Matematika A1 2024/1. hét
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Geometriai tulajdonság) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Algebrai tulajdonságok) |
||
(egy szerkesztő 2 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
27. sor: | 27. sor: | ||
# '''a''' || '''b''' és | # '''a''' || '''b''' és | ||
# <math>\mathbf{a}\uparrow\uparrow\mathbf{b}</math> | # <math>\mathbf{a}\uparrow\uparrow\mathbf{b}</math> | ||
+ | |||
+ | A vektoregyenlőség tulajdonságai: | ||
+ | |||
+ | : '''a''' = '''a''' (reflexív). | ||
+ | |||
+ | : Ha '''a''' = '''b''' és '''b''' = '''c''', akkor '''a''' = '''c''' (tranzitív). | ||
+ | |||
+ | : Ha '''a''' = '''b''', akkor '''b''' = '''a''' (szimmetrikus). | ||
+ | |||
+ | Ezeket a tulajdonságokat később még szemügyre vesszük alaposabban is. Úgy fogjuk hívni, hogy ''ekvivalencia reláció.'' Ha az összesség egy elméleti számítástudományban használt típus és az ekvivalencia reláció ezek felett van, akkor ezt a struktúrát, hogy ''setoid.'' | ||
==Vektorműveletek== | ==Vektorműveletek== | ||
66. sor: | 76. sor: | ||
λ'''a''' az '''a''' vektor λ-szorosára nyújtott vagy zsugorított verziója (nyuzsorítás). Ha λ<0, akkor az eredetihez képest az irányítása megfordul. | λ'''a''' az '''a''' vektor λ-szorosára nyújtott vagy zsugorított verziója (nyuzsorítás). Ha λ<0, akkor az eredetihez képest az irányítása megfordul. | ||
− | ===Algebrai tulajdonságok=== | + | ====Algebrai tulajdonságok==== |
(Széttagolja a valós és a vektorösszeget, felcserélhető a valós szorzással, az 1-gyel való szorzás azonos az identitással.) | (Széttagolja a valós és a vektorösszeget, felcserélhető a valós szorzással, az 1-gyel való szorzás azonos az identitással.) | ||
− | :λ.(μ'''a''') = (λμ).''a''' | + | :λ.(μ'''a''') = (λμ).'''a''' |
:λ.('''a''' + '''b''') = λ.'''a''' + λ.'''b''' | :λ.('''a''' + '''b''') = λ.'''a''' + λ.'''b''' |
A lap jelenlegi, 2024. február 26., 18:04-kori változata
Tartalomjegyzék |
Vektorok
Irányított egyenes szakaszok között definiálunk egy "egyenlőséget", lényegben azzal, hogy az egyenlő nagyságú, egymással párhuzamos, azonos irányítású irányított egyenes szakaszokat azonosnak vesszük. Ha összegyűjtjük az egy halmazba az összes egymással egyenlőnek tekintett irányított egyenes szakaszt, akkor ezt a halmazt vektornak, elemeit a vektor egy reprezentánsának nevezzük. Jelben: ha a vektor, akkor
jelöli, hogy .
Az a vektor hossza
- |a|
nem más, mint mely bármely reprezentánsának hossza.
Nullvektor az aminek a hossza 0 (kezdőpontja és végpontja azonos).
Két vektor párhuzamos:
- a || b
ha van egy-egy reprezentánsuk, amelyek egyenesei párhuzamosak egymással.
Két párhuzamos vektor azonos állású vagy irányítású vagy egyirányúak, jelben:
ha a reprezentánsaik azonos irányításúak; a 0 mindennel azonos irányú. Ha ezek a párhuzamos vektorok olyanok, hogy nem egyirányúak, akkor ennek jelölése:
Tehát:
Definíció. a = b, akkor és csak akkor, ha
- |a| = |b| és
- a || b és
A vektoregyenlőség tulajdonságai:
- a = a (reflexív).
- Ha a = b és b = c, akkor a = c (tranzitív).
- Ha a = b, akkor b = a (szimmetrikus).
Ezeket a tulajdonságokat később még szemügyre vesszük alaposabban is. Úgy fogjuk hívni, hogy ekvivalencia reláció. Ha az összesség egy elméleti számítástudományban használt típus és az ekvivalencia reláció ezek felett van, akkor ezt a struktúrát, hogy setoid.
Vektorműveletek
Összeadás
Az összeadást a geometriai tulajdonsága, azaz a paralelogramma szabály definiálja.
Legyen a és b két vektor és , rendre a két vektor azonos kezdőpontból felmért reprezentánsa, legyen továbbá PACB paralelogramma (P-vel szemközt: C). Ekkor a + b vektor definíció szerint az a c vektor, melyet reprezentál.
Az a ellentett vektora az a -a vektor, melyre |-a| = |a|, .
Kivonás: a - b =def a + (-b)
Több vektor összeadása mehet úgy nevezett vektorfűzéssel, amikor az egyik végpontjából mérjük fel a következő vektort...
(A vektorösszeadás olyan tulajdonságú, mint a valós számok összeadása: kommutatív, asszociatív, 0 -t bármihez adva, amaz nem változik, ellentettjét a vektorhoz adva 0-t kapunk.) Tehát:
Az összeadás algebrai tulajdonságai
- (a + b) + c = a + (b + c)
- a + 0 = 0 + a = a
- a + (-a) = (-a) + a = 0
- a + b = b + a
Számmal való szorzás
Vektor számmal való szorzását a vektoregyenlőség esetei szerint definiáljuk.
Legyen a vektor, λ valós szám. Ekkor
- ,
- ,
- , ha λ > 0 és , ha λ < 0
Geometriai tulajdonság
λa az a vektor λ-szorosára nyújtott vagy zsugorított verziója (nyuzsorítás). Ha λ<0, akkor az eredetihez képest az irányítása megfordul.
Algebrai tulajdonságok
(Széttagolja a valós és a vektorösszeget, felcserélhető a valós szorzással, az 1-gyel való szorzás azonos az identitással.)
- λ.(μa) = (λμ).a
- λ.(a + b) = λ.a + λ.b
- (λ+μ).a = λ.a + μ.a
- 1.a = a
1. Feladat. ABCDEF egy szabályos hatszög. Fejezzük ki az a = és b = vektorok összegével/számszorosával a
vektorokat!
Skaláris szorzás
Az a és b vektorok skaláris szorzata az
szám.
(Széttagolja az összeget, felcserélhető a számmal való szorzással (mindkét változójában)).
e egységvektor, ha |e| = 1.
Geometriai tulajdonsága.
- Ha e egységvektor, akkor ve a v-nek az e egyenesére eső merőleges vetületének előjeles hossza.
- a, b nem nullvektorok, akkor
2. Feladat. Legyen ABCD egy téglalap, melynek AB oldala 5 egység, AD oldala 4 egység. Legyen a az irányú egységvektor, és b az irányú egységvektor. Legyen továbbá E az AD felezéspontja, G az AB B-hez közelebbi ötödölőpontja és az egyel beljebbi az F. Igazolja, hogy GE merőleges FC-re!
Vektoriális szorzás
Az a és b térvektorok vektoriális szorzata az a c = a × b vektor, melyre
- merőleges az a és b által kifeszített síkra,
- irányítása olyan, hogy (a, b, a × b) ilyen sorrendben jobbrendszert alkot, azaz a jobb kéz hüvelyk, mutató és középső ujját kifeszíthetjük "fájdalommentesen" úgy, hogy rendre a a, b, a × b vektorok irányát kapjuk.
Széttagolja az összeget, felcserélhető a számmal való szorzással, de nem asszociatív és nem kommutatív, bár antikommutatív, azaz a szorzat ellenkezőjébe megy át a két tényező felcserélésével kapott szorzat.
Geometriai tulajdonsága.
- |a × b| az a és b által kifeszített paralelogramma területe.
3. Feladat. Legyen ABC háromszög, S a súlypontja, F az AB felezéspontja. Határozzuk meg, hogy az ABC háromszög területének hanyadrésze az AFS háromszog területe.
vagy
Igazoljuk, hogy az egyenlőszárú háromszög magassága felezi az alapot!
4. Feladat. Igazoljuk, hogy
Házi feladatok
- Igazolja, hogy az paralelogramma átlóinak felezőpontjai egybeesnek!
- Igaz-e:
- ha ab = 0, akkor a és b közül legalább az egyik nulla.
- ha ab = ac, és a ≠ 0, akkor b = c
- ha ab = ac, akkor vagy b - c || a, vagy b - c a
- Igaz-e:
- ha a×b = 0, akkor a és b közül legalább az egyik nulla.
- ha a×b = a×c, és a ≠ 0, akkor b = c
- ha a + b + c = 0, akkor a×b = b×c = c×a
-
- Igazolja a Thalész-tételt (azaz, hogy ha egy szakasz fölé, mint átmérő fölé kört rajzolunk, akkor a kör bármely (szakaszon kívüli) pontjából a szakasz két végpontja derékszög alatt látszik)!
- Igazolja a koszinusztételt, azaz hogy az a,b,c oldalú háromszögben (γ a c-hez tartozó szög)
2. gyakorlat |