Szerkesztő:Mozo/A2 szigorlat 9
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Inverzfüggvénytétel R-re) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Inverzfüggvénytétel R-re) |
||
89. sor: | 89. sor: | ||
Ebből következtethetünk az erős L'Hospital-szabály első deriváltas alakjára:--> | Ebből következtethetünk az erős L'Hospital-szabály első deriváltas alakjára:--> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''Implicitfüggvény-tétel''' -- Ha a Φ: <math>I</math>×<math>J</math> <math>\to</math> '''R''' folytonosan differenciálható függvény az <math>(x_0,y_0)</math> ∈ int(<math>I</math>×<math>J</math>) pontban teljesíti a ∂Φ/∂y ≠ 0 feltételt, akkor a <math>(x_0,y_0)</math> pont egy környezetében egyértelműen létezik az Φ(x,y)=Φ(<math>x_0,y_0</math>) egyenletnek az <math>(x_0,y_0)</math> ponton áthaladó implicit függvénye, azaz az <math>x_0</math> egy ''K''⊆''I'' környezetében értelmezett, ''J''-beli értékű ''y'' deriválható függvény, melyre minden ''x'' ∈ ''K'' esetén: | ||
+ | :<math>\Phi(x,y(x))=\Phi(x_0,y_0)\,</math>, <math>y(x_0)=y_0\,</math> | ||
+ | és ennek deriváltja minden ''x'' ∈ ''K''-ban: | ||
+ | :<math>y'(x)=-\left.\frac{\;\frac{\partial\Phi}{\partial x}\;}{\frac{\partial \Phi}{\partial{y}}}\right|_{(x,y(x))}</math> | ||
+ | |||
+ | + előadásjegyzet |
A lap jelenlegi, 2017. május 21., 10:33-kori változata
Inverzfüggvénytétel R-re
Inverzfüggvény deriváltja. Ha az f invertálható függvény differenciálható u-ban, f -1 folytonos u-ban és f'(u) ≠ 0, akkor az inverz is differenciálható u-ban és
Megjegyzés. A tételi állításban az inverz folytonossági feltétele csak olyan esetben jelent megszorítást, amikor a függvény nem intervallumon értelmezett szigorúan monoton függvény. Példa olyan invertálható függvényre, melynek deriváltja nem nulla egy adott pontban, de inverze a képpontban nem folytonos:
f ekkor a 0-ban deriválható és f '(0)=1, invertálható, mert R \ (1/Z+) \ Z+-n az identitás és az Z+-n pedig az 1/id, mely értékei vétetnek fel az R \ (1/Z+)- halmaz képeiként. Viszont így f-1 nem korlátos 0-ban, azaz nem folytonos, így nem is differenciálható.
Állítás. Intervallumon értelmezett szigorúan monoton függvény inverze folytonos (tehát ez esetben még akkor is folytonos az inverz, ha a függvénynek magának ugrása van).
Erre a meglepő eredményre egy illusztráló példát adunk.
Példa. Folytonosan invertálható-e az alábbi függvény? Indokoljuk a fenti tétel nélkül!
Megoldás. Persze, hisz a negatívokon invertálható és csak negatív értéket vesz fel. A pozitívokon szintén és szintén csak pozitív értékeket vesz fel. A 0-beli érték az előző képhalmazokon kívül esik (a 0). Az inverz:
Ez a függvény mindenütt folytonos, mert a gyök az, és a 0-ban izolált pontja van, ahol a függvények triviálisan folytonosak.
Tétel -- Globális inverzfüggvény-tétel -- Ha f: I R függvény folytonosan differenciálható és f' sehol se nulla, akkor
- f invertálható
- f inverze folytonos (f homeomorfizmus)
- f inverze deriválható (f diffeomorfizmus)
- minden x ∈ I-re
Megjegyzés. Részletesebb indoklás azt is kimutatja, hogy a derivált folytonossága nem szükséges (bár nem árt :).
Bizonyítás. 1) A derivált mindenhol azonos előjelű, ellenkező esetben lenne két hely, ahol különböző, de a Darboux-tétel miatt akkor lenne zérushelye is a deriváltnak, ami ellentmond a feltételeknek. Tehát f szigorúan monoton, így invertálható.
2) Minden a ∈ I pontban a derivált nem nulla és folytonos, így létezik olyan környezete, melyben a derivált mindenhol egy L pozitív számál nagyobb. Ezért a Lagrange-tétel miatt a környzet bármely két x1, x2 pontjára:
Emiatt az x=f-1(y) áttéréssel:
azaz
azaz az inverz lipschitzes a környezetben, azaz a pontban folytonos. 3) 4) ezt egyszerre igazoljuk. Az u-beli diffhatóság miatt:
Itt az
függvény akkor lesz folytonos és v-ben eltűnő, ha maga f-1 is folytonos v-ben.
Példa. Igazoljuk, hogy létezik a sin inverze a [-π/2,π/2]-n és az inverz folytonos a [-1,1]-en (ez az arcsin) ezen kívül az inverz deriválható a belső pontokban!
Ugyanis. [-π/2,π/2]-n a sin szigorúan monoton nő és inverz képe [-1,1]. Emiatt ez folytonos is és az inverzfüggvény-tétel miatt a nyílton differenciálható, ugyanis
az inverze:
Implicitfüggvény-tétel -- Ha a Φ: I×J R folytonosan differenciálható függvény az (x0,y0) ∈ int(I×J) pontban teljesíti a ∂Φ/∂y ≠ 0 feltételt, akkor a (x0,y0) pont egy környezetében egyértelműen létezik az Φ(x,y)=Φ(x0,y0) egyenletnek az (x0,y0) ponton áthaladó implicit függvénye, azaz az x0 egy K⊆I környezetében értelmezett, J-beli értékű y deriválható függvény, melyre minden x ∈ K esetén:
- ,
és ennek deriváltja minden x ∈ K-ban:
+ előadásjegyzet