Matematika A3a 2008/6. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Exponenciális függvény) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Hatványfüggvények) |
||
17. sor: | 17. sor: | ||
Feltéve persze, hogy létezik és véges. Itt ''z''<sub>i</sub> mindig a G görbe valamely pontját jelöli, amit az [a,b] egy felosztásának osztópontjainak G általi képeiből kapunk. | Feltéve persze, hogy létezik és véges. Itt ''z''<sub>i</sub> mindig a G görbe valamely pontját jelöli, amit az [a,b] egy felosztásának osztópontjainak G általi képeiből kapunk. | ||
− | Ekkor fennáll a komplex Newton-Leibniz-formula. Ha ''z''<sub>1</sub> és ''z''<sub>2</sub> a | + | Ekkor fennáll a komplex Newton-Leibniz-formula. Ha a G görbe olyan nyílt halmazban halad, melyben az ''f''-nek van primitív függvénye (egyértékű függvénye!) akkor ''z''<sub>1</sub> és ''z''<sub>2</sub> a végpontok esetén (''a'' és ''b'' képe), a komplex integrál kiszámítható így: |
:<math>F(z_2)-F(z_1)=\int\limits_{G}f(z)\,\mathrm{d}z\,</math> | :<math>F(z_2)-F(z_1)=\int\limits_{G}f(z)\,\mathrm{d}z\,</math> | ||
− | '''Feladat.''' Legyen G a 3 középpontú, 1 sugarú kör felső félköre (pozitív irányítással). Számítsuk ki a | + | Ha a görbe belép az ''f'' értelmezési tartományának olyan részére, melyben a függvénynek nincs egyértelmű primitív függvénye, akkor az integrál értéke függhet a G úttól. |
+ | |||
+ | '''1. Feladat.''' Legyen G a 3 középpontú, 1 sugarú kör felső félköre (pozitív irányítással). Számítsuk ki a | ||
:<math>\int\limits_{G}3z^2+1\,\mathrm{d}z\,</math> | :<math>\int\limits_{G}3z^2+1\,\mathrm{d}z\,</math> | ||
integrált. | integrált. | ||
+ | |||
+ | ''2. Feladat.''' Legyen G az origó körüli 2 sugarú kör vonal. Mennyi az | ||
+ | :<math>\int\limits_{G}\frac{1}{z^2}\,\mathrm{d}z\,</math> | ||
+ | integrál. | ||
A hatványfüggvények inverzei szintén nem egyértékű függvények. | A hatványfüggvények inverzei szintén nem egyértékű függvények. |
A lap 2008. október 30., 12:43-kori változata
Elemi függvények
Hatványfüggvények
A
típusú függvények komplex hatványfüggvények. n ∈ Z esetén, komplex deriváltjuk kiszámítható, n ≠ -1 esetben komplex primitív függvényük is van a következő értelemben:
Mivel
ezért n ≠ -1 esetén az az F(z) függvény, melyre nem más, mint
ahol C komplex konstans. n ≠ -1-re nincs primitív függvénye, mert a logaritmus nem egyértékű a komplex számok között.
Komplex vonalintegrál értelmezhető a G: [a,b] C folytonos függvény, mint görbe esetén azzal a különlegességgel, hogy a szorzás a komplex szorzás:
Feltéve persze, hogy létezik és véges. Itt zi mindig a G görbe valamely pontját jelöli, amit az [a,b] egy felosztásának osztópontjainak G általi képeiből kapunk.
Ekkor fennáll a komplex Newton-Leibniz-formula. Ha a G görbe olyan nyílt halmazban halad, melyben az f-nek van primitív függvénye (egyértékű függvénye!) akkor z1 és z2 a végpontok esetén (a és b képe), a komplex integrál kiszámítható így:
Ha a görbe belép az f értelmezési tartományának olyan részére, melyben a függvénynek nincs egyértelmű primitív függvénye, akkor az integrál értéke függhet a G úttól.
1. Feladat. Legyen G a 3 középpontú, 1 sugarú kör felső félköre (pozitív irányítással). Számítsuk ki a
integrált.
2. Feladat.' Legyen G az origó körüli 2 sugarú kör vonal. Mennyi az
integrál.
A hatványfüggvények inverzei szintén nem egyértékű függvények.
Exponenciális függvény
Ebbőkkiderül az exponenciális függvény sok tulajdonsága. Például, ha z = x + iy, akkor
Ebből rögtön következik, hogy komplex exponenciális függvény periodikus, periódusa a p = 2πi:
Feladat. Oldjuk meg az
egyenletet!
Írjuk át 1+i-t exponenciális alakba:
így