Szerkesztő:Mozo/A2 szigorlat 5
Mozo (vitalap | szerkesztései) (Új oldal, tartalma: „'''Tétel''' – ''Bolzano-tétel'' – Intervallumon értelmezett, negatív és pozitív értékeket is felveő folytonos függvénynek van zérushelye. a Bolzano-t…”) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
(egy szerkesztő 3 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
1. sor: | 1. sor: | ||
'''Tétel''' – ''Bolzano-tétel'' – Intervallumon értelmezett, negatív és pozitív értékeket is felveő folytonos függvénynek van zérushelye. | '''Tétel''' – ''Bolzano-tétel'' – Intervallumon értelmezett, negatív és pozitív értékeket is felveő folytonos függvénynek van zérushelye. | ||
− | + | a Bolzano-tételt még olymódon is szokás kimondani, hogy | |
:''intervallumon értelmezett folytonos függvény két függvényértéke között minden értéket fölvesz'' | :''intervallumon értelmezett folytonos függvény két függvényértéke között minden értéket fölvesz'' | ||
melyet Darboux-tulajdonságnak neveznek. A Bolzano-tétel lényegében azt mondja ki, hogy az intervallumon folytonos függvények Darboux-tulajdonságúak. Megjegyezzük, hogy a Darboux-tétel pedig azt mondja ki, hogy az intervallumon differenciálható függvények deriváltfüggvénye Darboux-tulajdonságú. | melyet Darboux-tulajdonságnak neveznek. A Bolzano-tétel lényegében azt mondja ki, hogy az intervallumon folytonos függvények Darboux-tulajdonságúak. Megjegyezzük, hogy a Darboux-tétel pedig azt mondja ki, hogy az intervallumon differenciálható függvények deriváltfüggvénye Darboux-tulajdonságú. | ||
7. sor: | 7. sor: | ||
'''Tétel''' – ''Weierstrass-féle minimum-maximum-elv'' – Korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény felveszi abszolút minimumát és maximumát. | '''Tétel''' – ''Weierstrass-féle minimum-maximum-elv'' – Korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény felveszi abszolút minimumát és maximumát. | ||
− | Az alábbiakban felhasználjuk a kompaktság fogalmát | + | Az alábbiakban felhasználjuk a kompaktság fogalmát. |
− | (''Kompakt'' egy ''K'' halmaz, ha minden nyílt halmazrendszerből, melynek uniója lefedi ''K''-t kiválasztható véges sok nyílt halmaz is, melyek véges uniója még mindig lefedi ''K''-t | + | (''Kompakt'' egy ''K'' halmaz, ha minden nyílt halmazrendszerből, melynek uniója lefedi ''K''-t kiválasztható véges sok nyílt halmaz is, melyek véges uniója még mindig lefedi ''K''-t.) |
− | + | ||
− | + | ||
'''Tétel''' (''Weierstrass'') Valós értékű, kompakt halmazon folytonos függvény felveszi minimumát és maximumát. | '''Tétel''' (''Weierstrass'') Valós értékű, kompakt halmazon folytonos függvény felveszi minimumát és maximumát. | ||
− | : | + | :Azaz ha ''K''⊆'''R'''<sup>N</sup> kompakt és ''f'' ∈ C(''K'','''R'''), akkor sup(''f''), inf(''f'') ∈ Ran(''f'') |
− | ''Bizonyítás.'' | + | ''Bizonyítás.'' 1) Először belátjuk, hogy kompakt halmazon folytonos függvény korlátos. Legyen ugyanis az ε=1 és ''f'' értelmezési tartománya ''K''. A folytonosság miatt ''K'' minden ''u'' eleméhez létezik δ(''u'') pozitív szám, hogy ''f'' a B<sub>δ</sub>(''u'') környezeten belül mindvégig az (''f''(''u'')-1;,''f''(''u'')+1) intervallumon belül marad. Ekkor a nyílt halmazokból álló |
+ | :<math>\{\mathrm{B}_{\varepsilon}(u)\}_{u\in K}\,</math> | ||
+ | rendszer lefedi ''K''-t, vagyis a Heine-Borel-tétel miatt már ebből véges sok is lefedi, azaz létezik ''V'' ⊆ ''K'' véges, hogy | ||
+ | :<math>K\subseteq\bigcup\limits_{u\in V}\mathrm{B}_{\delta_{u}}(u)\,</math> | ||
+ | Ezek képei lefedik Ran(f)-et: | ||
+ | :<math>f(K)\subseteq\bigcup\limits_{u\in V}f(\mathrm{B}_{\delta_{u}}(u))\subseteq\bigcup\limits_{u\in V}\{\mathrm{B}_{1}(f(u))\,</math> | ||
+ | Ez utóbbi a folytonosság miatt, tehát ''f'' képét véges sok korlátos intervallum lefedi, azaz korlátos. | ||
− | + | 2) Belátjuk, hogy ''f'' felveszi a szuprémumát (és ugyanígy az infimumát is). Legyen ''S'' := sup(''f'') (azaz ''f'' értékkészletének legkisebb felső korlátja). Ekkor a ''g'' : ''K'' <math>\to</math> '''R''', ''x'' <math>\mapsto</math> ''S''-''f''(''x'') függvény nemnegatív értékeket vesz föl. Ha ''f'' nem venné fel a szuprémumát, akkor ''g'' pozitív lenne. Ekkor értelmezhető lenne a | |
− | + | ||
− | 2) Belátjuk, hogy ''f'' felveszi a szuprémumát (és ugyanígy az infimumát is). Legyen ''S'' := sup(''f'') (azaz ''f'' értékkészletének legkisebb felső korlátja). Ekkor a ''g'' : ''K'' <math>\to</math> '''R''', ''x'' <math>\mapsto</math> ''S''-''f''(''x'')függvény nemnegatív értékeket vesz föl. Ha ''f'' nem venné fel a szuprémumát, akkor ''g'' pozitív lenne. Ekkor értelmezhető lenne a | + | |
:<math>h:K\to\mathbf{R};x\mapsto \frac{1}{S-f(x)}</math> | :<math>h:K\to\mathbf{R};x\mapsto \frac{1}{S-f(x)}</math> | ||
− | függvény. <math>h</math> mert folytonos függvényekből van folytonosságot megőrző módon összetéve. Az 1) pont szerint korlátos is, ami azonban ellentmond annak, hogy ''S'' a szuprémum | + | függvény. <math>h</math> mert folytonos függvényekből van folytonosságot megőrző módon összetéve. Az 1) pont szerint korlátos is, ami azonban ellentmond annak, hogy ''S'' a szuprémum. Ugyanis S = sup Ran(''f'') azt jelenti, hogy minden 1/n alakú számra van <math>x_n</math> ∈ ''K'', hogy <math>|S - f(x_n)|<1/n</math>, azaz van olyan ''K''-beli <math>x_n</math> sorozat, melynek képsorozata ''h'' által a végtelenbe tart, azaz ''h'' nem korlátos. |
+ | |||
+ | '''Tétel''' (''Bolzano'') Összefüggő halmaz folytonos képe összefüggő. | ||
+ | :(Ha ''f'' ∈ C('''R'''<sup>n</sup>,'''R'''<sup>m</sup>), Dom(''f'') ívszerűen összefüggő, akkor Ran(''f'') is ívszerűen összefüggő.) | ||
+ | |||
+ | ''Bizonyítás.'' Az ívszerű összefüggőségből és a folytonos függvények kompozíciójára vonatkozó tételből. | ||
+ | |||
+ | Azt mondjuk, hogy az ''f'': '''R''' <math>\supset\!\to</math> '''R''' függvény folytonos az értelmezési tartománya egy ''u'' pontjában, ha | ||
+ | :<math>(\forall \varepsilon>0)(\exists \delta>0)(\forall x\in \mathrm{Dom}(f))(|x-u|<\delta\;\Rightarrow\;|f(x)-f(u)|<\varepsilon)</math> | ||
+ | Folytonos egy függvény, ha az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos | ||
+ | |||
+ | Legyen ''f'' egy az ''A'' ⊆ '''R''' halmazon értelmezett, '''R'''-be képező függvény. Legyen <math>\scriptstyle{u\in \overline{\mathbf{R}}}</math> az ''A'' torlódási pontja. Azt mondjuk, hogy az ''f''-nek a <math>\scriptstyle{v\in \overline{\mathbf{R}}}</math> elem '''határértéke''' az ''u''-ban, ha | ||
+ | :minden ε > 0 esetén létezik olyan δ > 0, hogy minden ''x'' ∈ ''A'' ∩ B<sub>δ</sub>(''u'')\{u}-re ''f''(''x'') ∈ B<sub>ε</sub>(''v'') | ||
+ | |||
+ | ahol természetesen a +∞ és -∞ környezetei a már említett módon értendők. | ||
+ | |||
+ | Ebben az esetben a határérték egyértelmű és jelölése: | ||
+ | :<math> | ||
+ | \lim\limits_{x\to u}f(x)=\lim\limits_{u}f=v\,</math> | ||
+ | |||
+ | Folytonosság és határérték kapcsolata | ||
+ | |||
+ | A folytonosságot, csak az értelmezési tartomány pontjaiban nézhetünk, hisz a definícióban f(u) is szerepel. Ellenben határértéket akár azon kívüli is nézhetünk (sőt!). Mégis, a két fogalom között szoros kapcsolat van: | ||
+ | |||
+ | '''1. Tétel.''' -- Folytonos függvény határértéke a helyettesítési értéke -- Legyen az ''u'' az ''f'' értelmezési tartományában. Ekkor a következők ekvivalensek egymással: | ||
+ | # ''f'' folytonos ''u''-ban | ||
+ | # ''u'' izolált pontja Dom(''f'')-nek, vagy ''u'' torlódási pontja Dom(''f'')-nek, létezik ''u''-an határértéke és lim<sub>u</sub>f = f(''u'') | ||
+ | |||
+ | '''2. Tétel.''' -- Véges helyen véges határértékű függvény folytonossá tehető -- Legyen ''u'' a Dom(''f'') véges torlódási pontja és ''v'' véges ('''R'''-beli) szám. Ekkor a következők ekvivalensek. | ||
+ | # <math>\exists\lim\limits_{u}f=v\,</math> | ||
+ | # létezik az ''f''-nek olyan <math>\scriptstyle{\overline{f}}</math> ''u''-ban folytonos kiterjeszétse (vagy módosítása), hogy | ||
+ | #:<math>\overline{f}|_{\mathrm{Dom}(f)\setminus \{u\}}=f|_{\mathrm{Dom}(f)\setminus \{u\}}</math> és <math>\overline{f}(u)=v\,</math> | ||
+ | |||
+ | '''Definíció''' Legyen ''D'' ⊆ '''R'''<sup>N</sup>, | ||
+ | f: ''D'' <math>\to</math> '''R'''<sup>M</sup>, ''A'' ∈ '''R'''<sup>M</sup>, ''u'' ∈ '''R'''<sup>N</sup> torlódási pontja ''D''-nek. Azt mondjuk, hogy az f függvény határértéke az ''u'' pontban az ''A'', ha | ||
+ | ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈''D'' x ∈ B<sub>δ</sub>(u) <math> \Rightarrow</math> B<sub>ε</sub>(A) | ||
+ | |||
+ | Az, hogy a határérték az ''u''-ban ''A'' azt jelenti, hogy a függvénynek folytonos kiterjesztése ''u''-ban az f(u) = A hozzárendelés. | ||
+ | |||
+ | Lényeges, hogy tudjuk annak jellemzését, hogy egy pontban a határérték nem létezik. Ehhez a Heine-féle határértékfogalmat használjuk: | ||
+ | |||
+ | '''Tétel.''' Legyen ''D'' ⊆ '''R'''<sup>N</sup>, | ||
+ | f: ''D'' <math>\to</math> '''R'''<sup>M</sup>, ''A'' ∈ '''R'''<sup>M</sup>, ''u'' ∈ '''R'''<sup>N</sup> torlódási pontja ''D''-nek. Ekkor az alábbi két kijelentés ekvivalens egymással: | ||
+ | # létezik <math>\lim\limits_{u} f=A</math>, | ||
+ | # <math>(\forall (a_n)\in\mathrm{Dom}(f)\setminus\{u\}^{\mathbf{Z}^+})(a_n\to u\quad\Rightarrow\quad f(a_n)\to A)</math> | ||
+ | |||
+ | Ezzel megfogalmazhatjuk annak a feltételét, hogy nem létezik a határérték: | ||
+ | |||
+ | '''Tétel.''' Legyen ''D'' ⊆ '''R'''<sup>N</sup>, | ||
+ | f: ''D'' <math>\to</math> '''R'''<sup>M</sup>, ''A'' ∈ '''R'''<sup>M</sup>, ''u'' ∈ '''R'''<sup>N</sup> torlódási pontja ''D''-nek. ''f''-nek nincs határértéke ''u''-ban, ha | ||
+ | :létezik olyan <math>(a_n)\in\mathrm{Dom}(f)\setminus\{u\}^{\mathbf{Z}^+}</math> sorozat, hogy bár <math>a_n\to u</math>, de <math>(f(a_n))</math> nem konvergens. |
A lap jelenlegi, 2015. május 24., 19:55-kori változata
Tétel – Bolzano-tétel – Intervallumon értelmezett, negatív és pozitív értékeket is felveő folytonos függvénynek van zérushelye.
a Bolzano-tételt még olymódon is szokás kimondani, hogy
- intervallumon értelmezett folytonos függvény két függvényértéke között minden értéket fölvesz
melyet Darboux-tulajdonságnak neveznek. A Bolzano-tétel lényegében azt mondja ki, hogy az intervallumon folytonos függvények Darboux-tulajdonságúak. Megjegyezzük, hogy a Darboux-tétel pedig azt mondja ki, hogy az intervallumon differenciálható függvények deriváltfüggvénye Darboux-tulajdonságú.
Tétel – Weierstrass-féle minimum-maximum-elv – Korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény felveszi abszolút minimumát és maximumát.
Az alábbiakban felhasználjuk a kompaktság fogalmát.
(Kompakt egy K halmaz, ha minden nyílt halmazrendszerből, melynek uniója lefedi K-t kiválasztható véges sok nyílt halmaz is, melyek véges uniója még mindig lefedi K-t.)
Tétel (Weierstrass) Valós értékű, kompakt halmazon folytonos függvény felveszi minimumát és maximumát.
- Azaz ha K⊆RN kompakt és f ∈ C(K,R), akkor sup(f), inf(f) ∈ Ran(f)
Bizonyítás. 1) Először belátjuk, hogy kompakt halmazon folytonos függvény korlátos. Legyen ugyanis az ε=1 és f értelmezési tartománya K. A folytonosság miatt K minden u eleméhez létezik δ(u) pozitív szám, hogy f a Bδ(u) környezeten belül mindvégig az (f(u)-1;,f(u)+1) intervallumon belül marad. Ekkor a nyílt halmazokból álló
rendszer lefedi K-t, vagyis a Heine-Borel-tétel miatt már ebből véges sok is lefedi, azaz létezik V ⊆ K véges, hogy
Ezek képei lefedik Ran(f)-et:
Ez utóbbi a folytonosság miatt, tehát f képét véges sok korlátos intervallum lefedi, azaz korlátos.
2) Belátjuk, hogy f felveszi a szuprémumát (és ugyanígy az infimumát is). Legyen S := sup(f) (azaz f értékkészletének legkisebb felső korlátja). Ekkor a g : K R, x S-f(x) függvény nemnegatív értékeket vesz föl. Ha f nem venné fel a szuprémumát, akkor g pozitív lenne. Ekkor értelmezhető lenne a
függvény. h mert folytonos függvényekből van folytonosságot megőrző módon összetéve. Az 1) pont szerint korlátos is, ami azonban ellentmond annak, hogy S a szuprémum. Ugyanis S = sup Ran(f) azt jelenti, hogy minden 1/n alakú számra van xn ∈ K, hogy | S − f(xn) | < 1 / n, azaz van olyan K-beli xn sorozat, melynek képsorozata h által a végtelenbe tart, azaz h nem korlátos.
Tétel (Bolzano) Összefüggő halmaz folytonos képe összefüggő.
- (Ha f ∈ C(Rn,Rm), Dom(f) ívszerűen összefüggő, akkor Ran(f) is ívszerűen összefüggő.)
Bizonyítás. Az ívszerű összefüggőségből és a folytonos függvények kompozíciójára vonatkozó tételből.
Azt mondjuk, hogy az f: R R függvény folytonos az értelmezési tartománya egy u pontjában, ha
Folytonos egy függvény, ha az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos
Legyen f egy az A ⊆ R halmazon értelmezett, R-be képező függvény. Legyen az A torlódási pontja. Azt mondjuk, hogy az f-nek a elem határértéke az u-ban, ha
- minden ε > 0 esetén létezik olyan δ > 0, hogy minden x ∈ A ∩ Bδ(u)\{u}-re f(x) ∈ Bε(v)
ahol természetesen a +∞ és -∞ környezetei a már említett módon értendők.
Ebben az esetben a határérték egyértelmű és jelölése:
Folytonosság és határérték kapcsolata
A folytonosságot, csak az értelmezési tartomány pontjaiban nézhetünk, hisz a definícióban f(u) is szerepel. Ellenben határértéket akár azon kívüli is nézhetünk (sőt!). Mégis, a két fogalom között szoros kapcsolat van:
1. Tétel. -- Folytonos függvény határértéke a helyettesítési értéke -- Legyen az u az f értelmezési tartományában. Ekkor a következők ekvivalensek egymással:
- f folytonos u-ban
- u izolált pontja Dom(f)-nek, vagy u torlódási pontja Dom(f)-nek, létezik u-an határértéke és limuf = f(u)
2. Tétel. -- Véges helyen véges határértékű függvény folytonossá tehető -- Legyen u a Dom(f) véges torlódási pontja és v véges (R-beli) szám. Ekkor a következők ekvivalensek.
- létezik az f-nek olyan u-ban folytonos kiterjeszétse (vagy módosítása), hogy
- és
Definíció Legyen D ⊆ RN, f: D RM, A ∈ RM, u ∈ RN torlódási pontja D-nek. Azt mondjuk, hogy az f függvény határértéke az u pontban az A, ha ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈D x ∈ Bδ(u) Bε(A)
Az, hogy a határérték az u-ban A azt jelenti, hogy a függvénynek folytonos kiterjesztése u-ban az f(u) = A hozzárendelés.
Lényeges, hogy tudjuk annak jellemzését, hogy egy pontban a határérték nem létezik. Ehhez a Heine-féle határértékfogalmat használjuk:
Tétel. Legyen D ⊆ RN, f: D RM, A ∈ RM, u ∈ RN torlódási pontja D-nek. Ekkor az alábbi két kijelentés ekvivalens egymással:
- létezik ,
Ezzel megfogalmazhatjuk annak a feltételét, hogy nem létezik a határérték:
Tétel. Legyen D ⊆ RN, f: D RM, A ∈ RM, u ∈ RN torlódási pontja D-nek. f-nek nincs határértéke u-ban, ha
- létezik olyan sorozat, hogy bár , de (f(an)) nem konvergens.