Szerkesztő:Mozo/Linalg gyakorló 1.
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Alterek) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Alterek) |
||
| 16. sor: | 16. sor: | ||
:<math>\dim \langle W_1,W_2 \rangle\leq|B'\cup D\cup C'|=|B'\cup D\cup D\cup C'|<|B'|+|D|+|D|+|C'|=\dim W_1 +\dim W_2</math> | :<math>\dim \langle W_1,W_2 \rangle\leq|B'\cup D\cup C'|=|B'\cup D\cup D\cup C'|<|B'|+|D|+|D|+|C'|=\dim W_1 +\dim W_2</math> | ||
hiszen D elemeit kétszer számoltuk. | hiszen D elemeit kétszer számoltuk. | ||
| + | |||
| + | ==Egyenletrendszerek== | ||
| + | '''1.''' | ||
| + | :<math> x-y+z=0\,</math> | ||
| + | :<math>-3x+2y-z=0\,</math> | ||
| + | :<math>-2x+y+az=-1\,</math> | ||
| + | :<math>\begin{bmatrix} | ||
| + | 1 & -1 & 1 & 0\\ | ||
| + | -3 & 2 & -1 & 0\\ | ||
| + | -2 & 1 & a & -1 | ||
| + | \end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix} | ||
| + | 1 & -1 & 1 & 0\\ | ||
| + | 0 & -1 & 2 & 0\\ | ||
| + | 0 & -1 & a+2 & -1 | ||
| + | \end{bmatrix} \sim\begin{bmatrix} | ||
| + | 1 & -1 & 1 & 0\\ | ||
| + | 0 & -1 & 2 & 0\\ | ||
| + | 0 & 0 & a & -1 | ||
| + | \end{bmatrix}</math> | ||
| + | |||
| + | Ax=b-nek pontosan akkor van megoldása, ha r(A)=r(A|b). r(A) az oszlopok által kifeszített altér dimenziója. | ||
| + | :<math>3\leq r(A|b)\leq 3</math> | ||
| + | hisz egyrészt csak háromemeletesek, másrészt van három független (1.,2.,4. oszlop). r(A)=3 pontosan akkor, ha a=-1. Ezesetben pedig valóban 1 megoldás van, mert det(A) ≠ 0. | ||
| + | |||
| + | Megoldás: x_0+Ker(A), Ker(A)={0}, mert A invertálható: | ||
| + | |||
| + | x_0=(1,2,1) | ||
| + | |||
| + | |||
| + | '''2.''' | ||
| + | :<math>2x+4y=-2\,</math> | ||
| + | :<math>-y+z=1\,</math> | ||
| + | :<math>x+y+z=b\,</math> | ||
| + | |||
| + | :<math>[\mathbf{A}|\mathbf{y}]\sim\begin{bmatrix} | ||
| + | 2 & 4 & 0 & -2\\ | ||
| + | 0 & -1 & 1 & 1\\ | ||
| + | 1 & 1 & 1 & b | ||
| + | \end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix} | ||
| + | 1 & 2 & 0 & -1\\ | ||
| + | 0 & -1 & 1 & 1\\ | ||
| + | 0 & -1 & 1 & b+1 | ||
| + | \end{bmatrix} \sim\begin{bmatrix} | ||
| + | 1 & 2 & 0 & -1\\ | ||
| + | 0 & -1 & 1 & 1\\ | ||
| + | 0 & 0 & 0 & b | ||
| + | \end{bmatrix}</math | ||
| + | |||
| + | Megoldhatóság: b=0 | ||
| + | |||
| + | Megoldások száma: végtelen, mert dimKer(A)=3-dimIm(A)=3-2=1 | ||
| + | |||
| + | Megoldások: inhomogén: (-1,0,1). Ker(A)={t(-2,1,1)} | ||
A lap 2009. március 12., 18:53-kori változata
Alterek
1. Igazolja, hogy ha W1 és W2 altér V-ben, akkor
altér
Ugyanis, ha u,v ∈ W1∩W2, akkor u,v ∈W1 és u,v ∈ W2, de ezek zártak az összeadásra és a számmal való szorzásra, ezért: u+v ∈ W1 és u+v ∈ W2,, azaz u+v ∈ W1∩W2 és λ.u ∈ W1 és λ.u ∈ W2, azaz λ.u∈ W1∩W2,.
2. Igazoljuk, hogy ha W1 és W2 altér V-ben és W1∩W2, ≠ {0}, akkor
Először belátjuk, hogy
ha B bázis W1-ben és C bázis W2-ben BUC generátorrendszere 
-nek, de nem nagyobb a számossága, mint |B|+|C|
Most belátjuk, a szigorú egyenlőtlenséget. W1∩W2 altér mindkét altérben, ezért ha a metszet nem 0, akkor egy D ⊆ W1∩W2 bázis kiegészíthető W1 bázisává és W2 bázisává: B'UD és DUC'-vel. Feltehető, hogy B' elemei különböznek C' elemeitől, mert ha nem, akkor különbözőkkémeg nyújthatók.
hiszen D elemeit kétszer számoltuk.
Egyenletrendszerek
1.
Ax=b-nek pontosan akkor van megoldása, ha r(A)=r(A|b). r(A) az oszlopok által kifeszített altér dimenziója.
hisz egyrészt csak háromemeletesek, másrészt van három független (1.,2.,4. oszlop). r(A)=3 pontosan akkor, ha a=-1. Ezesetben pedig valóban 1 megoldás van, mert det(A) ≠ 0.
Megoldás: x_0+Ker(A), Ker(A)={0}, mert A invertálható:
x_0=(1,2,1)
2.
![[\mathbf{A}|\mathbf{y}]\sim\begin{bmatrix}
2 & 4 & 0 & -2\\
0 & -1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & b
\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}
1 & 2 & 0 & -1\\
0 & -1 & 1 & 1\\
0 & -1 & 1 & b+1
\end{bmatrix} \sim\begin{bmatrix}
1 & 2 & 0 & -1\\
0 & -1 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & b
\end{bmatrix}</math
Megoldhatóság: b=0
Megoldások száma: végtelen, mert dimKer(A)=3-dimIm(A)=3-2=1
Megoldások: inhomogén: (-1,0,1). Ker(A)={t(-2,1,1)}](/upload/math/3/a/a/3aadf5c4e3b0fcc7978dec894061f18c.png)
