Matematika A3a 2009/1. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Explicit megadású görbe, kisérő triéder) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Explicit megadású görbe, kisérő triéder) |
||
80. sor: | 80. sor: | ||
Az érintő párhuzamosságának feltétele, hogy a sík normálvektorára '''r'''(t) deriváltja merőleges legyen | Az érintő párhuzamosságának feltétele, hogy a sík normálvektorára '''r'''(t) deriváltja merőleges legyen | ||
− | :<math>1\cdot 2t+ | + | :<math>1\cdot 2t+1\cdot 2+4\cdot(-1)=0\,</math>, <math>t=0\,</math> |
===Ívhossz=== | ===Ívhossz=== |
A lap 2009. október 19., 22:16-kori változata
Tartalomjegyzék |
Görbe
A G ⊆ R3 (ill. R2) halmazt görbének nevezünk, ha van olyan I intervallum és p:I G függvény, mely ráképez G-re és differenciálható. Sokszor (pl. a komplex analízisben) megengedjük, hogy a p függvény bár folytonos legyen, de véges sok helyen ne legyen differenciálható (szakaszonként differenciálható görbe). A G görbe esetén a p függvényt paraméterezésnek is nevezzük és sokszor p helyett egy r = r(t) képlettel hivatkozunk rá. Itt a t a változó.
Implicit megadású görbe
Síkgörbe
Görbét megadhatunk a síkon egyenletével:
Paraméterezésre két lehetőségünk van. Az implicitfüggvény tétel és valamely addhok módszer.
- Az implicitfüggvény tétel esetén alkalmas pont (a,b) közelében az egyik változót paraméternek választhatjuk, mondjuk x = t, a másikat t-vel való kifejezhetőségét az implicitfüggvény tétel adja: y = f(t) és F(t,f(t))=0, így p(t)=(t,y(t)).
- Az addhok módszer jellegzetes alakú F függvényekre ad alkalmas megoldásokat úgy, hogy létezzen p:I G, t (x(t),y(t)) ráképezés, melyre
- F(x(t),y(t)) = 0
minden t-re.
1. feladat Adjuk meg az egyenletű görbe néhány paraméterezését!
- Mo. "Polárkoordináták" A cos2t + sin2t = 1 azonosságot kell módosítani alkalmas módon.
"Explicit" Egy másik szakaszonként értelmezett paraméterezéshez jutunk, ha az implicitfüggvény tétel szellemében kifejezzük az egyik változót:
- ,
2. feladat Adjuk meg az egyenletű görbe ívhossz-paraméterezését!
- Mo. Kör esetén a t polárkoordinátából úgy lesz s ívhossz, hogy beszorozzuk a kör sugarával: s = 2t. Ekkor
Térgörbe
Térben a görbét két egyenlettel adhatunk meg:
Ekkor is használható az implicitfüggény tétel, persze ezt csak kellő körültekintéssel lehet csak alkalmazni.
- Például alkalmas (a,b,c) pont közelében az egyik változó, mondjuk az x tetszőlegesnek tekinthető és a többi ezzel a tétel alapján kifejezhető: x = t és y = f(t), z = g(t).
3. feladat. Adjuk meg az
egyenletekkel megadott első térnyolcadba eső görbe egy paraméterezését!
Célszerű az x = 2 sin t helyettesítéssel próbálkozni. Ekkor y = 2 cos t és z = t.
Explicit megadású görbe, kisérő triéder
Egy
differenciálható paraméterezés deriváltja a sztenderd (i,j,k) bázisban azonosítható a Jacobi-mátrixával:
A derivált az érintő irányvektorával azonosítható, ha az nem nullvektor. Ha nullvektor, akkor a görbének aszerint a paraméterezés szerint nem létezik érintője, de más paraméterezés szerint mg létezhet.
A derivált szintén I R3 függvény, mely tovább deriválható, ha az r(t) maga kétszer deriválható volt, ...
A további vizsgálatok valójában nem szétválaszthatak a mechanikától. Az deriváltvektor egyben sebesség is, a második derivált egyben gyorsulás is. A második derivált érintőre merőleges komponense a centripetális gyorsulás (kör középpontja felé mutató gyorsulás):
- érintővektor, a normálsík normálisa
- binormális vektor, a simulósík normálisa
- főnormális, a rektifikáló sík normálisa
A simulókör sugara a centripetális gyorsulásból adódik:
- a görbület a sugár reciproka:
4. feladat. Adjuk meg az
görbe kísérő triéderét a t paraméterértékhez tartozó helyeken! Hol párhuzamos az érintő az x + 2y + 4z = 4 síkkal?
Mo.
- , ,
végül a főnormális:
Az érintő párhuzamosságának feltétele, hogy a sík normálvektorára r(t) deriváltja merőleges legyen
- ,
Ívhossz
Görbe ívhossza az ívhossz integrálok egy speciális típusa.
- ívhossz:
- f(r) pontonként számértékű függvény integrálja:
Kiszámítása (ha a G görbe egy paraméterezésének kezdő és végpontja t1 és t2)
5. feladat Számítsuk ki a 3. feldatbeli görbe ívhosszát! Hol maximális a görbület?
Mo. (Paraméterezássel) Paraméterezése:
- ahol ,
(Szimmetriákkal) A dr elemi érintővektor mindenhol 1 iránytangensű szögben hajlik az [xy] síkhoz, erre eső vetülete pedig mindig ugyanakkora. A ívhossz tehát egy derékszögű háromszög átfogója.
Ívhossz paraméterezésben a görbület az mennyiség. t:0->2π, akkor s:0->10π, azaz t=s/5.
Felületek
6. Paraméterezzük az alábbi implicit megadású felületeket:
Mo.
- , ,
7. Paraméterezzük a
görbe érintői által kirajzolt felületet!
Mo.
- ,
Házi feladatok
1. Határozza meg az
görbe azon pontjabeli érintőegyenesének egyenletrendszerét, mely a t=1 értékhez tartozik!
2. Mely pontokban párhuzamos a
görbe érintője az x+2y+3z=0 síkkal?
3. Határozzuk meg a
görbe azon pontjait, melyekben az érintő 30˚-os szöget zár be az x=y=z egyenessel!
4. Határozzuk meg a
- ,
györbeszakasz ívhosszát!
5. Hol van az alábbi görbe görbületének és torziójának szélsőértéke?
6. Paraméterezzük a z ill. az y tengely körül körbeforgatott z = y2 parabola által kirajzolt felületet!
7. Paraméterezzük az
görbe érintőegyenesei által kirajzolt felületet!
8. Mely pontokban párhuzamosak ill. merőlegesek az
felület pontbeli "koordinátavonalai" (az ∂r/∂u és ∂r/∂v vektorok)?
9. Mely pontokban párhuzamos az xyz=1 egyenletű felület érintősíkja az x+y+z=5 síkkal?