Pontbeli határérték, folytonosság
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Határérték) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Példák) |
||
(egy szerkesztő 24 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
3. sor: | 3. sor: | ||
'''Definíció.''' Azt mondjuk, hogy az ''f'': '''R''' <math>\supset\!\to</math> '''R''' függvény '''folytonos''' az ''u'' ∈ Dom(''f'') pontban, ha | '''Definíció.''' Azt mondjuk, hogy az ''f'': '''R''' <math>\supset\!\to</math> '''R''' függvény '''folytonos''' az ''u'' ∈ Dom(''f'') pontban, ha | ||
:<math>\forall \varepsilon>0\;\exists \delta>0\; f(B_\delta(u))\subseteq B_\varepsilon(f(u))</math> | :<math>\forall \varepsilon>0\;\exists \delta>0\; f(B_\delta(u))\subseteq B_\varepsilon(f(u))</math> | ||
+ | jelben: <math>f\in \mathrm{C}(u)</math>. | ||
Ehhez rendkívül hasonló fogalom a határérték, de azt nem Dom(''f'') pontjaiban vizsgáljuk, hanem ehhez közeli pontokban, Dom(''f'') torlódási pontjaiban. Arra van ugyanis szükségünk, hogy matematikailag meg tudjuk fogalmazni a "közeli" fogalmat. | Ehhez rendkívül hasonló fogalom a határérték, de azt nem Dom(''f'') pontjaiban vizsgáljuk, hanem ehhez közeli pontokban, Dom(''f'') torlódási pontjaiban. Arra van ugyanis szükségünk, hogy matematikailag meg tudjuk fogalmazni a "közeli" fogalmat. | ||
11. sor: | 12. sor: | ||
: <math>\forall r>0\;(B_r(u)\setminus\{u\})\cap H\ne \emptyset</math> | : <math>\forall r>0\;(B_r(u)\setminus\{u\})\cap H\ne \emptyset</math> | ||
(ill. ekvivalens módon: (B<sub>r</sub>(''u'')\{u}) ∩ ''H'' végtelen) jelben: <math>u\in H'</math>. | (ill. ekvivalens módon: (B<sub>r</sub>(''u'')\{u}) ∩ ''H'' végtelen) jelben: <math>u\in H'</math>. | ||
− | * '''izolált pontjának''' nevezzük, ha | + | * '''izolált pontjának''' nevezzük, ha <math>u\in H</math>, de <math>u \not\in H'</math>. |
* '''belső pontjának''' nevezzük, ha | * '''belső pontjának''' nevezzük, ha | ||
:<math>\exists r>0\;B_r(u)\subseteq H</math> | :<math>\exists r>0\;B_r(u)\subseteq H</math> | ||
jelben: <math>u\in \mathrm{int}\,H</math>. | jelben: <math>u\in \mathrm{int}\,H</math>. | ||
− | * '''határpontjának''' nevezzük, ha | + | * '''határpontjának''' nevezzük, ha <math>u\in H'</math> és <math>u\in \overline{H}'</math>. |
A folytonosság definíciójából következik, hogy 1. a polinomok folytonosak, 2. izolált pontban a függvények folytonosak. | A folytonosság definíciójából következik, hogy 1. a polinomok folytonosak, 2. izolált pontban a függvények folytonosak. | ||
28. sor: | 29. sor: | ||
x^2+1, & \mathrm{ha} & x>0 | x^2+1, & \mathrm{ha} & x>0 | ||
\end{matrix}\right.</math> | \end{matrix}\right.</math> | ||
+ | |||
+ | (<math>f(x)=\mathrm{sgn}(x)\cdot(x^2+1)</math>) | ||
===Határérték=== | ===Határérték=== | ||
− | '''Definíció.''' Legyen ''f'': '''R''' <math>\supset\!\to</math> '''R''' függvény | + | '''Definíció.''' Legyen ''f'': '''R''' <math>\supset\!\to</math> '''R''' függvény, ''u'' ∈ Dom(''f'')' és ''A'' ∈ ''u'' ∈ <math>\scriptstyle{\overline{\mathbf{R}}}</math>. Ekkor |
− | :<math>\forall \varepsilon>0\;\exists \delta>0\; f(B_\delta(u))\subseteq B_\varepsilon(f(u))</math> | + | :<math>\exists \lim\limits_u f=A\;\Leftrightarrow\;\forall \varepsilon>0\;\exists \delta>0\; f(B_\delta(u)\setminus\{u\})\subseteq B_\varepsilon(A)</math> |
+ | |||
+ | '''Tétel A.''' -- Folytonos függvény határértéke a helyettesítési értéke -- | ||
+ | |||
+ | Legyen <math>f:\mathbf{R}\supset\!\to\mathbf{R}</math> és <math>u\in\mathrm{Dom}(f)</math>, ekkor a következők ekvivalensek egymással: | ||
+ | # <math>f\in \mathrm{C}(u)</math> | ||
+ | # vagy ''u'' izolált pontja Dom(''f'')-nek, vagy <math>u\in\mathrm{Dom}(f)'</math> és <math>\exists \lim\limits_u f=f(u)</math>. | ||
+ | ******************* | ||
+ | ******************* * Dom(f)' | ||
+ | * iz * lim, C * * | ||
+ | * ******************* | ||
+ | ******************* | ||
+ | Dom(f) | ||
+ | |||
+ | '''Tétel B.''' -- Véges helyen véges határértékű függvény folytonossá tehető, megszüntethető szakadás -- Legyen <math>f:\mathbf{R}\supset\!\to\mathbf{R}</math>, <math>u\in \mathbf{R}\cap \mathrm{Dom}(f)'</math> és ''A'' véges ('''R'''-beli) szám. Ekkor a következők ekvivalensek. | ||
+ | # <math>\exists\lim\limits_{u}f=A\,</math> | ||
+ | # létezik <math>\scriptstyle{\overline{f}}:\mathrm{Dom}(f)\cup\{u\}\to \mathbf{R}</math>, <math>\scriptstyle{\overline{f}}\in\mathrm{C}(u)</math>, hogy | ||
+ | #:<math>\overline{f}|_{\mathrm{Dom}(f)\setminus \{u\}}=f|_{\mathrm{Dom}(f)\setminus \{u\}}</math> és <math>\overline{f}(u)=A\,</math> | ||
+ | ===Szakadás=== | ||
+ | '''A folytonosság Heine-féle jellemzése:''' Az ''f'': '''R''' <math>\supset\!\to</math> '''R''' függvény folytonos az értelmezési tartománya egy ''u'' pontjában, ha | ||
+ | :<math>(\forall (x_n)\in\mathrm{Dom}(f)^{\mathbf{Z}^+})\;x_n\to u\;\Rightarrow\;f(x_n)\to f(u)</math> | ||
+ | |||
+ | Ebből kapjuk azt a rendkívül hasznos eszközt, amellyel a nem-folytonosságot jellemezni tudjuk: | ||
+ | |||
+ | '''Pontbeli nem-folytonosság jellemzése.''' Az ''f'': '''R''' <math>\supset\!\to</math> '''R''' függvény nem folytonos az értelmezési tartománya egy ''u'' pontjában, ha | ||
+ | :létezik olyan <math>(x_n)\in\mathrm{Dom}(f)^{\mathbf{Z}^+}</math> sorozat, hogy bár <math>x_n\to u</math>, de <math>f(x_n)\not\to f(u)</math>. | ||
+ | |||
+ | '''Definíció.''' <math>f:\mathbf{R}\supset\!\to\mathbf{R}</math>, <math>u\in \mathbf{R}\cap \mathrm{Dom}(f)'</math>. Azt mondjuk, hogy ''f''-nek szakadása van ''u''-ban, ha vagy <math>u\not\in\mathrm{Dom}(f)</math> vagy <math>f\not\in\mathrm{C}(u)</math>. | ||
+ | |||
+ | ====Példa==== | ||
+ | '''2.''' sgn nem folytonos 0-ban, | ||
+ | |||
+ | '''3.''' <math>\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1}{x^2}=+\infty</math>, <math>\not\exists\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1}{x},</math>, <math>\lim\limits_{x\to 0+}\dfrac{1}{x}=+\infty</math>, <math>\lim\limits_{x\to 0-}\dfrac{1}{x}=-\infty</math>, | ||
+ | |||
+ | '''4.''' <math>\not\exists\lim\limits_{x\to 0}\sin\left(\frac{1}{x}\right),</math> | ||
+ | |||
+ | '''5.''' <math>\lim\limits_{x\to 0}x\cdot\sin\left(\frac{1}{x}\right),</math> | ||
+ | ==Nevezetes határértékek== | ||
+ | |||
+ | :<math>\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x}=1\,</math> | ||
+ | :<math>\lim\limits_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x}=1\,</math> | ||
+ | :<math>\lim\limits_{x\to 0} \frac{\mathrm{ln}(1+x)}{x}=1\,</math> | ||
+ | :<math>\lim\limits_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}\,</math> | ||
+ | :<math>\lim\limits_{x\to +\infty}\mathrm{arc\,tg}\,x=\frac{\pi}{2}</math> | ||
+ | |||
+ | ===Példák=== | ||
+ | |||
+ | :<math>\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin(4x)}{\sin(3x)}=?\,</math> | ||
+ | |||
+ | :<math>\lim\limits_{x\to 0} \frac{e^{2x^2}-1}{x}=?\,</math> | ||
+ | |||
+ | :<math>\lim\limits_{x\to \infty}\frac{2\mathrm{arc\,tg}\,x + \pi}{2\mathrm{arc\,tg}\,3x +3\pi}</math> | ||
+ | |||
+ | ==Differenciálhatóság== | ||
+ | Legyen ''f'' valós-valós függvény, ''u'' ∈ Dom(''f'')∩Dom(''f'')'. Az ''f'' függvény differenciálható az ''u'' pontban, ha | ||
+ | |||
+ | '''1. Definíció''' -- létezik olyan ε: Dom(''f'') <math>\to</math> '''R''' függvény és olyan ''m'' ∈ '''R''' szám, hogy: | ||
+ | # minden ''x'' ∈ Dom(''f'')-re | ||
+ | #:''f''(''x'') = ''f''(''u'') + ''m''(''x'' - ''u'') + ε(''x'')(''x'' - ''u'') és | ||
+ | # ε(''u'') = 0 és ε az ''u''-ban folytonos. | ||
+ | |||
+ | Ebben az esetben az ''f'' függvény ''u''-beli deriváltja ''m'' és jele f'(''u'') | ||
+ | |||
+ | '''2. Definíció''' -- létezik és véges a következő határérték: | ||
+ | :<math>\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)-f(u)}{x-u}\quad\quad(*)</math> | ||
+ | |||
+ | Ekkor f'(''u'') maga a fenti határérték. | ||
+ | |||
+ | A két definíció ekvivalens, amit a következő egyenlőséggel lehet igazolni: | ||
+ | :<math>\varepsilon(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{f(x)-f(u)}{x-u}-A, & \mathrm{ha} & x\ne u\\ | ||
+ | \lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)-f(u)}{x-u}-A, & \mathrm{ha} & x=u\end{matrix}\right.</math> | ||
+ | ahol ''A'' az ''m''-et jelöli, ha 1)-et tudjuk és 2)-t igazoljuk és lim<sub>x <math>\to</math> u</sub> (f(x)-f(u)/(x-u))-t, ha fordított a helyzet. | ||
+ | |||
+ | Világos, hogy a (*) határérték egy úgy nevezett határozatlan kifejezés, hisz mindig 0/0 alakú. Ez a a szelők meredekségének határértéke, | ||
+ | |||
+ | Az első definíció is szemléletes. Itt arról van szó, hogy a függvény felírható ''u'' körül egy lineárisan eltűnő és egy magasabb rendben eltűnő tag összegeként: | ||
+ | :<math>\ell(x)=f(u)+m(x-u)</math>, a lineáris és <math>\varepsilon(x)(x-u)</math> a nemlineáris | ||
+ | '''Példa.''' Igazoljuk, hogy | ||
+ | :<math>f(x)=e^{\sin x}\,</math> | ||
+ | differenciálható a 0-ban és deriváltja 1. | ||
+ | |||
+ | ''Megoldás.'' Definíció szerint igazoljuk, azaz a pontbeli derivált (*) képletével. Legyen x≠0. Ekkor | ||
+ | :<math> | ||
+ | \frac{e^{\sin x}-e^{\sin 0}}{x-0}=\frac{e^{\sin x}-1}{x}=\frac{e^{\sin x}-1}{\sin x}\frac{x}{\sin x}</math> | ||
+ | Ha most ''x'' <math>\to</math> 0, akkor az utolsó egyenlőség után az első tényező és a második tényező is az 1-hez tart, minthogy ezek nevezetes határértékek. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''Példa.''' Igazoljuk, hogy | ||
+ | :<math>f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{1-\cos x }{x}-\frac{1}{4}\sin x, & \mathrm{ha} & x\ne 0\\ 0, & \mathrm{ha} & x=0\end{matrix}\right.</math> | ||
+ | differenciálható a 0-ban és deriváltja 1/4. | ||
+ | |||
+ | ''Megoldás.'' Definíció szerint igazoljuk, azaz a pontbeli derivált (*) képletével. Legyen x≠0. Ekkor | ||
+ | :<math> | ||
+ | \frac{\frac{1-\cos x }{x}-\frac{1}{4}\sin x -0}{x-0}=\frac{1-\cos x}{x^2}-\frac{\frac{1}{4}\sin x}{x}</math> | ||
+ | Ha most ''x'' <math>\to</math> 0, akkor az utolsó egyenlőség után az első tényező és a második tag, mint nevezetes határérték az 1/2-hez tart, míg a második tag az 1/4-hez. Emiatt a határérték 1/4. |
A lap jelenlegi, 2020. október 27., 23:52-kori változata
Tartalomjegyzék |
Folytonosság és határérték
Definíció. Azt mondjuk, hogy az f: R R függvény folytonos az u ∈ Dom(f) pontban, ha
jelben: .
Ehhez rendkívül hasonló fogalom a határérték, de azt nem Dom(f) pontjaiban vizsgáljuk, hanem ehhez közeli pontokban, Dom(f) torlódási pontjaiban. Arra van ugyanis szükségünk, hogy matematikailag meg tudjuk fogalmazni a "közeli" fogalmat.
Néhány topologikus fogalom
Ha H ⊆ R valós számhalmaz, akkor az u ∈ pontot az H
- torlódási pontjának nevezzük, ha
(ill. ekvivalens módon: (Br(u)\{u}) ∩ H végtelen) jelben: .
- izolált pontjának nevezzük, ha , de .
- belső pontjának nevezzük, ha
jelben: .
- határpontjának nevezzük, ha és .
A folytonosság definíciójából következik, hogy 1. a polinomok folytonosak, 2. izolált pontban a függvények folytonosak.
Példa
1. a) Mik az izolált, torlódási, belső pontjai?
1. b) Folytonos-e az inverze?
()
Határérték
Definíció. Legyen f: R R függvény, u ∈ Dom(f)' és A ∈ u ∈ . Ekkor
Tétel A. -- Folytonos függvény határértéke a helyettesítési értéke --
Legyen és , ekkor a következők ekvivalensek egymással:
- vagy u izolált pontja Dom(f)-nek, vagy és .
******************* ******************* * Dom(f)' * iz * lim, C * * * ******************* ******************* Dom(f)
Tétel B. -- Véges helyen véges határértékű függvény folytonossá tehető, megszüntethető szakadás -- Legyen , és A véges (R-beli) szám. Ekkor a következők ekvivalensek.
- létezik , , hogy
- és
Szakadás
A folytonosság Heine-féle jellemzése: Az f: R R függvény folytonos az értelmezési tartománya egy u pontjában, ha
Ebből kapjuk azt a rendkívül hasznos eszközt, amellyel a nem-folytonosságot jellemezni tudjuk:
Pontbeli nem-folytonosság jellemzése. Az f: R R függvény nem folytonos az értelmezési tartománya egy u pontjában, ha
- létezik olyan sorozat, hogy bár , de .
Definíció. , . Azt mondjuk, hogy f-nek szakadása van u-ban, ha vagy vagy .
Példa
2. sgn nem folytonos 0-ban,
3. , , , ,
4.
5.
Nevezetes határértékek
Példák
Differenciálhatóság
Legyen f valós-valós függvény, u ∈ Dom(f)∩Dom(f)'. Az f függvény differenciálható az u pontban, ha
1. Definíció -- létezik olyan ε: Dom(f) R függvény és olyan m ∈ R szám, hogy:
- minden x ∈ Dom(f)-re
- f(x) = f(u) + m(x - u) + ε(x)(x - u) és
- ε(u) = 0 és ε az u-ban folytonos.
Ebben az esetben az f függvény u-beli deriváltja m és jele f'(u)
2. Definíció -- létezik és véges a következő határérték:
Ekkor f'(u) maga a fenti határérték.
A két definíció ekvivalens, amit a következő egyenlőséggel lehet igazolni:
ahol A az m-et jelöli, ha 1)-et tudjuk és 2)-t igazoljuk és limx u (f(x)-f(u)/(x-u))-t, ha fordított a helyzet.
Világos, hogy a (*) határérték egy úgy nevezett határozatlan kifejezés, hisz mindig 0/0 alakú. Ez a a szelők meredekségének határértéke,
Az első definíció is szemléletes. Itt arról van szó, hogy a függvény felírható u körül egy lineárisan eltűnő és egy magasabb rendben eltűnő tag összegeként:
- , a lineáris és a nemlineáris
Példa. Igazoljuk, hogy
differenciálható a 0-ban és deriváltja 1.
Megoldás. Definíció szerint igazoljuk, azaz a pontbeli derivált (*) képletével. Legyen x≠0. Ekkor
Ha most x 0, akkor az utolsó egyenlőség után az első tényező és a második tényező is az 1-hez tart, minthogy ezek nevezetes határértékek.
Példa. Igazoljuk, hogy
differenciálható a 0-ban és deriváltja 1/4.
Megoldás. Definíció szerint igazoljuk, azaz a pontbeli derivált (*) képletével. Legyen x≠0. Ekkor
Ha most x 0, akkor az utolsó egyenlőség után az első tényező és a második tag, mint nevezetes határérték az 1/2-hez tart, míg a második tag az 1/4-hez. Emiatt a határérték 1/4.