Szerkesztő:Mozo/Linalg gyakorló 1.

A lap 2009. március 12., 19:15-kori változata

Alterek

1. Igazolja, hogy ha W₁ és W₂ altér V-ben, akkor

altér

Ugyanis, ha u,v ∈ W₁∩W₂, akkor u,v ∈W₁ és u,v ∈ W₂, de ezek zártak az összeadásra és a számmal való szorzásra, ezért: u+v ∈ W₁ és u+v ∈ W₂,, azaz u+v ∈ W₁∩W₂ és λ.u ∈ W₁ és λ.u ∈ W₂, azaz λ.u∈ W₁∩W₂,.

2. Igazoljuk, hogy ha W₁ és W₂ altér V-ben és W₁∩W₂, ≠ {0}, akkor

Először belátjuk, hogy

ha B bázis W₁-ben és C bázis W₂-ben BUC generátorrendszere -nek, de nem nagyobb a számossága, mint |B|+|C|

Most belátjuk, a szigorú egyenlőtlenséget. W₁∩W₂ altér mindkét altérben, ezért ha a metszet nem 0, akkor egy D ⊆ W₁∩W₂ bázis kiegészíthető W₁ bázisává és W₂ bázisává: B'UD és DUC'-vel. Feltehető, hogy B' elemei különböznek C' elemeitől, mert ha nem, akkor különbözőkkémeg nyújthatók.

hiszen D elemeit kétszer számoltuk.

Egyenletrendszerek

1.

Ax=b-nek pontosan akkor van megoldása, ha r(A)=r(A|b). r(A) az oszlopok által kifeszített altér dimenziója.

hisz egyrészt csak háromemeletesek, másrészt van három független (1.,2.,4. oszlop). r(A)=3 pontosan akkor, ha a=-1. Ezesetben pedig valóban 1 megoldás van, mert det(A) ≠ 0.

Megoldás: x_0+Ker(A), Ker(A)={0}, mert A invertálható:

x_0=(1,2,1)

2.

Megoldhatóság: b=0

Megoldások száma: végtelen, mert dimKer(A)=3-dimIm(A)=3-2=1

Megoldások: inhomogén: (-1,0,1). Ker(A)={t(-2,1,1)}

Sajátértékfeladatok

1. Legyen A az x+y=0 egyenesre tükrötés operátora. Számítsa ki az

leképezés sajátértékeit és sajátvektorait!