Szerkesztő:Mozo/A3 gyakorló feladatok 6.
A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Ívhossz és ívhosszparaméterezés) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Felszín) |
||
36. sor: | 36. sor: | ||
:<math>\mathbf{r}(s)=\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\sqrt{\left(\frac{\sqrt{6s+4}-2}{3}\right)^3}, 2\frac{\sqrt{6s+4}-2}{3}, \frac{3}{2}\left(\frac{\sqrt{6s+4}-2}{3}\right)^2\right)</math> | :<math>\mathbf{r}(s)=\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\sqrt{\left(\frac{\sqrt{6s+4}-2}{3}\right)^3}, 2\frac{\sqrt{6s+4}-2}{3}, \frac{3}{2}\left(\frac{\sqrt{6s+4}-2}{3}\right)^2\right)</math> | ||
===Felszín=== | ===Felszín=== | ||
− | + | <math>\mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v)</math> esetén | |
− | :<math>A=\ | + | :<math>A=\iint\limits_{T_{u,v}}|\partial_u\mathbf{r}\times\partial_v\mathbf{r}|dudv</math> |
− | + | <math>z=f(x,y)</math> esetén | |
− | :<math>A=\ | + | :<math>A=\iint\limits_{T_{x,y}}\sqrt{(\partial_xf)^2+(\partial_yf)^2+1}dxdy</math> |
+ | '''2.''' a) Számítsuk ki a <math>z=x^2-y^2</math> egyenlettel adott felület azon darabjának felszínét, melyet az <math>x^2+y^2\leq 4</math>, <math>x\geq 0</math> feltételek adnak meg! | ||
+ | |||
+ | b) Számítsuk ki a <math>z=\frac{x^2}{2y}</math> egyenlettel adott felület azon darabjának felszínét, melyet az <math>1\leq x\leq 2</math>, <math>1\leq y\leq 3</math> feltételek adnak meg! | ||
+ | |||
+ | c) Számítsuk ki az <math>\mathbf{r}(u,v)=(u\cos v,u\sin v,u)</math> felület azon darabjának felszínét, melyet a <math>0\leq u\leq 2</math>, <math>0\leq v\leq \pi</math> feltételek adnak meg! | ||
+ | |||
+ | MO.: a) | ||
+ | |||
+ | :<math>\sqrt{(\partial_xz(x,y))^2+(\partial_yz(x,y))^2+1}=\sqrt{(2x)^2+(2y)^2+1}=\sqrt{4x^2+4y^2+1}=\sqrt{4(x^2+y^2)+1}</math> |
A lap 2017. január 14., 17:14-kori változata
Differenciálgeometria
Ívhossz és ívhosszparaméterezés
1. a) Mi az alábbi görbe ívhossza a [1,e] paraméterszakaszon és mi az ívhosszparaméterezése t=1-tól kezdődően?
b) Mi az alábbi görbe ívhossza a [0,1] paraméterszakaszon és mi az ívhosszparaméterezése t=0-tól kezdődően?
MO.: a)
Ívhossz: [1,e]-n:
Ívhossz paraméterezés t=1-től:
b)
Vegyük észre, hogy a négyzetgyök alatt teljes négyzet áll:
- ez t>0-ra persze azonos 3t+2-vel.
Ívhossz: [1,e]-n:
Ívhossz paraméterezés t=0-tól:
Felszín
esetén
z = f(x,y) esetén
2. a) Számítsuk ki a z = x2 − y2 egyenlettel adott felület azon darabjának felszínét, melyet az , feltételek adnak meg!
b) Számítsuk ki a egyenlettel adott felület azon darabjának felszínét, melyet az , feltételek adnak meg!
c) Számítsuk ki az felület azon darabjának felszínét, melyet a , feltételek adnak meg!
MO.: a)