Matematika A3a 2009/egzakt
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Egzakt egyenlet jellemzése és megoldhatósága) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Definíció) |
||
14. sor: | 14. sor: | ||
:<math>\Phi(x,y)=C\,</math> | :<math>\Phi(x,y)=C\,</math> | ||
egyenlet, ami általában is így lesz ( F(x,y) = C ) ezért előnyös az egzakt forma. | egyenlet, ami általában is így lesz ( F(x,y) = C ) ezért előnyös az egzakt forma. | ||
+ | ==Egzisztancia- és unicitástétel== | ||
+ | '''Tétel.''' Legyen ''P'',''Q'': ''U'' <math>\to</math> '''R''' folytonosan differenciálható függvények, ''Q'' sehol se nulla, grad F = (P,Q) és <math>(x_0,y_0)</math> ∈ ''U''. Ekkor | ||
+ | # a Pdx + Qdy = 0 egyenletnek van a kezdeti feltételt egyértelműen kielégítő megoldása és | ||
+ | # az F(x,y) = C egyenlet <math>(x_0,y_0)</math>-n áthaladó implicit függvénye a Pdx + Qdy = 0 egyenlet <math>y(x_0)=y_0</math> kezdeti feltételt kielégítő megoldása. | ||
+ | ''Biz.'' 1) ''Egzisztencia.'' | ||
+ | :<math>Q(x_0,y_0)=\left.\frac{\partial F}{\partial y}\right|_{(x_0,y_0)}\ne 0</math> | ||
+ | így az implicit függvény tétel szerint, egyértelműen létezik F-nek y=y(x) implicit függvénye az adott pontban és ennek deriváltja: | ||
+ | :<math>y'(x)=-\frac{\;\cfrac{\partial F}{\partial x}(x,y(x))\;}{\cfrac{\partial F}{\partial y}(x,y(x))}=-\frac{P(x,y(x))}{Q(x,y(x))}</math> | ||
+ | Tehát létezik megoldása és y egy megoldása az egyenéletnek. | ||
+ | |||
+ | 2) ''Unicitás.'' Ha létezik megoldása az egyenletnek, akkor a | ||
+ | :<math>y'(x)=-\frac{P(x,y(x))}{Q(x,y(x))}</math> | ||
+ | egyenlet a grad F = (P,Q) miatt | ||
+ | :<math>\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y}y'=0\,</math> | ||
+ | de mivel | ||
+ | :<math>(F(x,y(x)))'=\frac{\partial F}{\partial x}(x,y(x))+y'\frac{\partial F}{\partial y}(x,y(x))\equiv 0\,</math> | ||
+ | ezért az integrálszámítás alaptétele miatt F(x,y(x)) egy konstans függvény, azaz y(x) implicit függvénye az F(x,y)=0 egyenletnek. Ez ez utóbbi egyértelmű, ezért a megoldás is. | ||
+ | |||
+ | '''Megjegyzés.''' Bár a szeparábilis egyenlet egzakt, de a fenti feltétel a megoldádás létezésére sokkal szigorúbb mint a szeparábilisé. | ||
+ | ==Az egzaktság jellemzése== | ||
'''Megjegyzés.''' Az egzakt differenciálegyenletet még | '''Megjegyzés.''' Az egzakt differenciálegyenletet még | ||
:<math>Q(x,y)+P(x,y)y'=0\,</math> ill. <math>Q(x,y)\,\mathrm{d}x+P(x,y)\,\mathrm{d}y=0\,</math> | :<math>Q(x,y)+P(x,y)y'=0\,</math> ill. <math>Q(x,y)\,\mathrm{d}x+P(x,y)\,\mathrm{d}y=0\,</math> |
A lap 2009. november 22., 22:19-kori változata
Tartalomjegyzék |
Definíció
Azt mondjuk, hogy az
differenciálegyenlet egzakt, ha P,Q: U R nyílt halmazon értelmezett függvények (Q sehol sem nulla) úgy, hogy létezik olyan F: U R folytonosan differenciálható függvény, hogy
Példa. Minden
alakú szeparábilis differenciálegyenlet egzakt, hiszen ekkor a megoldásból:
Látható, hogy ekkor a megoldásokat implicit módon adja meg az
egyenlet, ami általában is így lesz ( F(x,y) = C ) ezért előnyös az egzakt forma.
Egzisztancia- és unicitástétel
Tétel. Legyen P,Q: U R folytonosan differenciálható függvények, Q sehol se nulla, grad F = (P,Q) és (x0,y0) ∈ U. Ekkor
- a Pdx + Qdy = 0 egyenletnek van a kezdeti feltételt egyértelműen kielégítő megoldása és
- az F(x,y) = C egyenlet (x0,y0)-n áthaladó implicit függvénye a Pdx + Qdy = 0 egyenlet y(x0) = y0 kezdeti feltételt kielégítő megoldása.
Biz. 1) Egzisztencia.
így az implicit függvény tétel szerint, egyértelműen létezik F-nek y=y(x) implicit függvénye az adott pontban és ennek deriváltja:
Tehát létezik megoldása és y egy megoldása az egyenéletnek.
2) Unicitás. Ha létezik megoldása az egyenletnek, akkor a
egyenlet a grad F = (P,Q) miatt
de mivel
ezért az integrálszámítás alaptétele miatt F(x,y(x)) egy konstans függvény, azaz y(x) implicit függvénye az F(x,y)=0 egyenletnek. Ez ez utóbbi egyértelmű, ezért a megoldás is.
Megjegyzés. Bár a szeparábilis egyenlet egzakt, de a fenti feltétel a megoldádás létezésére sokkal szigorúbb mint a szeparábilisé.
Az egzaktság jellemzése
Megjegyzés. Az egzakt differenciálegyenletet még
- ill.
alakban is szokás írni.
Ez utóbbi egyenletetről azt is mondják, hogy akkor egzakt, ha a Q(x,y)dx + P(x,y)dy kifejezés teljes differenciál, azaz létezik olyan F(x,y) függvény, melynek teljes differenciálja:
Ezt mai jelölésekkel a következőképpen értelmezhetjük. Egy F kétváltozós függvény teljes differenciálja egy lineáris leképezés, mely a sztenderd {(1,0),(0,1)} bázisban felírt koordinátáival nem más, mit a parciális deriváltjainak sormátrixa:
Emiatt a (C) feltétel a következő alakban is írható:
- ill.
Tehát az egzakt egyenletben a (P,Q) függvény potenciálos. Ebből hasznos jellemzést kapunk a vektoranalízisbeli ismereteinkből.
Egzakt egyenlet jellemzése és megoldhatósága
Tétel. Legyen U egyszeresen összefüggő nyílt halmaz, P,Q: U R folytonosan differenciálható függvények. A Pdx + Qdy = 0 egyenlet pontosan akkor egzakt, ha
Az F függvényt, az Pdx + Qdy = 0 egyenlet első integráljának nevezzük.
Ezt a tételt jól ismerjük és a bizonyítását a vektoranalízisben vettük. Sokkal fontosabb azonban, hogy igazoljuk az egyenlet megoldhatóságát ebben az esetben.
Példa
Oldjuk meg az
differenciálegyenletet!
Mo.
Tehát egzakt. Az egyenlet első integrálját megpajuk, ha megoldjuk az
parciális differenciálegyenlet-rendszert. A megoldást paraméteres integrálással kapjuk:
Innen:
Tehát az első integrál: