Matematika A3a 2008/6. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Hatványfüggvények) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
1. sor: | 1. sor: | ||
''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>'' | ''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>'' | ||
+ | |||
+ | ==Differenciálhatóság== | ||
+ | <div style="float:right; margin-left: 1em">__TOC__</div> | ||
+ | ==='''R'''-differenciálhatóság=== | ||
+ | Legyen ''f'' : '''C''' ⊃<math>\to</math> '''C''' komplex függvény. Ekkor ''f'' azonosítható az | ||
+ | :<math>f\equiv \begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}:\mathbf{R}^2\sup\to\mathbf{R}^2</math> | ||
+ | vektorértékű kétváltozós függvénnyel az | ||
+ | :<math>f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> | ||
+ | szerint. | ||
+ | |||
+ | függvény abban az értelemen '''R'''-differenciálható, ahogy egy '''R'''<sup>N</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>M</sup> függvény differenciálhatóságát definiáltuk. Ekkor például a hozzáadás, mint affin függvény '''R'''-differenciálható, és '''R'''-differenciálja az identitás: | ||
+ | :<math>a_w:z\mapsto w+ z\,</math> akkor <math>\mathrm{d}_\mathbf{R}(a_w)z=z</math> | ||
+ | A komplex számmal szorzás '''R'''-differenciálját közvetlenül a definíciójából számíthatjuk ki: | ||
+ | :<math>m_w:z\mapsto w\cdot z\,</math> akkor <math>\mathrm{J}_\mathbf{R}^{a_w}(z)=\begin{pmatrix} | ||
+ | w_1 & -w_2\\ | ||
+ | w_2 & w_1 | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | </math> | ||
+ | Rendkívül érdekes észrevétel tanúi lehetünk ekkor. ''z'' <math>\mapsto</math> ''w''<math>\cdot</math> ''z'' '''R'''-deriváltja maga ''w'' komplex számnak megfelelő mátrix, azaz | ||
+ | :<math>\mathrm{J}_\mathbf{R}^{a_w}(z)=w | ||
+ | </math> | ||
+ | ha mátrixreprezentációt veszünk. Sőt, visszanézve ez az összeadásra is igaz: | ||
+ | :<math>\mathrm{J}_\mathbf{R}^{a_w}(z)=\begin{pmatrix} | ||
+ | 1 & 0\\ | ||
+ | 0 & 1 | ||
+ | \end{pmatrix}</math> | ||
+ | |||
+ | '''Feladat. ''' Számítsuk ki az ''f''(''z'') = ''z''<sup>2</sup> '''R'''-differenciálját! | ||
+ | |||
+ | Legyen ''z'' = ''x'' + i ''y''. Ekkor ''z''<sup>2</sup> = ''x''<sup>2</sup> - ''y''<sup>2</sup> +i(2''xy'') | ||
+ | :<math>\mathrm{J}_\mathbf{R}^f(x,y)=\begin{pmatrix} | ||
+ | 2x & -2y\\ | ||
+ | 2y & 2x | ||
+ | \end{pmatrix}=2z</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''Feladat. ''' Számítsuk ki az <math>\scriptstyle{f(z)=\overline{z}}</math> '''R'''-differenciálját! | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Ha ''z'' = ''x'' + i ''y'', akkor <math>\scriptstyle{\overline{z}=x-\mathrm{i}y}</math>, így: | ||
+ | :<math>\mathrm{J}^{\overline{z}}_{\mathbf{R}}(z)=\begin{pmatrix} | ||
+ | 1 & 0\\ | ||
+ | 0 & -1 | ||
+ | \end{pmatrix}\not\in\mathbf{C} </math> | ||
+ | |||
+ | És ezzel már ki is mondhatjuk a ''Cauchy-Riemann-féle szükséges feltételt'': | ||
+ | :Annak a szükséges feltétele, hogy az ''f'':'''R'''<sup>2</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>2</sup> '''R'''-differenciálható függvény differenciálja egy komplex szám mátrixreprezentációja legyen, az, hogy: | ||
+ | ::<math>\partial_1 f_1=\partial_2 f_2</math> és <math>\partial_1 f_2=-\partial_2 f_1</math> | ||
+ | |||
+ | =='''C'''-differenciálhatóság== | ||
+ | A fenti példa motiválja a '''C'''-differenciálhatóság fogalmát. Legyen a szituáció az előbbi, azaz legyen ''f''(''z'') totálisan differenciálható (mint kétváltozós függvény) a ''z''<sub>0</sub> pontban és a Jacobi-mátrixa ott legyen a ''w'' ∈ '''C''' szám mátrixreprezentációja. Ekkor | ||
+ | :<math>\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)-w\cdot (z-z_0)}{|z-z_0|}=0</math> | ||
+ | Itt ''w''<math>\cdot</math>(''z''-''z''<sub>0</sub>) egyfelől a mátrixszorzás, másfelől a komplex szorzás. Ekkor: | ||
+ | :<math>\lim\limits_{z\to z_0}\left(\frac{f(z)-f(z_0)}{|z-z_0|}-\frac{w\cdot (z-z_0)}{|z-z_0|}\right)=0</math> | ||
+ | Ha ''h''(''z'')=(''z''-''z''<sub>0</sub>)/|''z''-''z''<sub>0</sub>|, ami a komplex "egységgömbön" "futó" függvény, akkor a komplex szorzás tulajdonságai miatt: | ||
+ | :<math>\lim\limits_{z\to z_0}\left(h(z)\cdot \left(\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-w\right)\right)=0</math> | ||
+ | Innen a következő gondolatunk támadhat. Teljesen az egyváltozós valós derivált tulajdonságait mutató deriváltfogalmat kapunk, ha bevezetődne a következő | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''Definíció''' - ''Komplex differenciálhatóság, komplex derivált'' - Legyen ''f'' a ''z''<sub>0</sub> egy környezetében értelmezett függvény. Azt mondjuk, hogy ''f'' '''C'''-deriválható ''z''<sub>0</sub>-ban és deriváltja a ''w'' szám, ha | ||
+ | :<math>\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=w</math> | ||
+ | |||
+ | Most gondoljuk végig, hogy milyen kapcsolatban van az ''R'''- és a '''C'''-deriválhatóság. Ha a fenti gondolamenetet felfelé nézzük, akkor a ''h''(''z'') korlátossága miatt a "korlátos szor nullához" tartó függvényt kapunk, így a szorzat határértéke 0. Persze ehhez kellene a "korlátos szor nullához tartó" lemma komplex szorzásra. | ||
+ | |||
+ | Ha lefelé gondolkodunk, akkor indirekten kell eljárnunk. Tegyük fel, hogy a második tényező nem nulla határértékű. Amikor nem létezik, vagy nem az adott szám a határérték, akkor "cáfoló" sorozatot szoktunk megadni. Az átviteli elv miatt létezik olyan ''z''(''n'') konvergens komplex sorozat, mely nem a 0-hoz tart. De a ''h''(''z''(''n'')) ekkor az egységkörön van, így a szorzat biztosan "elerüli a nullát" (az abszolút értéke nem a 0-hoz tart). Következésképpen: | ||
+ | |||
+ | '''Tétel.''' A definícióbeli ''f'' pontosan akkor komplex differenciálható, ha differenciálható és a deriváltja komplex szám (mátrix reprezentációja). Továbbá ''f'' pontosan akkor komplex differenciálható, ha differenciálható és a parciális deriváltjai teljesítik a Cauchy-Riemann-egyenleteket. | ||
+ | |||
+ | '''Feladat.''' Komplex deriváljuk az ''f''(''z'') = ''z''<sup>n</sup> függvényt! | ||
+ | |||
+ | '''Feladat.''' Komplex deriválható-e: <math>\scriptstyle{f(z)=z\cdot\overline{z}}</math>, vagy a <math>\scriptstyle{f(z)=z^2\cdot\overline{z}}</math>? | ||
+ | |||
+ | '''Feladat.''' Igazoljuk, hogy ha ''f'' korlátos komplex függvény a ''D'' ⊆ '''C''' halmazon és lim<sub>w</sub>''g'' = 0, akkor lim<sub>w</sub> ''fg'' = 0. (w ∈ int D). | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
==Elemi függvények== | ==Elemi függvények== | ||
A lap 2012. november 2., 19:16-kori változata
Tartalomjegyzék |
Differenciálhatóság
__TOC__
R-differenciálhatóság
Legyen f : C ⊃ C komplex függvény. Ekkor f azonosítható az
vektorértékű kétváltozós függvénnyel az
- f(z) = f(x + iy) = u(x,y) + iv(x,y)
szerint.
függvény abban az értelemen R-differenciálható, ahogy egy RN RM függvény differenciálhatóságát definiáltuk. Ekkor például a hozzáadás, mint affin függvény R-differenciálható, és R-differenciálja az identitás:
akkor
A komplex számmal szorzás R-differenciálját közvetlenül a definíciójából számíthatjuk ki:
akkor
Rendkívül érdekes észrevétel tanúi lehetünk ekkor. z w
z R-deriváltja maga w komplex számnak megfelelő mátrix, azaz
ha mátrixreprezentációt veszünk. Sőt, visszanézve ez az összeadásra is igaz:
Feladat. Számítsuk ki az f(z) = z2 R-differenciálját!
Legyen z = x + i y. Ekkor z2 = x2 - y2 +i(2xy)
Feladat. Számítsuk ki az R-differenciálját!
Ha z = x + i y, akkor , így:
És ezzel már ki is mondhatjuk a Cauchy-Riemann-féle szükséges feltételt:
- Annak a szükséges feltétele, hogy az f:R2
R2 R-differenciálható függvény differenciálja egy komplex szám mátrixreprezentációja legyen, az, hogy:
és
C-differenciálhatóság
A fenti példa motiválja a C-differenciálhatóság fogalmát. Legyen a szituáció az előbbi, azaz legyen f(z) totálisan differenciálható (mint kétváltozós függvény) a z0 pontban és a Jacobi-mátrixa ott legyen a w ∈ C szám mátrixreprezentációja. Ekkor
Itt w(z-z0) egyfelől a mátrixszorzás, másfelől a komplex szorzás. Ekkor:
Ha h(z)=(z-z0)/|z-z0|, ami a komplex "egységgömbön" "futó" függvény, akkor a komplex szorzás tulajdonságai miatt:
Innen a következő gondolatunk támadhat. Teljesen az egyváltozós valós derivált tulajdonságait mutató deriváltfogalmat kapunk, ha bevezetődne a következő
Definíció - Komplex differenciálhatóság, komplex derivált - Legyen f a z0 egy környezetében értelmezett függvény. Azt mondjuk, hogy f C-deriválható z0-ban és deriváltja a w szám, ha
Most gondoljuk végig, hogy milyen kapcsolatban van az R'- és a C-deriválhatóság. Ha a fenti gondolamenetet felfelé nézzük, akkor a h(z) korlátossága miatt a "korlátos szor nullához" tartó függvényt kapunk, így a szorzat határértéke 0. Persze ehhez kellene a "korlátos szor nullához tartó" lemma komplex szorzásra.
Ha lefelé gondolkodunk, akkor indirekten kell eljárnunk. Tegyük fel, hogy a második tényező nem nulla határértékű. Amikor nem létezik, vagy nem az adott szám a határérték, akkor "cáfoló" sorozatot szoktunk megadni. Az átviteli elv miatt létezik olyan z(n) konvergens komplex sorozat, mely nem a 0-hoz tart. De a h(z(n)) ekkor az egységkörön van, így a szorzat biztosan "elerüli a nullát" (az abszolút értéke nem a 0-hoz tart). Következésképpen:
Tétel. A definícióbeli f pontosan akkor komplex differenciálható, ha differenciálható és a deriváltja komplex szám (mátrix reprezentációja). Továbbá f pontosan akkor komplex differenciálható, ha differenciálható és a parciális deriváltjai teljesítik a Cauchy-Riemann-egyenleteket.
Feladat. Komplex deriváljuk az f(z) = zn függvényt!
Feladat. Komplex deriválható-e: , vagy a
?
Feladat. Igazoljuk, hogy ha f korlátos komplex függvény a D ⊆ C halmazon és limwg = 0, akkor limw fg = 0. (w ∈ int D).
Elemi függvények
Hatványfüggvények
A
típusú függvények komplex hatványfüggvények. n ∈ Z esetén, komplex deriváltjuk kiszámítható, n ≠ -1 esetben komplex primitív függvényük is van a következő értelemben:
Mivel
ezért n ≠ -1 esetén az az F(z) függvény, melyre nem más, mint
ahol C komplex konstans. n ≠ -1-re nincs primitív függvénye, mert a logaritmus nem egyértékű a komplex számok között.
Komplex vonalintegrál értelmezhető a G: [a,b] C folytonos függvény, mint görbe esetén azzal a különlegességgel, hogy a szorzás a komplex szorzás:
Feltéve persze, hogy létezik és véges. Itt zi mindig a G görbe valamely pontját jelöli, amit az [a,b] egy felosztásának osztópontjainak G általi képeiből kapunk.
Ekkor fennáll a komplex Newton-Leibniz-formula. Ha a G görbe olyan nyílt halmazban halad, melyben az f-nek van primitív függvénye (egyértékű függvénye!) és f komplex integrálható, akkor z1 és z2 a végpontok esetén (a és b képe), a komplex integrál kiszámítható így:
Ha a görbe belép az f értelmezési tartományának olyan részére, melyben a függvénynek nincs egyértelmű primitív függvénye, akkor az integrál értéke függhet a G úttól.
1. Feladat. Legyen G a 3 középpontú, 1 sugarú kör felső félköre (pozitív irányítással). Számítsuk ki a
integrált.
2. Feladat. Legyen G az origó körüli 2 sugarú kör vonal. Mennyi az
- a)
és a b)
integrál.
A hatványfüggvények inverzei szintén nem egyértékű függvények.
Exponenciális függvény
Ebbőkkiderül az exponenciális függvény sok tulajdonsága. Például, ha z = x + iy, akkor
Ebből rögtön következik, hogy komplex exponenciális függvény periodikus, periódusa a p = 2πi:
3. Feladat. Oldjuk meg az
egyenletet!
Írjuk át 1+i-t exponenciális alakba:
így
4. Feladat. Oldjuk meg az
egyenletet!
Komplex logaritmus és a reciprok integrálja
Tekintsük a
hozzárendelést! Ha w-t exponenciális alakban írjuk, megfeleltethetjük egymásnak a z algebrai alakját w trigonometrikus alakjával:
azaz
és
Ebből is látható, hogy a fordított leképezés végtelen sok értkű, hiszen ha y1 = 2π + y, akkor w(x+iy)= w(x+iy1 ). Ekkor a Riemann-felület egy végtelen sok Riemann-levélből áll.
Feladat. Számítsuk ki az alábbi integrálokat:
ahol G1 az egységkör a + irányban i-től -i-ig, G2 az egységkör a - irányban i-től -i-ig.
ahol Log a logaritmus főrésze, hisz a görbe a egy Rieman-levélen belül marad, míg
mivel itt áthalad a görbe a következő Riemann-levélre.
Más számítással:
Trigonometikus függvények
Világos, hogy valós φ-re:
A hiperbolikus függvényekhez hasonlóan a trigonometrikus függvények is előállnak de a komplex exponenciális segítségével:
5. Feladat. Igazoljuk, hogy fennáll
6. Feladat. Oldjuk meg az
egyenletet!
Hiperbolikus függvények
7. Feladat. Határozzuk meg az w = sh(iz) függvény valós és képzetes részét!
Mo.
8. Feladat. G az egységkör. Számítsuk ki
Mo.