Szerkesztő:Mozo/A2 gyakorló feladatok 5
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Mo.) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Mo.) |
||
| 32. sor: | 32. sor: | ||
:<math>f(0,y)=-y</math>, azaz <math>\partial_yf(0,0)=-1</math> | :<math>f(0,y)=-y</math>, azaz <math>\partial_yf(0,0)=-1</math> | ||
Ezért a Jacobi-mártix: [1 -1] | Ezért a Jacobi-mártix: [1 -1] | ||
| − | :<math>\frac{\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}-[1\quad -1]\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}{\sqrt{x^2+y^2}}</math> | + | :<math>\frac{\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}-[1\quad -1]\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}-x+y}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{\frac{x^3-y^3-x^3-xy^2+y^3+yx^2}{x^2+y^2}-x+y}{\sqrt{x^2+y^2}}=</math> |
| + | :<math>=\frac{-xy^2+yx^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}=\frac{xy(-y+x}{(x^2+y^2)^{3/2}}</math> | ||
| + | Ez a függvény az (x,0) pontokban azonosan 0, az (x,-x) pontokban nemnulla konstans, azaz nincs határértéke a (0,0)-ban. | ||
| + | |||
| + | == Lokális és tartományi szélsőérték == | ||
| + | |||
| + | Legyen | ||
| + | :<math>f(x,y)=x^3+6xy+y^2+15x\;</math> | ||
| + | a) Hol és milyen lokális szélsőértéke van? | ||
| + | |||
| + | b) Hol és mekkora a [0,1]×[0,1] halmazon a tartományi maximuma és minimuma? | ||
| + | |||
| + | ===Mo.=== | ||
| + | :<math>\nabla f(x,y)</math> | ||
A lap 2015. április 1., 09:26-kori változata
Tartalomjegyzék |
Topologia
1. Igaz-e bármely végtelen sok zárt halmazból álló halmazrendszerre, hogy unioja nyilt?
2. Igaz-e bármely végtelen sok zárt halmazból álló halmazrendszerre, hogy unioja zárt?
3. Miert zárt a [-1;1] intervallum?
4. Van-e olyan halmaz, mely se nem zárt se nem nyílt, ill. olyan, ami nyílt is és zárt is?
Mo.
1. Nem, ellenpélda: {[-1/n,1/n]|n∈N}, ugyanis U{[-1/n,1/n]|n∈N} = [-1;1], mely nem nyílt, ugyanis a -1 pontnak nincs olyan környezete, mely teljes egészében [-1 ;1]-ben lenne.
2. Nem, ellenpélda: {[-1+1/n,1-1/n]|n∈N}, ugyanis U{[-1+1/n,1-1/n]|n∈N} = (-1;1), ugyanis ha x∈(-1;1), akkor lesz olyan [-1+1/n,1-1/n] mely lefedi x-et. (-1;1) nem zárt ugyanis komplementere: (-∞,-1]U[1;∞) nem nyílt, hisz az 1 nek nincs olyan környezet, mely teljes egészében a halmazban lenne.
3. Mert komplementere a (-∞,-1)U(1;∞) halmaz két nyílt halmaz uniója, ami nyílt.
4. Igen, a [0;1) se nem nyílt, se nem zárt (0 neki, 1 a komplementerének nem belső pontja), és az üres és R nyílt-zárt, mert egymás komplementerei és az üres és R nyílt.
Határérték teljes differenciálhatóság
Hol totálisan diferenciálható az
függvény?
Mo.
Az origón kívül differenciálhatóakból van összetéve a differenciálhatósűgot megőrző módokon.
- f(x,0) = x, azaz
és
- f(0,y) = − y, azaz
Ezért a Jacobi-mártix: [1 -1]
![\frac{\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}-[1\quad -1]\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}-x+y}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{\frac{x^3-y^3-x^3-xy^2+y^3+yx^2}{x^2+y^2}-x+y}{\sqrt{x^2+y^2}}=](/upload/math/6/1/5/6152931ce0a6bb8f99a96be8ce17d26b.png)
Ez a függvény az (x,0) pontokban azonosan 0, az (x,-x) pontokban nemnulla konstans, azaz nincs határértéke a (0,0)-ban.
Lokális és tartományi szélsőérték
Legyen
a) Hol és milyen lokális szélsőértéke van?
b) Hol és mekkora a [0,1]×[0,1] halmazon a tartományi maximuma és minimuma?
