Matematika A3a 2008/5. gyakorlat
A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Homogén lineáris d. egyenletrendszer) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Másodrendű lineáris kezdetiérték feladat) |
||
29. sor: | 29. sor: | ||
: <math>\mathcal{L}\{\,\cos(\omega t)\} = \frac {s}{s^2 + \omega^2}</math> | : <math>\mathcal{L}\{\,\cos(\omega t)\} = \frac {s}{s^2 + \omega^2}</math> | ||
− | ==Másodrendű lineáris kezdetiérték feladat== | + | ==Másodrendű állandó együtthatós inhomogén lineáris kezdetiérték feladat== |
'''1.''' | '''1.''' | ||
:<math>y''-y=e^{-t}\qquad\qquad y(0)=1, y'(0)=0\,</math> | :<math>y''-y=e^{-t}\qquad\qquad y(0)=1, y'(0)=0\,</math> | ||
77. sor: | 77. sor: | ||
:<math> | :<math> | ||
y(t)=\frac{50}{81}+\frac{5}{9}t+\frac{31}{81}e^{9t}-2e^t</math> | y(t)=\frac{50}{81}+\frac{5}{9}t+\frac{31}{81}e^{9t}-2e^t</math> | ||
+ | |||
+ | ==Elsőrendű állandó együtthatós inhomogén lineáris differenciálegyenletrendszer kezdetiérték feladattal== | ||
+ | |||
'''3.''' | '''3.''' | ||
:<math>\dot{x_1}=x_1+2x_2</math> | :<math>\dot{x_1}=x_1+2x_2</math> |
A lap 2016. március 6., 23:26-kori változata
Tartalomjegyzék |
Laplace-transzformáció
- t, s>0
Linearitás
Deriváltak
Elemi függvények
Másodrendű állandó együtthatós inhomogén lineáris kezdetiérték feladat
1.
Mo.
Parciális törtekre bontás:
Innen s=1-gyel 3=4C, s=-1-gyel 1=-2A, és s=0-val 1=-A-B+C. Azaz
2.
Mo.
- L(y') = sY − y(0)
- L(y'') = s2Y − sy(0) − y'(0)
A gyököket beírva: s=0-ra B=5/9
s=1-re D=16/(-8)=-2
s=9-re C.8.81=-243+12.27+5 C=31/81
s=2-re A=50/81
Visszatranszf.
Elsőrendű állandó együtthatós inhomogén lineáris differenciálegyenletrendszer kezdetiérték feladattal
3.
A kezdetiérték feltétellel.
Mo.
Összeadva őket:
Ami csak akkor teljesülhet minden s-re, ha X2 = − X1. Innen
És végül
- x1(t) = 2e − t
- x2(t) = − 2e − t
4.
A kezdetiérték feltétellel.
Mo.
- sX1 − 1 = 2X1 + 3X2
- sX2 + 1 = X1 + 4X2
azaz
- X1(s − 2) = 3X2 + 1
- X2(s − 4) + 1 = X1
azaz
- 3X2 + 1 = (X2(s − 4) + 1)(s − 2)
- X2(3 − (s − 4)(s − 2)) = s − 3
4. gyakorlat |
6. gyakorlat |