Matematika A3a 2009/1. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Implicit megadású görbe) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Implicit megadású görbe) |
||
10. sor: | 10. sor: | ||
:Az addhok módszer jellegzetes alakú F függvényekre ad alkalmas megoldásokat úgy, hogy létezzen ''p'':<math>I</math> <math>\to</math> ''G'', ''t'' <math>\mapsto</math> (''x''(''t''),''y''(''t'')) ráképezés, melyre | :Az addhok módszer jellegzetes alakú F függvényekre ad alkalmas megoldásokat úgy, hogy létezzen ''p'':<math>I</math> <math>\to</math> ''G'', ''t'' <math>\mapsto</math> (''x''(''t''),''y''(''t'')) ráképezés, melyre | ||
:<math>F(x(t),y(t))=0</math> | :<math>F(x(t),y(t))=0</math> | ||
− | minden t-re. | + | minden t-re. |
+ | |||
+ | ====Síkgörbe==== | ||
'''1. feladat''' | '''1. feladat''' | ||
17. sor: | 19. sor: | ||
egyenletű görbe néhány paraméterezését! | egyenletű görbe néhány paraméterezését! | ||
− | :''Mo.'' A cos<sup>2</sup>''t'' + sin<sup>2</sup>''t'' = 1 azonosságot kell módosítani alkalmas módon. | + | :''Mo.'' "Polárkoordináták" A cos<sup>2</sup>''t'' + sin<sup>2</sup>''t'' = 1 azonosságot kell módosítani alkalmas módon. |
::<math>x=\sqrt{2}\,\cos t</math> | ::<math>x=\sqrt{2}\,\cos t</math> | ||
::<math>y=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin t</math> | ::<math>y=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin t</math> | ||
− | Egy másik szakaszonként értelmezett paraméterezéshez jutunk, ha az implicitfüggvény tétel szellemében kifejezzük az egyik változót: | + | "Explicit" Egy másik szakaszonként értelmezett paraméterezéshez jutunk, ha az implicitfüggvény tétel szellemében kifejezzük az egyik változót: |
::<math>x=t\,</math>, <math>t\in[-\sqrt{2},+\sqrt{2}]</math> | ::<math>x=t\,</math>, <math>t\in[-\sqrt{2},+\sqrt{2}]</math> | ||
::<math>y=\pm\frac{1}{2}\sqrt{2-t^2}</math> | ::<math>y=\pm\frac{1}{2}\sqrt{2-t^2}</math> | ||
+ | |||
+ | '''2. feladat''' | ||
+ | Adjuk meg az | ||
+ | <math>x^2+y^2=4\;</math> | ||
+ | egyenletű görbe ívhossz-paraméterezését! | ||
+ | |||
+ | :''Mo.'' Kör esetén a ''t'' polárkoordinátából úgy lesz ''s'' ívhossz, hogy beszorozzuk a kör sugarával: ''s'' = 2''t''. Ekkor | ||
+ | ::<math>x=2\cos \frac{s}{2}</math> | ||
+ | ::<math>y=2\sin \frac{s}{2}</math> | ||
+ | |||
+ | ====Térgörbe==== | ||
Térben a görbét két egyenlettel adhatunk meg: | Térben a görbét két egyenlettel adhatunk meg: | ||
29. sor: | 42. sor: | ||
:Például alkalmas (a,b,c) pont közelében az egyik változó, mondjuk az x tetszőlegesnek tekinthető és a többi ezzel a tétel alapján kifejezhető: ''x'' = ''t'' és ''y'' = ''f''(''t''), ''z'' = ''g''(''t''). | :Például alkalmas (a,b,c) pont közelében az egyik változó, mondjuk az x tetszőlegesnek tekinthető és a többi ezzel a tétel alapján kifejezhető: ''x'' = ''t'' és ''y'' = ''f''(''t''), ''z'' = ''g''(''t''). | ||
− | ''' | + | '''3. feladat.''' |
Adjuk meg az | Adjuk meg az | ||
:<math>z = \mathrm{arcsin}\,\frac{x}{2}\;</math> | :<math>z = \mathrm{arcsin}\,\frac{x}{2}\;</math> |
A lap 2009. szeptember 10., 08:58-kori változata
Tartalomjegyzék |
Görbe
A G ⊆ R3 (ill. R2) halmazt görbének nevezünk, ha van olyan I intervallum és p:I G függvény, mely ráképez G-re és differenciálható. Sokszor (pl. a komplex analízisben) megengedjük, hogy a p függvény bár folytonos legyen, de véges sok helyen ne legyen differenciálható (szakaszonként differenciálható görbe). A G görbe esetén a p függvényt paraméterezésnek is nevezzük és sokszor p helyett egy r = r(t) képlettel hivatkozunk rá. Itt a t a változó.
Implicit megadású görbe
Görbét megadhatunk a síkon egyenletével:
Paraméterezésre két lehetőségünk van. Az implicitfüggvény tétel és valamely addhok módszer.
- Az implicitfüggvény tétel esetén alkalmas pont (a,b) közelében az egyik változót paraméternek választhatjuk, mondjuk x = t, a másikat t-vel való kifejezhetőségét az implicitfüggvény tétel adja: y = f(t) és F(t,f(t))=0, így p(t)=(t,y(t)).
- Az addhok módszer jellegzetes alakú F függvényekre ad alkalmas megoldásokat úgy, hogy létezzen p:I G, t (x(t),y(t)) ráképezés, melyre
- F(x(t),y(t)) = 0
minden t-re.
Síkgörbe
1. feladat Adjuk meg az egyenletű görbe néhány paraméterezését!
- Mo. "Polárkoordináták" A cos2t + sin2t = 1 azonosságot kell módosítani alkalmas módon.
"Explicit" Egy másik szakaszonként értelmezett paraméterezéshez jutunk, ha az implicitfüggvény tétel szellemében kifejezzük az egyik változót:
- ,
2. feladat Adjuk meg az egyenletű görbe ívhossz-paraméterezését!
- Mo. Kör esetén a t polárkoordinátából úgy lesz s ívhossz, hogy beszorozzuk a kör sugarával: s = 2t. Ekkor
Térgörbe
Térben a görbét két egyenlettel adhatunk meg:
Ekkor is használható az implicitfüggény tétel, persze ezt csak kellő körültekintéssel lehet csak alkalmazni.
- Például alkalmas (a,b,c) pont közelében az egyik változó, mondjuk az x tetszőlegesnek tekinthető és a többi ezzel a tétel alapján kifejezhető: x = t és y = f(t), z = g(t).
3. feladat. Adjuk meg az
egyenletekkel megadott első térnyolcadba eső görbe egy paraméterezését!
Célszerű az x = 2 sin t helyettesítéssel próbálkozni. Ekkor y = 2 cos t és z = t.
Kisérő triéder
Egy
differenciálható paraméterezés deriváltja a sztenderd (i,j,k) bázisban azonosítható a Jacobi-mátrixával:
A derivált az érintő irányvektorával azonosítható, ha az nem nullvektor. Ha nullvektor, akkor a görbének aszerint a paraméterezés szerint nem létezik érintője, de más paraméterezés szerint mg létezhet.
A derivált szintén I R3 függvény, mely tovább deriválható, ha az r(t) maga kétszer deriválható volt, ...
A további vizsgálatok valójában nem szétválaszthatak a mechanikától. Az deriváltvektor egyben sebesség is, a második derivált egyben gyorsulás is. A második derivált érintőre merőleges komponense a centripetális gyorsulás (kör középpontja felé mutató gyorsulás):
- érintővektor, a normálsík normálisa
- binormális vektor, a simulósík normálisa
- főnormális, a rektifikáló sík normálisa
A simulókör sugara a centripetális gyorsulásból adódik:
- a görbület a sugár reciproka:
2. feladat.