Matematika A3a 2008/10. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Megszüntethető szingularitás) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
(egy szerkesztő 17 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
1. sor: | 1. sor: | ||
''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>'' | ''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>'' | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
==Laurent-sor== | ==Laurent-sor== | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
===A Laurent-sor együtthatói=== | ===A Laurent-sor együtthatói=== | ||
118. sor: | 58. sor: | ||
===A végtelen pont körüli Laurent-sor=== | ===A végtelen pont körüli Laurent-sor=== | ||
Legyen az ''f'': '''C''' <math>\supset\!\to</math> '''C''' függvény az ∞ egy környezetében mindenhol reguláris. | Legyen az ''f'': '''C''' <math>\supset\!\to</math> '''C''' függvény az ∞ egy környezetében mindenhol reguláris. | ||
− | * Regulárisnak nevezzük ''f'' | + | * Regulárisnak nevezzük az ''f''(''z'') függvényt a ∞-ben, ha az F(1/ζ) függvény (azaz a <math>\circ</math>(1/id) függvény) reguláris 0-ban, azaz ott megszüntethető szakadása van. |
* Az ''f'' ∞-beli Laurent-során a ∑<math>\circ</math>(1/id) sort értjük, ahol ∑ az f<math>\circ</math>(1/id) függvény 0-beli Laurent-sora. | * Az ''f'' ∞-beli Laurent-során a ∑<math>\circ</math>(1/id) sort értjük, ahol ∑ az f<math>\circ</math>(1/id) függvény 0-beli Laurent-sora. | ||
* ∑ főrésze a ∑<math>\circ</math>(1/id)-ban a reguláris lesz és fordítva, azaz | * ∑ főrésze a ∑<math>\circ</math>(1/id)-ban a reguláris lesz és fordítva, azaz | ||
126. sor: | 66. sor: | ||
'''Példa.''' Írjuk fel az | '''Példa.''' Írjuk fel az | ||
:<math>f(z)=z^2 \,</math> | :<math>f(z)=z^2 \,</math> | ||
− | + | függvény ∞ körüli Laurent-sorát! | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | ''Megoldás.'' | + | ''Megoldás.'' |
− | :<math>f\left(\frac{1}{ | + | :<math>F(\zeta)=f\left(\frac{1}{\zeta}\right)=\frac{1}{\zeta^2}\,</math> |
− | Ez csak főrészt tartalmazó 0 < | | + | Ez csak főrészt tartalmazó 0 < |ζ| < +∞ tartományon konvergens sor, azaz előállítja f<math>\circ</math>(1/id)-t. ''f'' ugyanúgy viselkedik ∞-ben, mint f<math>\circ</math>(1/id) a nullában, így ''f'-nek a ∞-ben csak főrészt tartalmaz és a sora maga az ''f''. Reziduuma 0. |
− | + | '''Példa.''' Írjuk fel az | |
− | :<math>f\left(\frac{1}{ | + | :<math>f(z)=e^{\frac{1}{z}}</math> |
+ | függvény ∞ körüli Laurent-sorát! | ||
+ | |||
+ | ''Megoldás.'' | ||
+ | :<math>F(\zeta)=f\left(\frac{1}{\zeta}\right)=e^{\zeta}</math> | ||
Ennek sora: | Ennek sora: | ||
− | :<math>e^{ | + | :<math>e^{\zeta}=1+\zeta+...</math> |
− | és a | | + | és a |ζ| < +∞ tartományon konvergens és csak reguláris része van. Tehát vissza transzformált sor: |
:<math>f(z)=1+\frac{1}{z}+...</math> | :<math>f(z)=1+\frac{1}{z}+...</math> | ||
− | mindenhol konvergens és szintén csak reguláris része van. Sőt, ekkor azt mondjuk, hogy f az ∞-ben reguláris. | + | mindenhol konvergens és szintén csak reguláris része van. Sőt, ekkor azt mondjuk, hogy f az ∞-ben reguláris. Reziduuma -1 |
− | + | '''Példa.''' Írjuk fel az | |
− | :<math>f\left(\frac{1}{ | + | :<math>f(z)=\frac{1}{1-\frac{1}{z}}</math> |
− | Ez a B(0,1)-en konvergens és csak reguláris tagokat tartalmaz. Így a ∞ | + | függvény ∞ körüli Laurent-sorát! |
+ | |||
+ | ''Megoldás.'' | ||
+ | :<math>F(\zeta)=f\left(\frac{1}{\zeta}\right)=\frac{1}{1-\zeta}</math> | ||
+ | Ez a B(0,1)-en konvergens és csak reguláris tagokat tartalmaz. Így a ∞ körüli sor is csak azt fog tartalmazni és | ||
:<math>f(z)=\frac{1}{1-\frac{1}{z}}=1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}+...</math> | :<math>f(z)=\frac{1}{1-\frac{1}{z}}=1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}+...</math> | ||
− | konvergens lesz a |z| > 1-en. | + | konvergens lesz a |z| > 1-en. Reziduuma 1. |
+ | |||
==Sziguláris helyek és osztályozásuk, reziduumszámítás== | ==Sziguláris helyek és osztályozásuk, reziduumszámítás== | ||
162. sor: | 108. sor: | ||
===Reziduum=== | ===Reziduum=== | ||
A <math>\scriptstyle{\dot{\mathrm{B}}_\delta(z_0)}</math>-n reguláris függvény sorbafejthető <math>z_0</math> körül. Éppen ezért, minthogy a Laurent-sor c<sub>-1</sub> együtthatója maga a reziduum, ezért a szinguláris helyek körüli sorfejtésből mindig adódik a reziduum is. Értelmezzük a ∞ körüli reziduumot is, az a -c<sub>-1</sub> együttható. | A <math>\scriptstyle{\dot{\mathrm{B}}_\delta(z_0)}</math>-n reguláris függvény sorbafejthető <math>z_0</math> körül. Éppen ezért, minthogy a Laurent-sor c<sub>-1</sub> együtthatója maga a reziduum, ezért a szinguláris helyek körüli sorfejtésből mindig adódik a reziduum is. Értelmezzük a ∞ körüli reziduumot is, az a -c<sub>-1</sub> együttható. | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
===Megszüntethető szingularitás=== | ===Megszüntethető szingularitás=== | ||
196. sor: | 121. sor: | ||
:<math>|c_{-k}|=\left|\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{K_r}f(z)(z-z_0)^{k-1}\mathrm{d}z\right|\leq\frac{1}{2\pi}\oint\limits_{K_r}|f(z)||(z-z_0)^{k-1}|\mathrm{d}z=\frac{1}{2\pi}K^2\cdot 2\pi r\to 0</math> | :<math>|c_{-k}|=\left|\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{K_r}f(z)(z-z_0)^{k-1}\mathrm{d}z\right|\leq\frac{1}{2\pi}\oint\limits_{K_r}|f(z)||(z-z_0)^{k-1}|\mathrm{d}z=\frac{1}{2\pi}K^2\cdot 2\pi r\to 0</math> | ||
− | hiszen f korlátjához létezik olyan kis környzet, ahol a nullához tartó második tényező K-nál kisebb. Ha pedig r-rel tartunk a 0-hoz, az együttható eltűnik. | + | hiszen f korlátjához létezik olyan kis környzet, ahol a nullához tartó második tényező K-nál kisebb (vagy 1, és akkor a képletben és a végeredméybencsak K szerepel). Ha pedig r-rel tartunk a 0-hoz, az együttható eltűnik. |
Persze ekkor az f függvény egy reguláris függvénnyel egyenlő a <math> z_0</math>-on kívül, a <math> z_0</math>-ban pedig f folytonos. | Persze ekkor az f függvény egy reguláris függvénnyel egyenlő a <math> z_0</math>-on kívül, a <math> z_0</math>-ban pedig f folytonos. | ||
251. sor: | 176. sor: | ||
:<math>f(z)=\frac{\cos z}{z^{1821}}</math> | :<math>f(z)=\frac{\cos z}{z^{1821}}</math> | ||
függvény pólusszingularitásának foka 1821. | függvény pólusszingularitásának foka 1821. | ||
+ | |||
+ | Res<sub>0</sub>f=<math>\frac{\cos^{(1820)}(0)}{1820!}=\frac{(-1)^{1820/2+1}}{1820!}=\frac{1}{1820!}</math> | ||
'''Példa.''' Milyen szingularitása van az | '''Példa.''' Milyen szingularitása van az | ||
279. sor: | 206. sor: | ||
ahol az utolsó tényező reguláris. | ahol az utolsó tényező reguláris. | ||
− | '''Példa.''' | + | A reziduumok számításánál nagyon hasznos a következő lemma (mely könnyen általánosítható olyan esetekre, amikor a derivált is eltűnik). |
+ | |||
+ | '''Állítás.''' Ha az ''f'' függvény két reguláris hányadosa | ||
+ | :<math>f(z)=\frac{g(z)}{h(z)}</math> | ||
+ | és a <math> z_0</math>-ban izolált szingularitása van úgy, hogy h(<math>z_0</math>)=0, de h'(<math>z_0</math>)≠ 0, akkor az ekörüli reziduum: | ||
+ | :<math>\mathrm{Res}_{z_0}f=\frac{g(z_0)}{h'(z_0)}</math> | ||
+ | |||
+ | ''Ugyanis,'' vegyük h <math>z_0</math> körüli Taylor-sorát: | ||
+ | :<math>\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{h^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n\,</math> | ||
+ | Ebből kiemelhetünk <math>z-z_0</math>-t: | ||
+ | |||
+ | :<math>f(z)=\frac{g(z)}{(z-z_0)\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{h^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n}</math> | ||
+ | Használjuk a reziduumtételt és a Cauchy-formulát a residuum kiszámítására: | ||
+ | |||
+ | :<math>2\pi i\cdot \mathrm{Res}_{z_0}=\oint\limits_{G} f(z)\mathrm{d}z=\oint\limits_G\frac{ \frac{g(z)}{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{h^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n} }{(z-z_0)}\mathrm{d}z=</math> | ||
+ | |||
+ | :<math>=2\pi i\cdot\left.\frac{g(z)}{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{h^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^{n-1}}\right|_{z_0}=2\pi i\cdot\frac{g(z_0)}{h'(z_0)}</math> | ||
+ | |||
+ | alkalmas G görbére. | ||
+ | |||
+ | Magasabbrendű pólusszingularitások reziduumának kiszámítására a következő formula érvényes: | ||
+ | |||
+ | '''Tétel.''' Ha ''f''-nek k-adrendű pólusa van <math>z_0</math>-ban, akkor | ||
+ | :<math> | ||
+ | \mathrm{Res}_{z_0}f=\frac{1}{(k-1)!}\lim\limits_{z\to z_0}((z-z_0)^k f(z))^{(k-1)} | ||
+ | </math> | ||
+ | Ezt a formulát csak abban az esetben bizonyítjuk, amikor <math>z_0</math> véges. Ebben az esetben a fenti határérték, maga a helyettesítési érték, hisz reguláris függvény analitikus. Legyen | ||
+ | :<math>\varphi(z)=(z-z_0)^k f(z)\,</math> | ||
+ | Tudjuk, hogy f Laurent-sorában -k-ig vannak irreguláris tagok: | ||
+ | :<math>f(z)=\frac{c_{-k}}{(z-z_0)^k}+...+\frac{c_{-1}}{z-z_0} +c_0+c_1(z-z_0)+...\,</math> | ||
+ | ezért ϕ már egy Taylor sor, és világos, hogy a c<sub>-1</sub> tagot a Taylor-sora k-1-edik tagjának együtthatójából számíthatjuk ki: | ||
+ | :<math>\varphi(z)=(z-z_0)^k f(z)=c_{-k}+...+c_{-1}(z-z_0)^{k-1}+c_0(z-z_0)^k+c_1(z-z_0)^{k+1}+...\,</math> | ||
+ | azaz | ||
+ | :<math> | ||
+ | \mathrm{Res}_{z_0}f=\frac{1}{(k-1)!}(\varphi)^{(k-1)}(z_0) | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''Példa.''' Milyen szingularitása van az alábbi függvénynek a nevező zérushelyein? Mennyi a reziduuma? | ||
+ | |||
:<math>\frac{\cos(3z)}{\sin^2(5z)}</math> | :<math>\frac{\cos(3z)}{\sin^2(5z)}</math> | ||
− | ''Megoldás.'' Másodrendű szing a zérushelyeken. Ugyanis, a zérushelyek | + | ''Megoldás.'' Másodrendű szing. a zérushelyeken. Ugyanis, a zérushelyek |
:<math>z_l=\frac{\pi}{5} l | :<math>z_l=\frac{\pi}{5} l | ||
</math> | </math> | ||
és ezek másodrendűek, mert: | és ezek másodrendűek, mert: | ||
:<math>(\sin^2(5z))'|_{z_l}=10\sin(5z)\cos(5z)|_{z_l}=0</math> | :<math>(\sin^2(5z))'|_{z_l}=10\sin(5z)\cos(5z)|_{z_l}=0</math> | ||
− | :<math>(\sin^2(5z))''|_{z_l}=(10\sin(5z)\cos(5z))'|_{z_l}=50\cos(10z)|_{z_l}=50\cos(2\pi l)= | + | :<math>(\sin^2(5z))''|_{z_l}=(10\sin(5z)\cos(5z))'|_{z_l}=50\cos(10z)|_{z_l}=50\cos(2\pi l)=50\ne 0</math> |
+ | :<math>\mathrm{Res}_0f=\left.\left(z^2\frac{\cos(3z)}{\sin^2(5z)}\right)'\right|_0=</math> | ||
+ | Kicsit bonyi és a határérték számítása prolémát okoz. | ||
− | + | Érdemes inkább a deriváltra vonatkozó Cauchy-formulával: | |
− | + | ||
+ | ''1.'' | ||
+ | :<math>\mathrm{Res}_0f=\frac{1}{2\pi i}\oint\frac{\frac{1}{25}\cos 3z\frac{25 z^2}{\sin^2(5z)}}{z^2}=\frac{2\pi i}{2\pi i}\left.\left(\frac{1}{25}\cos 3z\frac{25 z^2}{\sin^2(5z)}\right)'\right|_{z=0}</math> | ||
+ | Ha tudjuk a kardinálszinusz négyzetének, reciprokának deriváltját (0), akkor ezt ki tudjuk számolni: | ||
+ | :<math> =\frac{1}{25}3\sin(3\cdot 0)\cdot 1+\frac{1}{25}\cdot 0=0\,</math> | ||
+ | |||
+ | ''2.'' Másként, egy általános módszert is mutatunk. | ||
+ | Másodrendű pólussal van dolgunk: | ||
+ | :<math>f(z)=\frac{c_{-2}}{z^2}+\frac{c_{-1}}{z}+\rho(z)</math> | ||
+ | ahol ρ reguláris. | ||
+ | :<math>\cos(3z)=1-\frac{9}{2}z^2+\frac{3^4}{4!}z^4+...</math> | ||
+ | :<math>\sin^2(5z)=\sin(5z)\times\sin(5z)=(5z-\frac{5^3}{3!}z^3+...)\times (5z-\frac{5^3}{3!}z^3+...)=25z^2-\frac{5^4}{3}z^4+...</math> | ||
+ | Ekkor: | ||
+ | :<math>\cos(3z)=f(z)\sin^2(5z)\, | ||
+ | </math> | ||
+ | :<math>1-\frac{9}{2}z^2+\frac{3^4}{4!}z^4+...=(\frac{c_{-2}}{z^2}+\frac{c_{-1}}{z}+\rho(z))\times(25z^2-\frac{5^4}{3}z^4+...)=</math> | ||
+ | :<math>=25c_{-2}-\frac{5^4}{3}c_{-2}z^2+25c_{-1}z+25c_0z^2+...=25c_{-2}+25c_{-1}z+(-\frac{5^4}{3}c_{-2}+25c_0)z^2+...</math> | ||
+ | |||
+ | S mivel az cos(3.) sorában nincs esőfokú tag, ezért az eredménysorban sem lehet, azaz 25c<sub>-1</sub> = 0, azaz a reziduum 0. | ||
+ | |||
+ | ==Gyakorlás== | ||
+ | |||
+ | '''Példa.''' Legyen | ||
+ | :<math>f(z)=\frac{z^3}{(z^2+1)(z-1)}\,</math> | ||
+ | Mennyi a | ||
+ | :<math>\oint\limits_{|z|=2}f(z)\mathrm{d}z</math> | ||
+ | integrál? | ||
+ | |||
+ | ''1. Megoldás.'' Kiszámítjuk a ∞-beli reziduumot. A ζ = 1/''z'' helyettesítést alkalmazva fejtjük sorba a ζ=0 körül: | ||
+ | :<math>F(\zeta)=f(\frac{1}{\zeta})=\frac{\frac{1}{\zeta^3}}{(\frac{1}{\zeta^2}+1)(\frac{1}{\zeta}-1)}=\frac{1}{1-\zeta+\zeta^2-\zeta^3}</math> | ||
+ | Ezt a 0-ban Taylor-sorba fejthetjük: | ||
+ | :<math>F(\zeta)=\sum\limits_{n=0}^\infty(\zeta-\zeta^2+\zeta^3)^n=1+\zeta-\zeta^2+\zeta^3+(...)^2+...</math> | ||
+ | Visszatranszformálva: | ||
+ | :<math>f(z)=1+\frac{1}{z}+...\,</math> | ||
+ | azaz a f valóban reguláris az ∞-ben és reziduuma -1. Emiatt az integrál +2πi, ugyanis | ||
+ | :<math>\mathrm{Res}_1f+ \mathrm{Res}_if+ \mathrm{Res}_{-i}f+ \mathrm{Res}_\infty f=0\,</math> | ||
+ | így | ||
+ | :<math>\mathrm{Res}_1f+ \mathrm{Res}_if+ \mathrm{Res}_{-i}f=- \mathrm{Res}_\infty f=-(-1)\,</math> | ||
+ | |||
+ | ''2. Megoldás.'' Egyenkint, Cauchy-formulával. | ||
+ | :<math>\oint\limits_{|z-1|=1}\frac{\frac{z^3}{z^2+1}}{z-1}\mathrm{d}z+\oint\limits_{|z-i|=1}\frac{\frac{z^3}{(z+i)(z-1)}}{z-i}\mathrm{d}z+\oint\limits_{|z+i|=1}\frac{\frac{z^3}{(z-i)(z-1)}}{z+i}\mathrm{d}z=</math> | ||
+ | :<math>=2\pi i\left.\frac{z^3}{z^2+1}\right|_{1}+2\pi i\left.\frac{z^3}{(z+i)(z-1)}\right|_{i}+2\pi i\left.\frac{z^3}{(z-i)(z-1)}\right|_{-i}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}(i+1)+\frac{1}{4}(1-i)=1</math> | ||
+ | |||
+ | '''Példa.''' Jellemezze a szinguláris helyeket! | ||
+ | :<math>f(z)=\frac{1}{1-e^{\frac{1}{z^2}}}</math> | ||
+ | |||
+ | ''Megoldás.'' A 0 és az ∞ szinguláris helyek, továbbá a nevező zérushelyei: | ||
+ | :<math>z^2_l=\frac{1}{l2\pi i}\,</math> | ||
+ | Mivel ennek a sorozatnak a 0 torlódási pontja, ezért a 0 nem izolált szinguláris hely. (Tehát a Laurent-sorra alapozott tételeink rá nem használhatók. Ennek ellenére elvileg megvizsgálható, hogy van-e ott határérték vagy sem, de nem a sajátos komplex eszközökkel. Ekkor természetesen azt kapjuk, hogy nincs határértéke (még végtelen sem), de ebből nem tudunk a lényeges izolált szingularitások tulajdonságaira következtetni!) | ||
+ | A véges izolált szinguláris pontokban | ||
[[Kategória:Matematika A3]] | [[Kategória:Matematika A3]] |
A lap jelenlegi, 2013. október 23., 07:51-kori változata
Tartalomjegyzék |
Laurent-sor
A Laurent-sor együtthatói
amennyiben a G egy a körgyűrűben haladó a z0-t egyszer körülölelő zárt görbe.
Példa. Fejtsük Laurent-sorba az alábbi függvényt a -i pont körül:
1. Megoldás. Tegyük z+i=w-t és helyettesítsünk a sin már ismert sorába. w≠ 0-ra:
"2n+1-3=2n-2=2k"-val ill 2n=2k+2-vel, ill n=k+1
2. Megoldás. Az képlettel és a sin deriváltjaival.
n +4 < 0-ra, azaz n < -4 -re az integrandus reguláris, így az integrál 0, sőt n=-4-re és n=-3-re is ez a helyzet. n > -3 -re a deriváltakra vonatkozó Cauchy-féle képletekkel kell kiszámítanunk, az n-edik együtthatót abból a képletből számoljuk, mely nevezőben lévő n+4 = (n+3)+1 miatt az n+3-edik deriváltat adja. Mivel
ezért
2l=n-nel
- és
Főrész nélküli Laurent-sor
Ha nincs a Laurent-sornak főrésze, akkor R-=0 és az f függvény a z0 pontban vagy reguláris, vagy megszüntethető szakadása van. Ez utóbbi amiatt, hogy ebben az esetben f a z0-on kívül azonos egy hatványsor összegfüggvényével, mely azonban Abel tétele miatt folytonos és így határértéke a helyettesítési értékkel egyenlő. Tehát, ha f ilyen, akkor:
hiszen a hatványsoroknál a középpontban a 00 hatványt 1-nek értelmezzük.
f kiterjeszthető ezek szerint analitikusan kiterjeszthető és az értéke
Világos, hogy ezesetben a cn együtthatók pontosan az f kiterjesztésének taylor-sori együtthatói, hiszen a deriváltakra vonatkozó Cauchy-formulákat a Taylor-sorral összevetve:
bármilyen a z0-t egyszer körülölelő, a körgyűrűben haladó zárt görbére.
Példa. Igazoljuk, hogy az alábbi függvény reguláris a 0 pontban és számítsuk ki a a kiterjesztés összes magasabbrendű deriváltját!
Megoldás. Elvileg ez egy Laurent-sor, hisz számlálóbeli reguláris függvény van elosztva z2-tel. De konkrétan elvégezve:
azaz f a 0-t kivéve egy reguláris függvénnyel egyenlő, azaz kiterjeszthető regulárissá és ez a fenti. A deriváltakat a Taylor-sor együtthatói adják a megfelelő faktoriálissal megsorozva. k=n-2-re:
azaz
A végtelen pont körüli Laurent-sor
Legyen az f: C C függvény az ∞ egy környezetében mindenhol reguláris.
- Regulárisnak nevezzük az f(z) függvényt a ∞-ben, ha az F(1/ζ) függvény (azaz a (1/id) függvény) reguláris 0-ban, azaz ott megszüntethető szakadása van.
- Az f ∞-beli Laurent-során a ∑(1/id) sort értjük, ahol ∑ az f(1/id) függvény 0-beli Laurent-sora.
- ∑ főrésze a ∑(1/id)-ban a reguláris lesz és fordítva, azaz
- ∑(1/id) konvergenciatartománya |z| > 1/r számok, ahol 0<|z|<r-ra konvergens ∑.
Példa. Írjuk fel az
függvény ∞ körüli Laurent-sorát!
Megoldás.
Ez csak főrészt tartalmazó 0 < |ζ| < +∞ tartományon konvergens sor, azaz előállítja f(1/id)-t. f ugyanúgy viselkedik ∞-ben, mint f(1/id) a nullában, így f'-nek a ∞-ben csak főrészt tartalmaz és a sora maga az f. Reziduuma 0.
Példa. Írjuk fel az
függvény ∞ körüli Laurent-sorát!
Megoldás.
Ennek sora:
- eζ = 1 + ζ + ...
és a |ζ| < +∞ tartományon konvergens és csak reguláris része van. Tehát vissza transzformált sor:
mindenhol konvergens és szintén csak reguláris része van. Sőt, ekkor azt mondjuk, hogy f az ∞-ben reguláris. Reziduuma -1
Példa. Írjuk fel az
függvény ∞ körüli Laurent-sorát!
Megoldás.
Ez a B(0,1)-en konvergens és csak reguláris tagokat tartalmaz. Így a ∞ körüli sor is csak azt fog tartalmazni és
konvergens lesz a |z| > 1-en. Reziduuma 1.
Sziguláris helyek és osztályozásuk, reziduumszámítás
Az f: D C nyílt halmazon értelmezett függvény izolált szinguláris helyének nevezzük a pontot, ha f értelmezve van a z0 egy kipontozott környzetében, de ott a függvény nem reguláris.
Itt a nem regulárist úgy értjük, hogy vagy értelmezve van, de ott nem komplex deriválható, vagy nincs értelmezve.
A definícióval másképp is fogalmazható. Ha az f: D C nyílt halmazon értelmezett függvény esetén a pont olyan, hogy létezik δ > 0, hogy
akkor a következők ekvivalensek:
- z0 f-nek izolált szinguláris pontja
- z0-ban f nincs értelmezve, vagy nem folytonos
ugyanis, ha folytonos az adott pontban, körülötte pedig reguláris, akkor az adott pontban is reguláris (v.ö. Riemann-tétel).
Reziduum
A -n reguláris függvény sorbafejthető z0 körül. Éppen ezért, minthogy a Laurent-sor c-1 együtthatója maga a reziduum, ezért a szinguláris helyek körüli sorfejtésből mindig adódik a reziduum is. Értelmezzük a ∞ körüli reziduumot is, az a -c-1 együttható.
Megszüntethető szingularitás
A -n reguláris függvény sorbafejthető z0 körül. A szingularitásait ezért könnyen osztályozhtajuk a Laurent-sora szerint.
Az alábbi tétel azt mondja, hogy ha egy izolált szingularitás megszüntethető szakadás, akkor ott nem csak folytonossá tehető az f, de regulárissá is.
Tétel. f-nek pontosan akkor van a z0 izolált szingularitásban megszüntethető szakadása, ha a Laurent-sora csak reguláris részből áll. Ebben az esetben a függvény regulárissá tehető.
Bizonyítás. A megszüntethető szakadás definíciója miatt tudjuk, f-nek akkor van a z0-ban megszüntethető szakadása, ha
létezik és véges. Ekkor f egy z0 körüli környzetben korlátos. Belátjuk, hogy ekkor a Laurent-sora csak reguláris részből áll. Az együtthatóformulából, k < 0 egészre és Kr r sugarú körre:
hiszen f korlátjához létezik olyan kis környzet, ahol a nullához tartó második tényező K-nál kisebb (vagy 1, és akkor a képletben és a végeredméybencsak K szerepel). Ha pedig r-rel tartunk a 0-hoz, az együttható eltűnik.
Persze ekkor az f függvény egy reguláris függvénnyel egyenlő a z0-on kívül, a z0-ban pedig f folytonos.
Értelmes tehát a következő definíció:
Definíció. f-nek a z0-ban megszüntethető szingularitása van, ha a z0 izolált szingularitása és ott a Laurent-sora csupa reguláris.
Példa. Igazoljuk, hogy az alábbi függvénynek megszüntethető szingularitása van a 0-ban!
Megoldás.
Tudjuk:
a nullában az 1-hez tart, így 1) reguláris a 0-n kívül, 2) a 0-ban létezik véges határértéke, így a tétel miatt megszüntethető szingularitása van.
Ílymódon definiálhatjuk az ∞ pont regularitását is.
Példa. z0 = ∞
Megoldás.
Ez a függvény a végtelenben reguláris, vagy másként megszünetethető szingularitása van. Ugyanis a
függvény a 0-ban folytonos módon eltűnik. Az ∞ környzetében a függvényt az
amely csak reguláris tagokat tartalmaz és
ahogy a tagonként határétékképzésből is ez jön ki.
Pólusszingularitás
Az f nek pólusszingularitása van a z0 izolált szinguláris helyen, ha a Laurent-sora főrészében legalább egy, de legfeljebb véges sok tag van.
Részletesebben. Az f nek k-ad rendű pólusszingularitása van a z0 izolált szinguláris helyen (k>0 egész), ha a Laurent-sora főrészében a c-k együttható nem nulla, de az 1/z k-nál magasabb hatványai már nem szerepelnek a főrészben.
Másként.
- z0 pontosan akkor pólusszingularitás, ha
- z0 pontosan akkor k-ad rendű pólusszingularitás, ha véges, nemnulla, de már nulla.
Plusszingularitások rendjének kiszámítására két fontos lemmát használhatunk.
Állítás. Az f: D \ {z0} C függvénynek pontosan akkor van k-ad rendű pólusszingularitása a z0 helyen, ha létezik olyan D-n reguláris g függvény, mely z0-ban nem nulla, és minden D-beli z ≠z0-ra:
Azaz az ilyen f-ek
alakúak, ahol g reguláris, ezt azért nem bizonyítjuk, mert szinte csak átfogalmazása a definíciónak.
Példa. Világos, hogy az
függvény pólusszingularitásának foka 1821.
Res0f=
Példa. Milyen szingularitása van az
függvénynek?
Megoldás.
-ben az első tényező regulárissá tehető 0-ban (hiszen egy 0-körüli reguláris hatánysorral azonos a 0-n kívül), így f-nek 1817-ed rendű pólusszingularitása van.
Állítás. Ha az f függvény
alakú, ahol g,h reguláris és h-nak a z0-ban k multiplicitású zérushelye van, akkor f -nek k-adrendű pólusa van z0-ban.
Bizonyítás. Vegyük h z0 körüli Taylor-sorát. A k multiplicitás azt jelenti, hogy a
sorban
de
Tehát
Kiemelve (z-z0)k-t kapjuk:
ahol az utolsó tényező reguláris.
A reziduumok számításánál nagyon hasznos a következő lemma (mely könnyen általánosítható olyan esetekre, amikor a derivált is eltűnik).
Állítás. Ha az f függvény két reguláris hányadosa
és a z0-ban izolált szingularitása van úgy, hogy h(z0)=0, de h'(z0)≠ 0, akkor az ekörüli reziduum:
Ugyanis, vegyük h z0 körüli Taylor-sorát:
Ebből kiemelhetünk z − z0-t:
Használjuk a reziduumtételt és a Cauchy-formulát a residuum kiszámítására:
alkalmas G görbére.
Magasabbrendű pólusszingularitások reziduumának kiszámítására a következő formula érvényes:
Tétel. Ha f-nek k-adrendű pólusa van z0-ban, akkor
Ezt a formulát csak abban az esetben bizonyítjuk, amikor z0 véges. Ebben az esetben a fenti határérték, maga a helyettesítési érték, hisz reguláris függvény analitikus. Legyen
Tudjuk, hogy f Laurent-sorában -k-ig vannak irreguláris tagok:
ezért ϕ már egy Taylor sor, és világos, hogy a c-1 tagot a Taylor-sora k-1-edik tagjának együtthatójából számíthatjuk ki:
azaz
Példa. Milyen szingularitása van az alábbi függvénynek a nevező zérushelyein? Mennyi a reziduuma?
Megoldás. Másodrendű szing. a zérushelyeken. Ugyanis, a zérushelyek
és ezek másodrendűek, mert:
Kicsit bonyi és a határérték számítása prolémát okoz.
Érdemes inkább a deriváltra vonatkozó Cauchy-formulával:
1.
Ha tudjuk a kardinálszinusz négyzetének, reciprokának deriváltját (0), akkor ezt ki tudjuk számolni:
2. Másként, egy általános módszert is mutatunk. Másodrendű pólussal van dolgunk:
ahol ρ reguláris.
Ekkor:
S mivel az cos(3.) sorában nincs esőfokú tag, ezért az eredménysorban sem lehet, azaz 25c-1 = 0, azaz a reziduum 0.
Gyakorlás
Példa. Legyen
Mennyi a
integrál?
1. Megoldás. Kiszámítjuk a ∞-beli reziduumot. A ζ = 1/z helyettesítést alkalmazva fejtjük sorba a ζ=0 körül:
Ezt a 0-ban Taylor-sorba fejthetjük:
Visszatranszformálva:
azaz a f valóban reguláris az ∞-ben és reziduuma -1. Emiatt az integrál +2πi, ugyanis
így
2. Megoldás. Egyenkint, Cauchy-formulával.
Példa. Jellemezze a szinguláris helyeket!
Megoldás. A 0 és az ∞ szinguláris helyek, továbbá a nevező zérushelyei:
Mivel ennek a sorozatnak a 0 torlódási pontja, ezért a 0 nem izolált szinguláris hely. (Tehát a Laurent-sorra alapozott tételeink rá nem használhatók. Ennek ellenére elvileg megvizsgálható, hogy van-e ott határérték vagy sem, de nem a sajátos komplex eszközökkel. Ekkor természetesen azt kapjuk, hogy nincs határértéke (még végtelen sem), de ebből nem tudunk a lényeges izolált szingularitások tulajdonságaira következtetni!)
A véges izolált szinguláris pontokban