Matematika A1a 2008/7. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Folytonosság és függvényműveletek) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Bolzano-tétel) |
||
135. sor: | 135. sor: | ||
'''Bolzano-tétel''' Intervallumon értelmezett, negatív és pozitív értékeket is felvevő folytonos függvénynek van zérushelye. | '''Bolzano-tétel''' Intervallumon értelmezett, negatív és pozitív értékeket is felvevő folytonos függvénynek van zérushelye. | ||
− | + | A Bolzano-tételt olyan alakban is meg lehet fogalmazni, hogy folytonos függvény két függvényértéke között minden értéket felvesz. Ezt néha Bolzano--Darboux-tételnek is nevezik amiatt, mert a most megfogalmazott tulajdonság az úgy nevezett Darboux-folytonosság vagy Darboux-tulajdonság. | |
− | A feltételek nem hagyhatók el. Pl. sin periodikus és így nem injektív, bár folytonos. Pl. sgn(x)(|x|+1) szig. mon. nő, de nem folytonos. | + | '''Példa.''' Igazoljuk, hogy az intervallumon injektív és folytonos függvény szigorúan monoton. |
+ | |||
+ | ''Ugyanis,'' feltehető, hogy ilyen a helyzet: létezik <math>x_1 < x_2 < x_3</math> az I-ben, hogy <math>f(x_1)<f(x_3)<f(x_2)</math>. De ekkor az <math>f(x_3)</math> ∈<math> [f(x_1),f(x_2)]</math> miatt létezik ''u'' ∈ <math> [x_1,x_2]</math>, hogy <math>f(u)=f(x_3)</math>, ami miatt f rögtön nem injektív. | ||
+ | |||
+ | A feltételek nem hagyhatók el. Pl. sin periodikus és így nem injektív, bár folytonos. Pl. sgn(x)(|x|+1) szig. mon. nő, de nem folytonos. | ||
+ | |||
+ | '''Példa.''' Igazoljuk, hogy ha f:[0,1] <math>\to</math> [0,1] folytonos, akkor van olyan ''u'' ∈ [0,1], hogy f(u)=u (azaz van fixpontja). | ||
+ | |||
+ | ''Ugyanis,'' transzformáljuk a függvényt: g(x):=f(x)-x. Ekkor g folytonos és | ||
+ | :<math>f(x)=x\quad\Leftrightarrow\quad g(x)=0\,</math> | ||
+ | de | ||
+ | :<math>g(0)=f(0)-0\geq 0</math> | ||
+ | :<math>g(1)=f(1)-1\leq 1-1=0</math> | ||
+ | Tehát a Bolzano-tétek miatt van zérushelye g-nek, azaz fixpontja f-nek. | ||
+ | |||
+ | |||
[[Kategória:Matematika A1]] | [[Kategória:Matematika A1]] |
A lap 2009. március 25., 09:29-kori változata
Tartalomjegyzék |
Pontbeli folytonosság
Definíció. Azt mondjuk, hogy az f: R R függvény folytonos az értelmezési tartománya egy u pontjában, ha
Folytonos egy függvény, ha az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos.
Példa. x folytonos.
Legyen u > 0 és ε > 0. Legyen egyelőre δ tetszőlges. Ha x > 0 olyan, hogy |x - u| < δ, akkor
tehát az ε-hoz a δ=ε/(\|u)-t kell választanunk.
Ha u=0, akkor
tehát az ε-hoz a δ=ε2-t kell választanunk.
Példa. abs: x |x| folytonos. Ezt azzal látjuk be, hogy az abszolútérték következő megadását tekintjük:
Tetszőleges u pontra igaz a következő becslés:
mert a háromszög egyenlőtlenség miatt:
azaz
illetve
azaz
Tehát
Ezért ha δ:=ε, akkor:
Heine-féle jellemzés. Az f: R R függvény folytonos az értelmezési tartománya egy u pontjában, ha
Ebből kapjuk azt a rendkívül hasznos eszközt, mellyel a nemfolytonosságot jellemezni tudjuk:
Pontbeli nemfolytonosság jellemzése. Az f: R R függvény nem folytonos az értelmezési tartománya egy u pontjában, ha
- létezik olyan sorozat, hogy bár , de .
Példa.
Nem folytonos a 0-ban.
Hiszen, ha xn a pozitívokon keresztül tart a 0-ba, akkor f(xn)≡+1, miközben f(0)=0≠+1.
Példa.
nem folytonos a 0-ban.
Hiszen, ha
akkor a pozitívok felől, de
Megjegyezzük, hogy akárhogy is definiálnánk f(0)-t, a függvény nem lenne folytonos, mert ha f(0)≠+1, akkor a fenti sorozat ellenpélda, ha f(0)=+1, akkor az (1/πn) sorozat ellenpélda (mert ekkor ).
Folytonosság és műveletek
Folytonosság és alapműveletek
FIA. A folytonosság invariáns az alapműveletekre.
Emiatt minden polinomfüggvény és racionális törtfüggvény folytonos. Ehhez csak egyetlen függvény, az identitás folytonosságát kell belátni.
Folytonosság és függvényműveletek
A függvényműveletek közül a legfontosabb, a függvénykompozíció:
Legyen f,g: R R u ∈ Dom(fg). Ha g folytonos u-ban és f folytonos g(u)-ban, akkor fg folytonos u-ban.
A másik az injektív függvények esetén az inverz függvény képzés.
Injektív egy f függvény, ha f(x1) = f(x2)-ből x1 = x2 következik az f értelmezési tartományában lévő minden x1 és x2-re. Ezt a tulajdonásgok használtuk, amikor azt írtuk:
vagy
Például szigorúan monoton függvény biztosan injektív. Injektív f inverze:
Később belátjuk, hogy intervallumon értelmezett injektív és folytonos függvény inverze folytonos. Intervallumon szigorú monotonitásból azonban még nem folytonos f esetén is következik az intervallumon folytonos inverz.
Állítás. Ha f: I R szigorúan monoton, akkor az inverze folytonos.
Ugyanis, Legyen f szig. mon. növő és v=f(u)-ban f-1 balról nem folytonos (ha nincs baloladala, akkor jobbról). Ekkor létezik Ran(f)∩(-&infty;,v]-ben olyan (yn) konvergens sorozat, mely v-hez tart, de f-1(yn)=xn nem tart u-hoz. Az inverz is szigorúan monoton növekvő, így megtartja a rendezés, azaz (xn) is (-&infty;,u]-ban halad. Korlátos is, mert min(yn) képe a képek egy alsó korlátja is lesz. Emiatt (xn)-nek a B--W-tétel miatt van
konvergens részsorozata (ha liminf(xn) = u-lenne, akkor konvergens lenne!). Eszerint akkor egy liminf(xn) < w < u számra igaz, hogy a (w,u] intervallumban a részsoeozatnak csak véges sok tagja van, ahogy az (f(w),f(u)] intervallumban is csak véges sok képe. De ez ellentmond annak, hogy a részsorozat képe az u-hoz tart.
Példa. Folytonosan invertálható-e az alábbi függvény? Indokoljuk a fenti tétel nélkül!
Megoldás. Persze, hisz a negatívokon invertálható és csak negatív értéket vesz fel. A pozitívokon szintén és szintén csak pozitív értékeket vesz fel. A 0-beli érték az előző képhatlmazokon kívül esik (a 0). Az inverz:
Ez a függvény mindenütt folytonos, mert a gyök az, és a 0-ban izolált pontja van, ahol a függvények triviálisan folytonosak.
Bolzano-tétel
Bolzano-tétel Intervallumon értelmezett, negatív és pozitív értékeket is felvevő folytonos függvénynek van zérushelye.
A Bolzano-tételt olyan alakban is meg lehet fogalmazni, hogy folytonos függvény két függvényértéke között minden értéket felvesz. Ezt néha Bolzano--Darboux-tételnek is nevezik amiatt, mert a most megfogalmazott tulajdonság az úgy nevezett Darboux-folytonosság vagy Darboux-tulajdonság.
Példa. Igazoljuk, hogy az intervallumon injektív és folytonos függvény szigorúan monoton.
Ugyanis, feltehető, hogy ilyen a helyzet: létezik x1 < x2 < x3 az I-ben, hogy f(x1) < f(x3) < f(x2). De ekkor az f(x3) ∈[f(x1),f(x2)] miatt létezik u ∈ [x1,x2], hogy f(u) = f(x3), ami miatt f rögtön nem injektív.
A feltételek nem hagyhatók el. Pl. sin periodikus és így nem injektív, bár folytonos. Pl. sgn(x)(|x|+1) szig. mon. nő, de nem folytonos.
Példa. Igazoljuk, hogy ha f:[0,1] [0,1] folytonos, akkor van olyan u ∈ [0,1], hogy f(u)=u (azaz van fixpontja).
Ugyanis, transzformáljuk a függvényt: g(x):=f(x)-x. Ekkor g folytonos és
de
Tehát a Bolzano-tétek miatt van zérushelye g-nek, azaz fixpontja f-nek.