Matematika A3a 2009/1. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Explicit megadású görbe, kisérő triéder) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Explicit megadású görbe, kisérő triéder) |
||
(egy szerkesztő 16 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
70. sor: | 70. sor: | ||
'''4. feladat.''' Adjuk meg az | '''4. feladat.''' Adjuk meg az | ||
:<math>[\mathbf{r}(t)]=\begin{bmatrix}t^2-1\\t\\3-t\end{bmatrix}</math> | :<math>[\mathbf{r}(t)]=\begin{bmatrix}t^2-1\\t\\3-t\end{bmatrix}</math> | ||
− | :<math>(\mathbf{r}(t)=(t^2-1)\mathbf{i}+t\mathbf{j}+(3-t)\mathbf{k}</math> | + | :<math>(\mathbf{r}(t)=(t^2-1)\mathbf{i}+t\mathbf{j}+(3-t)\mathbf{k})</math> |
− | görbe kísérő triéderét a t | + | görbe kísérő triéderét a t paraméterértékhez tartozó helyeken! Hol párhuzamos az érintő az x + 2y + 4z = 4 síkkal? |
''Mo.'' | ''Mo.'' | ||
− | :<math>\dot{\mathbf{r}}(t)=\begin{bmatrix}2t\\1\\-1\end{bmatrix}</math> | + | :<math>\dot{\mathbf{r}}(t)=\begin{bmatrix}2t\\1\\-1\end{bmatrix}</math>, <math>\ddot{\mathbf{r}}(t)=\begin{bmatrix}2\\0\\0\end{bmatrix}</math>, <math>\mathbf{b}=\begin{bmatrix}2t\\1\\-1\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}2\\0\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\2\\2\end{bmatrix}</math> |
+ | végül a főnormális: | ||
+ | :<math>\mathbf{n}=\begin{bmatrix}0\\2\\2\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}2t\\1\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\-4t\\4t\end{bmatrix}</math> | ||
+ | |||
+ | Az érintő párhuzamosságának feltétele, hogy a sík normálvektorára '''r'''(t) deriváltja merőleges legyen | ||
+ | |||
+ | :<math>1\cdot 2t+1\cdot 2+4\cdot(-1)=0\,</math>, <math>t=1\,</math> | ||
+ | |||
+ | ===Ívhossz=== | ||
+ | |||
+ | Görbe ívhossza az ívhossz integrálok egy speciális típusa. | ||
+ | |||
+ | :ívhossz: <math>L=\int\limits_{G}|\mathrm{d}\mathbf{r}|</math> | ||
+ | :''f''('''r''') pontonként számértékű függvény integrálja: <math>I=\int\limits_{G}f(\mathbf{r})\,|\mathrm{d}\mathbf{r}|</math> | ||
+ | |||
+ | Kiszámítása (ha a G görbe egy paraméterezésének kezdő és végpontja <math>t_1</math> és <math>t_2</math>) | ||
+ | :<math>L=\int\limits_{G}|\mathrm{d}\mathbf{r}|=\int\limits_{t=t_1}^{t_2}|\dot\mathbf{r}(t)|\,\mathrm{d}t</math> | ||
+ | |||
+ | '''5. feladat''' Számítsuk ki a 3. feldatbeli görbe ívhosszát! Hol maximális a görbület? | ||
+ | |||
+ | ''Mo.'' (Paraméterezássel) Paraméterezése: | ||
+ | :<math>\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix}2\sin t\\2 \cos t\\ t \end{bmatrix}</math> ahol <math>t\in[0,\pi/2]</math>, <math>\dot\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix}2\cos t\\-2 \sin t\\ 1 \end{bmatrix}</math> | ||
+ | :<math>|\dot\mathbf{r}(t)|=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}</math> | ||
+ | :<math>\int\limits_{t=0}^{\pi/2}|\dot\mathbf{r}(t)|\,\mathrm{d}t =\frac{5\pi}{2} | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | (Szimmetriákkal) A d'''r''' elemi érintővektor mindenhol 1 iránytangensű szögben hajlik az [xy] síkhoz, erre eső vetülete pedig mindig ugyanakkora. A ívhossz tehát egy derékszögű háromszög átfogója. | ||
+ | |||
+ | Ívhossz paraméterezésben a görbület az <math> |\mathbf{r}''(s)|</math> mennyiség. t:0->2π, akkor s:0->10π, azaz t=s/5. | ||
+ | |||
+ | ==Felületek== | ||
+ | '''6.''' Paraméterezzük az alábbi implicit megadású felületeket: | ||
+ | :<math>x^2+y^2=z^2\,</math> | ||
+ | :<math>x^2+y^2=z\,</math> | ||
+ | :<math>x^2+4y^2=z\,</math> | ||
+ | |||
+ | ''Mo.'' | ||
+ | :<math>\mathbf{r}(r,\varphi)=\begin{bmatrix}r\cdot \cos\varphi\\r\sin\varphi\\ r\end{bmatrix}</math>, <math>\mathbf{r}(r,\varphi)=\begin{bmatrix}r\cdot \cos\varphi\\r\sin\varphi\\ r^2\end{bmatrix}</math>, <math>\mathbf{r}(r,\varphi)=\begin{bmatrix}r\cdot \cos\varphi\\\frac{r}{2}\sin\varphi\\ r^2\end{bmatrix}</math> | ||
+ | |||
+ | '''7.''' Paraméterezzük a | ||
+ | :<math>\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix}t\\t^2\\ t^3 \end{bmatrix}</math> | ||
+ | görbe érintői által kirajzolt felületet! | ||
+ | |||
+ | ''Mo.'' | ||
+ | :<math>\mathbf{r}_0(t)=\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix}t\\t^2\\ t^3 \end{bmatrix}</math>, <math>\mathbf{v}(t)=\dot\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix}1\\2t\\ 3t^2 \end{bmatrix}</math> | ||
+ | :<math>\mathbf{r}(t,s)=\mathbf{r}_0(t)+s\mathbf{v}(t)=\begin{bmatrix}t+s\\t^2+2ts\\ t^3+3t^2s \end{bmatrix}</math> | ||
+ | |||
+ | ==Házi feladatok== | ||
+ | |||
+ | '''1.''' Határozza meg az | ||
+ | :<math>\mathbf{r}(t)=t^2\mathbf{i}+\frac{1+t}{t}\mathbf{j}+\frac{t}{t+1}\mathbf{k}\,</math> | ||
+ | görbe azon pontjabeli érintőegyenesének egyenletrendszerét, mely a t=1 értékhez tartozik! | ||
+ | |||
+ | '''2.''' | ||
+ | Mely pontokban párhuzamos a | ||
+ | :<math>\mathbf{r}(t)=t^5\mathbf{i}+t^4\mathbf{j}+t^3\mathbf{k}\,</math> | ||
+ | görbe érintője az x+2y+3z=0 síkkal? | ||
+ | |||
+ | '''3.''' | ||
+ | Határozzuk meg a | ||
+ | :<math>\mathbf{r}(t)=\frac{4}{3}t^3\mathbf{i}+2t^2\mathbf{j}+2t\mathbf{k}\,</math> | ||
+ | görbe azon pontjait, melyekben az érintő 30˚-os szöget zár be az x=y=z egyenessel! | ||
+ | |||
+ | '''4.''' Határozzuk meg a | ||
+ | :<math>\mathbf{r}(t)=e^t\cos t \mathbf{i}+e^t\sin t \mathbf{j}+e^t\mathbf{k}\,</math>, <math>t\in[0,2]</math> | ||
+ | györbeszakasz ívhosszát! | ||
+ | |||
+ | '''5.''' Hol van az alábbi görbe görbületének és torziójának szélsőértéke? | ||
+ | :<math>\mathbf{r}(t)=\cos t \mathbf{i}+\sin t \mathbf{j}-t^2\mathbf{k}\,</math> | ||
+ | |||
+ | '''6.''' Paraméterezzük a z ill. az y tengely körül körbeforgatott <math> z=y^2</math> parabola által kirajzolt felületet! | ||
+ | |||
+ | '''7.''' Paraméterezzük az | ||
+ | :<math>\mathbf{r}(t)=t\mathbf{i}+t^2\mathbf{j}+\mathbf{k}\,</math> | ||
+ | görbe érintőegyenesei által kirajzolt felületet! | ||
+ | |||
+ | '''8.''' Mely pontokban párhuzamosak ill. merőlegesek az | ||
+ | :<math>\mathbf{r}(u,v)=(u^2+v^2)\mathbf{i}+uv\mathbf{j}+\cos u\cos v\mathbf{k}\,</math> | ||
+ | felület pontbeli "koordinátavonalai" (az ∂'''r'''/∂u és ∂'''r'''/∂v vektorok)? | ||
+ | |||
+ | '''9.''' Mely pontokban párhuzamos az xyz=1 egyenletű felület érintősíkja az x+y+z=5 síkkal? |
A lap jelenlegi, 2009. október 19., 22:16-kori változata
Tartalomjegyzék |
Görbe
A G ⊆ R3 (ill. R2) halmazt görbének nevezünk, ha van olyan I intervallum és p:I G függvény, mely ráképez G-re és differenciálható. Sokszor (pl. a komplex analízisben) megengedjük, hogy a p függvény bár folytonos legyen, de véges sok helyen ne legyen differenciálható (szakaszonként differenciálható görbe). A G görbe esetén a p függvényt paraméterezésnek is nevezzük és sokszor p helyett egy r = r(t) képlettel hivatkozunk rá. Itt a t a változó.
Implicit megadású görbe
Síkgörbe
Görbét megadhatunk a síkon egyenletével:
Paraméterezésre két lehetőségünk van. Az implicitfüggvény tétel és valamely addhok módszer.
- Az implicitfüggvény tétel esetén alkalmas pont (a,b) közelében az egyik változót paraméternek választhatjuk, mondjuk x = t, a másikat t-vel való kifejezhetőségét az implicitfüggvény tétel adja: y = f(t) és F(t,f(t))=0, így p(t)=(t,y(t)).
- Az addhok módszer jellegzetes alakú F függvényekre ad alkalmas megoldásokat úgy, hogy létezzen p:I G, t (x(t),y(t)) ráképezés, melyre
- F(x(t),y(t)) = 0
minden t-re.
1. feladat Adjuk meg az egyenletű görbe néhány paraméterezését!
- Mo. "Polárkoordináták" A cos2t + sin2t = 1 azonosságot kell módosítani alkalmas módon.
"Explicit" Egy másik szakaszonként értelmezett paraméterezéshez jutunk, ha az implicitfüggvény tétel szellemében kifejezzük az egyik változót:
- ,
2. feladat Adjuk meg az egyenletű görbe ívhossz-paraméterezését!
- Mo. Kör esetén a t polárkoordinátából úgy lesz s ívhossz, hogy beszorozzuk a kör sugarával: s = 2t. Ekkor
Térgörbe
Térben a görbét két egyenlettel adhatunk meg:
Ekkor is használható az implicitfüggény tétel, persze ezt csak kellő körültekintéssel lehet csak alkalmazni.
- Például alkalmas (a,b,c) pont közelében az egyik változó, mondjuk az x tetszőlegesnek tekinthető és a többi ezzel a tétel alapján kifejezhető: x = t és y = f(t), z = g(t).
3. feladat. Adjuk meg az
egyenletekkel megadott első térnyolcadba eső görbe egy paraméterezését!
Célszerű az x = 2 sin t helyettesítéssel próbálkozni. Ekkor y = 2 cos t és z = t.
Explicit megadású görbe, kisérő triéder
Egy
differenciálható paraméterezés deriváltja a sztenderd (i,j,k) bázisban azonosítható a Jacobi-mátrixával:
A derivált az érintő irányvektorával azonosítható, ha az nem nullvektor. Ha nullvektor, akkor a görbének aszerint a paraméterezés szerint nem létezik érintője, de más paraméterezés szerint mg létezhet.
A derivált szintén I R3 függvény, mely tovább deriválható, ha az r(t) maga kétszer deriválható volt, ...
A további vizsgálatok valójában nem szétválaszthatak a mechanikától. Az deriváltvektor egyben sebesség is, a második derivált egyben gyorsulás is. A második derivált érintőre merőleges komponense a centripetális gyorsulás (kör középpontja felé mutató gyorsulás):
- érintővektor, a normálsík normálisa
- binormális vektor, a simulósík normálisa
- főnormális, a rektifikáló sík normálisa
A simulókör sugara a centripetális gyorsulásból adódik:
- a görbület a sugár reciproka:
4. feladat. Adjuk meg az
görbe kísérő triéderét a t paraméterértékhez tartozó helyeken! Hol párhuzamos az érintő az x + 2y + 4z = 4 síkkal?
Mo.
- , ,
végül a főnormális:
Az érintő párhuzamosságának feltétele, hogy a sík normálvektorára r(t) deriváltja merőleges legyen
- ,
Ívhossz
Görbe ívhossza az ívhossz integrálok egy speciális típusa.
- ívhossz:
- f(r) pontonként számértékű függvény integrálja:
Kiszámítása (ha a G görbe egy paraméterezésének kezdő és végpontja t1 és t2)
5. feladat Számítsuk ki a 3. feldatbeli görbe ívhosszát! Hol maximális a görbület?
Mo. (Paraméterezássel) Paraméterezése:
- ahol ,
(Szimmetriákkal) A dr elemi érintővektor mindenhol 1 iránytangensű szögben hajlik az [xy] síkhoz, erre eső vetülete pedig mindig ugyanakkora. A ívhossz tehát egy derékszögű háromszög átfogója.
Ívhossz paraméterezésben a görbület az mennyiség. t:0->2π, akkor s:0->10π, azaz t=s/5.
Felületek
6. Paraméterezzük az alábbi implicit megadású felületeket:
Mo.
- , ,
7. Paraméterezzük a
görbe érintői által kirajzolt felületet!
Mo.
- ,
Házi feladatok
1. Határozza meg az
görbe azon pontjabeli érintőegyenesének egyenletrendszerét, mely a t=1 értékhez tartozik!
2. Mely pontokban párhuzamos a
görbe érintője az x+2y+3z=0 síkkal?
3. Határozzuk meg a
görbe azon pontjait, melyekben az érintő 30˚-os szöget zár be az x=y=z egyenessel!
4. Határozzuk meg a
- ,
györbeszakasz ívhosszát!
5. Hol van az alábbi görbe görbületének és torziójának szélsőértéke?
6. Paraméterezzük a z ill. az y tengely körül körbeforgatott z = y2 parabola által kirajzolt felületet!
7. Paraméterezzük az
görbe érintőegyenesei által kirajzolt felületet!
8. Mely pontokban párhuzamosak ill. merőlegesek az
felület pontbeli "koordinátavonalai" (az ∂r/∂u és ∂r/∂v vektorok)?
9. Mely pontokban párhuzamos az xyz=1 egyenletű felület érintősíkja az x+y+z=5 síkkal?