Matematikai előismeretek 7.
Mozo (vitalap | szerkesztései) (Új oldal, tartalma: „::<sub>''Lásd még: Matematikai előismeretek == Mértani sorozat == :(<math>a_1</math>, <math>a_2</math>, <math>a_3</math>, <math>a_4</math>, ... ) mértani so…”) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Példák) |
||
20. sor: | 20. sor: | ||
:<math>S_n=a_1\frac{q^{n}-1}{q-1}</math> | :<math>S_n=a_1\frac{q^{n}-1}{q-1}</math> | ||
==Példák== | ==Példák== | ||
− | '''1.''' | + | '''1.''' Mértani sorozatot alkotnak-e az alábbi sorozatok? Ha igen, mi a kvóciensük és az első tagjuk? Ha nem, melyik három egymást követő tag hibádzik? |
− | :a) | + | :a) 0,5; 1; 1,5 |
:b) 2, 4, 8, 16 | :b) 2, 4, 8, 16 | ||
− | :c) - | + | :c) -2, 4, -8, 16, -32 |
− | :d) <math>\sqrt{ | + | :d) <math>\sqrt{3}</math>, <math>\sqrt{12}</math>, <math>3\sqrt{3}</math>, <math>4\sqrt{3}</math> |
− | :e) | + | :e) <math>\sqrt{5}</math>, <math>\sqrt{20}</math>, <math>4\sqrt{5}</math> |
− | :f) <math>\cos( | + | :f) <math>\cos(\pi)\,</math>, <math>\sin\frac{\pi}{2}\right)</math>, <math>\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)</math>, <math>\cos 0</math> |
− | :g) <math> | + | :g) <math>\frac{1}{8}</math>, <math>\frac{1}{16}</math>, <math>\frac{1}{32}</math>, <math>\frac{1}{64}</math> |
− | :h) <math>\log_2 | + | :h) <math>\log_2 2\,</math>, <math>\log_2 4\,</math>, <math>\log_2 16\,</math>, <math>\log_2 256\,</math>, |
− | :i) <math>\log_2 2\,</math>, <math>\log_2 4\,</math>, <math>\log_2 | + | :i) <math>\log_2 2\,</math>, <math>\log_2 \frac{1}{4}\,</math>, <math>\log_2 16\,</math>, <math>\log_2 \frac{1}{256}\,</math>, |
− | :j) <math>\ | + | :j) <math>\log_4 3\,</math>, <math>\log_4 9\,</math>, <math>\log_4 81\,</math>, |
− | :k) <math>\ | + | :k) <math>\log_5 \frac{1}{9}</math>, <math>\log_5 9</math>, <math>\log_5 \frac{1}{9}\,</math>, <math>\log_5 9\,</math> |
− | '''2.''' Adjuk meg a ''b'' és ''c'' számok értékét úgy, hogy az <math>a_n=b | + | '''2.''' Adjuk meg a ''b'' és ''c'' számok értékét úgy, hogy az <math>a_n=b\cdot c^n</math> sorozat |
:a) szigorúan monoton növekvő, | :a) szigorúan monoton növekvő, | ||
:b) szigorúan monoton csökkenő (fogyó), | :b) szigorúan monoton csökkenő (fogyó), | ||
44. sor: | 44. sor: | ||
'''3.''' Számítsuk ki az n-edik tagot és az első n tag összegét! | '''3.''' Számítsuk ki az n-edik tagot és az első n tag összegét! | ||
− | :a) <math>a_1=5</math>, <math> | + | :a) <math>a_1=5</math>, <math>q=-4</math>, <math>n=3</math> |
− | :b) <math>a_2=6</math>, <math> | + | :b) <math>a_2=6</math>, <math>q=2</math>, <math>n=5</math> |
− | :c) <math>a_3= | + | :c) <math>a_3=6</math>, <math>q=-3</math>, <math>n=4</math> |
− | :d) <math> | + | :d) <math>a_3=\frac{7}{4}</math>, <math>q=\frac{1}{2}</math>, <math>n=1</math> |
− | :e) <math> | + | :e) <math>a_1=\log_7 \frac{1}{2}</math>, <math>q=3</math>, <math>n=3</math> |
− | :f) <math>a_1=\log_2 \sqrt{2}</math>, <math> | + | :f) <math>a_1=\log_2 \sqrt{2}</math>, <math>q=\log_3 \frac{1}{\sqrt[4]{3}}</math>, <math>n=4</math> |
A lap 2016. október 13., 20:28-kori változata
- Lásd még: Matematikai előismeretek
Mértani sorozat
- (a1, a2, a3, a4, ... )
mértani sorozat, ha van olyan q szám, hogy
- .
Ilyenkor q-t a mértani sorozat kvociensének nevezzük. Megengedjük, hogy q=0 legyen, ekkor a fenti helyett
- a1 tetszőleges, a2 = a3 = ... = 0
Ha (an) mértani sorozat, akkor
nemnegatív tagokra:
- , minden n-re, ha an − 1 is a sorozat tagja.
- , minden n-re és k-ra, ha an − k is a sorozat tagja.
Egy nemnegatív sorozat pontosan akkor mértani sorozat, ha bármely egymás követő három tagja közül a második a számtani közepe az elsőnek és a harmadiknak. Általában pedig pontosan akkor mértani, ha teljesül rá.
A sorozat első n tagjának összege, azaz Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an a következőképpen számítható ki:
Példák
1. Mértani sorozatot alkotnak-e az alábbi sorozatok? Ha igen, mi a kvóciensük és az első tagjuk? Ha nem, melyik három egymást követő tag hibádzik?
- a) 0,5; 1; 1,5
- b) 2, 4, 8, 16
- c) -2, 4, -8, 16, -32
- d) , , ,
- e) , ,
- f) , Értelmezés sikertelen (formai hiba): \sin\frac{\pi}{2}\right)
, , cos0
- g) , , ,
- h) , , , ,
- i) , , , ,
- j) , , ,
- k) , log59, ,
2. Adjuk meg a b és c számok értékét úgy, hogy az sorozat
- a) szigorúan monoton növekvő,
- b) szigorúan monoton csökkenő (fogyó),
- c) monoton növekvő,
- d) monoton csökkenő (fogyó),
- e) periodikus,
- f) konstans,
- g*) csupa pozitív értékű,
- h*) csupa negatív értékű
legyen.
3. Számítsuk ki az n-edik tagot és az első n tag összegét!
- a) a1 = 5, q = − 4, n = 3
- b) a2 = 6, q = 2, n = 5
- c) a3 = 6, q = − 3, n = 4
- d) , , n = 1
- e) , q = 3, n = 3
- f) , , n = 4