Matematikai előismeretek 7.
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Példák) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Mértani sorozat) |
||
(egy szerkesztő egy közbeeső változata nincs mutatva) | |||
4. sor: | 4. sor: | ||
:(<math>a_1</math>, <math>a_2</math>, <math>a_3</math>, <math>a_4</math>, ... ) | :(<math>a_1</math>, <math>a_2</math>, <math>a_3</math>, <math>a_4</math>, ... ) | ||
− | mértani sorozat, ha van olyan ''q'' szám, hogy | + | mértani sorozat, ha van olyan ''q'' szám, hogy a sorozat tagjai: |
− | :<math>\frac{a_2}{a_1}=\frac{a_3}{a_2}=\frac{a_4}{a_3}=\frac{a_5}{a_4}=...=q</math> | + | :<math>a_1, a_1\cdot q, a_1\cdot q^2, a_1\cdot q^3, ...</math> |
− | + | alakúak. Ilyenkor ''q''-t a mértani sorozat ''kvociensének'' nevezzük. Ha q nem nulla, akkor ezt azt is jelenti, hogy | |
+ | :<math>\frac{a_2}{a_1}=\frac{a_3}{a_2}=\frac{a_4}{a_3}=\frac{a_5}{a_4}=...=q | ||
+ | </math> | ||
+ | Ha pedig q nulla, akkor nyilván | ||
:<math>a_1</math> tetszőleges, <math>a_2=a_3=...=0</math> | :<math>a_1</math> tetszőleges, <math>a_2=a_3=...=0</math> | ||
18. sor: | 21. sor: | ||
A sorozat első ''n'' tagjának összege, azaz <math>S_n=a_1+a_2+a_3+...+a_n</math> a következőképpen számítható ki: | A sorozat első ''n'' tagjának összege, azaz <math>S_n=a_1+a_2+a_3+...+a_n</math> a következőképpen számítható ki: | ||
− | :<math>S_n=a_1\frac{q^{n}-1}{q-1}</math> | + | :<math>S_n=a_1\frac{q^{n}-1}{q-1}</math> |
+ | |||
==Példák== | ==Példák== | ||
'''1.''' Mértani sorozatot alkotnak-e az alábbi sorozatok? Ha igen, mi a kvóciensük és az első tagjuk? Ha nem, melyik három egymást követő tag hibádzik? | '''1.''' Mértani sorozatot alkotnak-e az alábbi sorozatok? Ha igen, mi a kvóciensük és az első tagjuk? Ha nem, melyik három egymást követő tag hibádzik? | ||
32. sor: | 36. sor: | ||
:j) <math>\log_4 3\,</math>, <math>\log_4 9\,</math>, <math>\log_4 81\,</math>, | :j) <math>\log_4 3\,</math>, <math>\log_4 9\,</math>, <math>\log_4 81\,</math>, | ||
:k) <math>\log_5 \frac{1}{9}</math>, <math>\log_5 9</math>, <math>\log_5 \frac{1}{9}\,</math>, <math>\log_5 9\,</math> | :k) <math>\log_5 \frac{1}{9}</math>, <math>\log_5 9</math>, <math>\log_5 \frac{1}{9}\,</math>, <math>\log_5 9\,</math> | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | ''' | + | '''2.''' Számítsuk ki az n-edik tagot és az első n tag összegét! |
:a) <math>a_1=5</math>, <math>q=-4</math>, <math>n=3</math> | :a) <math>a_1=5</math>, <math>q=-4</math>, <math>n=3</math> | ||
:b) <math>a_2=6</math>, <math>q=2</math>, <math>n=5</math> | :b) <math>a_2=6</math>, <math>q=2</math>, <math>n=5</math> | ||
50. sor: | 44. sor: | ||
:e) <math>a_1=\log_7 \frac{1}{2}</math>, <math>q=3</math>, <math>n=3</math> | :e) <math>a_1=\log_7 \frac{1}{2}</math>, <math>q=3</math>, <math>n=3</math> | ||
:f) <math>a_1=\log_2 \sqrt{2}</math>, <math>q=\log_3 \frac{1}{\sqrt[4]{3}}</math>, <math>n=4</math> | :f) <math>a_1=\log_2 \sqrt{2}</math>, <math>q=\log_3 \frac{1}{\sqrt[4]{3}}</math>, <math>n=4</math> | ||
+ | |||
+ | '''3.''' Adjuk meg a ''b'' és ''c'' számok értékét úgy, hogy az <math>a_n=b\cdot c^n</math> sorozat | ||
+ | :a) periodikus, | ||
+ | :d) csupa pozitív értékű, | ||
+ | :c) szigorúan monoton növekvő, | ||
+ | :d) szigorúan monoton csökkenő (fogyó), | ||
+ | legyen. |
A lap jelenlegi, 2016. október 13., 20:45-kori változata
- Lásd még: Matematikai előismeretek
Mértani sorozat
- (a1, a2, a3, a4, ... )
mértani sorozat, ha van olyan q szám, hogy a sorozat tagjai:
alakúak. Ilyenkor q-t a mértani sorozat kvociensének nevezzük. Ha q nem nulla, akkor ezt azt is jelenti, hogy
Ha pedig q nulla, akkor nyilván
- a1 tetszőleges, a2 = a3 = ... = 0
Ha (an) mértani sorozat, akkor
nemnegatív tagokra:
- , minden n-re, ha an − 1 is a sorozat tagja.
- , minden n-re és k-ra, ha an − k is a sorozat tagja.
Egy nemnegatív sorozat pontosan akkor mértani sorozat, ha bármely egymás követő három tagja közül a második a számtani közepe az elsőnek és a harmadiknak. Általában pedig pontosan akkor mértani, ha teljesül rá.
A sorozat első n tagjának összege, azaz Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an a következőképpen számítható ki:
Példák
1. Mértani sorozatot alkotnak-e az alábbi sorozatok? Ha igen, mi a kvóciensük és az első tagjuk? Ha nem, melyik három egymást követő tag hibádzik?
- a) 0,5; 1; 1,5
- b) 2, 4, 8, 16
- c) -2, 4, -8, 16, -32
- d) , , ,
- e) , ,
- f) , , , cos0
- g) , , ,
- h) , , , ,
- i) , , , ,
- j) , , ,
- k) , log59, ,
2. Számítsuk ki az n-edik tagot és az első n tag összegét!
- a) a1 = 5, q = − 4, n = 3
- b) a2 = 6, q = 2, n = 5
- c) a3 = 6, q = − 3, n = 4
- d) , , n = 1
- e) , q = 3, n = 3
- f) , , n = 4
3. Adjuk meg a b és c számok értékét úgy, hogy az sorozat
- a) periodikus,
- d) csupa pozitív értékű,
- c) szigorúan monoton növekvő,
- d) szigorúan monoton csökkenő (fogyó),
legyen.