Dir(x,y) 1, ha (x,y) mindkét komponense racionális, és 0, ha valamelyik irracionális? Hol differenciálható ez a függvény?
Mo.
a) Megszüntethető szakadása van az (0,y) pontok mentén, azaz nullmértékű halmazon és korlátos, tehát integrálható.
b) Korlátos és a körvonal mentén szakad, azaz nullmértékű halmazon, tehát integrálható.
c) racionálisokra a z=x^2+y^2 forgási paraboloid, máshol a 0 függvény. Ez a körlapon az origó kivételével szakad. Ezt a [-1;1]×[-1;1]-re a 0 függvénnyel kiterjesztve nem nullmértékű sok helyen szakad, bár korlátos, azaz nem Riemann-integrálható. A függvény csak az origóban folytonos, de ott (amúgy) differenciálható is.