|
|
1. sor: |
1. sor: |
− | :''Lásd erről még Serény [http://www.math.bme.hu/%7Esereny/LINKEK/vektanal.ps.gz jegyzetének (ps.gz/dvi)] 30., 34-35., 70-72. oldalán.'' | + | ==Improprius integrál== |
| + | :''Lásd például:'' [http://www.cs.elte.hu/~karolyik/Analizis_Gyakorlatok/41_Improprius_int_feladatsor.pdf elmélet és példák], [http://www.cs.elte.hu/~karolyik/Analizis_Gyakorlatok/42_Improprius_integral_mo.pdf megoldások] De, ezek nagyon nehéz feladatok! |
| | | |
− | A '''V''' = '''R'''<sup>2</sup>-ben, vagy '''R'''<sup>3</sup>-ban olyan matematikai objektumokat hozunk létre, melyek '''V''' minden bázisában felírva egy-egy mátrixszal jellemezhetők, de invariánsak a koordinátarendszer megváltoztatására nézve, azaz mátrixaik egymással vett szorzata (vagy összege, vagy vektorral, számmal vett szorzata) egyenlő a szorzat mátrixával. '''R'''<sup>n</sup>-ben ilyet könnyen találunk: ezek az L('''R'''<sup>n</sup>,'''R'''<sup>n</sup>)-beli lineáris operátorok:
| + | '''Definíció.''' Ha az ''f'': ''I'' \to '''R''' az ''I'' minden korlátos és zárt részintervallumán integráljató (jelben: f ∈ R<sup>loc</sup>(I) ), és az integrálfüggvényeinek létezik és véges a határértéke az I végpontjaiban, akkor azt mondjuk, hogy f '''improprius integrálható I-n''' és '''improprius integrálján''' az |
| + | :<math>\int\limits_{I}f=\lim\limits_{x\to \mathrm{sup}(I)}F(x)-\lim\limits_{x\to \mathrm{inf}(I)}F(x)\,</math> |
| + | számot értjük, ahol F az f egy tetszőleges integrálfüggvénye. |
| | | |
− | '''Definíció.''' Az L('''R'''<sup>n</sup>,'''R'''<sup>n</sup>)-beli lineáris operátorokat tenzoroknak, vagy másodrendű tenzoroknak nevezzük. | + | ===Elemi példák=== |
| + | '''1.''' |
| + | :<math>\int\limits_{0}^1\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x=\lim\limits_{x\to 1}\mathrm{ln}x-\lim\limits_{x\to 0}\mathrm{ln}x=0-(-\infty)=+\infty</math> |
| | | |
| + | azaz nem konvergens. |
| | | |
− | Minthogy a tenzorok maguk is invariánsak, találhatunk velük kapcsolatos további vektor, tenzor vagy skalárinvariánsokat.
| + | '''2.''' |
| + | Ellenben |
| + | a |
| + | :<math>\int\limits_{0}^1\frac{1}{x^r}\,\mathrm{d}x\quad\quad(r<1)</math> |
| + | már létezik, mert |
| + | <math>F(x)=\frac{1}{-r+1}\frac{1}{x^{r-1}}=\frac{1}{-r+1}x^{1-r}</math> |
| + | ha x<math>\to</math> 0 esetén 0 -hoz tart, így pl. |
| + | :<math>\int\limits_{0}^1\frac{1}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x=...</math> |
| + | '''3.''' |
| + | Hasonlóképpen |
| + | :<math>\int\limits_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x</math> |
| + | szintén konvergens. |
| | | |
− | Először is megfogalmazzuk, hogy mitől invariáns egy mennyiség. Legyen B és C az n dimenziós '''V''' egy-egy bázisa. Legyen '''T''' a B-t a C-re váltó koordinátaváltás transzformációja, azaz a
| + | ===Összetettebb példák=== |
− | :<math>\mathbf{T}b_i=c_i\quad\quad(i=1...n)</math>
| + | |
− | (tehát ez invertálható tenzor). Tudjuk hogy, ha '''A''' tetszőleges tenzor, akkor ő egy lineáris leképezés, és emiatt
| + | |
− | :<math>[\mathbf{A}]_C=[\mathbf{T}^{-1}]_B[\mathbf{A}]_B[\mathbf{T}]_B\,</math>
| + | |
− | Ez a tenzorok invariáns tulajdonsága.
| + | |
| | | |
− | Az f(''M'') ∈ '''R''' (''M'' ∈ M<sup>n×n</sup>) skalárfüggvényt akkor nevezzük '''invariánsnak''', ha minden B és C bázisra és '''A''' tenzorra:
| + | '''1.''' |
− | :<math>f([\mathbf{A}]_C)=f([\mathbf{A}]_B)\,</math> | + | :<math>\int\limits_{0}^\infty\frac{\mathrm{arctg}^7\,x}{1+x^2}\,\mathrm{d}x=\lim\limits_{x\to \infty}\frac{1}{8}\mathrm{arctg}^8\,x-\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{8}\mathrm{arctg}^8\,x=\frac{\pi}{16}-0=0</math> |
− | Másként, minden ''B'' bázisra, '''T''' a ''B'' megváltoztató koordinátaváltó transzformációra és '''A''' tenzorra
| + | |
− | :<math>f([\mathbf{A}])=f([\mathbf{T}^{-1}][\mathbf{A}][\mathbf{T}])\,</math>
| + | |
− | ahol [.] a B-beli koordinátamátrixot jelenti.
| + | |
| | | |
− | Az m(''M'') ∈ M<sup>n×n</sup> (''M'' ∈ M<sup>n×n</sup>) mátrixfüggvényt pedig akkor nevezzük '''invariánsnak''', ha minden B és C bázisra és '''A''' tenzorra:
| + | ===Ekvikonvergencia-kritérium=== |
− | :<math>m([\mathbf{A}]_C)=[\mathbf{T}^{-1}]m([\mathbf{A}]_B)[\mathbf{T}])\,</math>
| + | |
− | azaz ha m az ''A'' mátrixával együtt transzformálódik.
| + | |
| | | |
− | ===Determináns===
| + | '''Tétel.''' (Ekvikonvergencia-kritérium) Ha az f,g: I <math>\to</math> '''R''' függvények lokálisan integrálhatók, ''u'' az ''I'' akármelyik végpontja (akár végtelen is) és létezik és pozitív a |
− | Vegyük az ''M'' <math>\mapsto</math> det(''M'') mátrixleképezést. A ''determinánsok szorzástétele'' szerint tetszőleges ''M'' és ''N'' mátrixra:
| + | :<math>\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)}{g(x)}</math> |
− | :<math>\det(MN)=\det(M)\cdot\det(N)\,</math> | + | határérték, akkor f és g improprius integráljai egyszerre konvergensek vagy egyszerre divergensek. |
− | Emiatt ha ''A'' az '''A''' tenzor egy mátrixa és ''T'' a koordinátaváltó-mátrix, akkor:
| + | |
− | :<math>\det(T^{-1}AT)=\det(T^{-1})\det(A)\det(T)=\det(T^{-1})\det(T)\det(A)=\,</math> | + | |
− | ::<math>=\det(T^{-1}T)\det(A)=\det(I)\det(A)=1\cdot \det(A)=\det(A)\,</math>
| + | |
− | Hiszen ''T''<sup>-1</sup>''T'' = I az egységmátrix.
| + | |
| | | |
− | Értelmes tehát az '''A''' tenzor determinánsának értelmezése úgy, hogy det('''A''') az '''A''' tetszőleges mátrixának determinánsa.
| + | A fenti határértéket (tetszőleges u ∈ I'-re) még így is szokás jelölni: |
| | | |
− | ===Nyom, trace, spur===
| + | :<math>f(x)\sim_ug(x)\quad\quad\Leftrightarrow_{\mathrm{def}}\quad\quad\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)}{g(x)}\in\mathbf{R}^+</math> |
− | Vegyük a következő mátrix leképezést:
| + | és azt mondják, hogy f az u körül úgy viselkedik, mint g. |
− | :<math>\mathrm{Sp}:\,M\mapsto \sum\limits_{i=1}^nM_{ii}</math> | + | |
− | azaz a mátrixok főátlóbeli elemeinek összegét. Ez is invariáns, melyet a következőkkel bizonyíthatunk. Először is belátjuk a spur szimmetrikus tulajdonságát. Tetszőleges ''A'', ''B'' mátrixra Sp(AB) = Sp(BA). Tudjuk, hogy két mátrix szorzata a következőképpen definiált:
| + | |
− | :<math>(AB)_{ij}=\sum\limits_{k=1}^nA_{ik}B_{kj}\,</math>
| + | |
− | ezért:
| + | |
− | :<math>\mathrm{Sp}(AB)=\sum\limits_{i=1}^n(AB)_{ii}=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{k=1}^nA_{ik}B_{ki}=\sum\limits_{k=1}^n\sum\limits_{i=1}^nB_{ki}A_{ik}=</math>
| + | |
− | :: <math>=\sum\limits_{k=1}^n(BA)_{kk}=\mathrm{Sp}(BA)\,</math>
| + | |
− | Ez a képlet azt mondja, hogy "spur alatt a mátrixok kommutálnak". Az invariancia pedig:
| + | |
− | :<math>\mathrm{Sp}(T^{-1}AT)=\mathrm{Sp}(T^{-1}TA)=\mathrm{Sp}(IA)=\mathrm{Sp}(A)\,</math>
| + | |
− | Ez a mennyiség tehát az '''A''' tenzor egy '''skalárinvariáns'''a.
| + | |
| | | |
− | ===Szimmetrikus és antiszimmetrikus tenzorok===
| + | '''Példák.''' |
− | Vegyük az '''A''' lineáris leképezést és ennek az S sztenderd bázisbeli mátrixát ''A''-t. Ekkor világos, hogy az ''A''<sup>T</sup> transzponált mátrixszal történő ''A''<sup>T</sup>['''v''']<sub>S</sub> szorzás egy lineáris leképezés, tehát tenzor, tenzortranszponálás definíciója tehát az, hogy minden '''A''' tenzorhoz hozzárendeljük a következő lineáris leképezést:
| + | '''1.''' |
− | :<math>\mathbf{A}^{\mathrm{T}}\mathbf{v}=[\mathbf{A}]_S^T\cdot [\mathbf{v}]_S\,</math> | + | :<math>\int\limits_{1}^{+\infty}\frac{\mathrm{arc\,tg}(x)}{x^2}</math> |
− | ahol <math>\cdot</math> a mátrixszorzás.
| + | Mivel az arc tg határértéke a végtelenben π/2, ezért sejthető, hogy a függvény improprius integrálhatóság szempontjából úgy viselkedik, mint az 1/x<sup>2</sup>. ezt a következőkkel igazoljuk: |
| | | |
− | Ám, ez nem minden bázisban viselkedik úgy, ahogy azt a transzponálástól elvárjuk, azaz ha B egy tetszőleges bázis, akkor az ['''A''']<sub>B</sub><sup>T</sup> már nem feltétlejül a T<sup>-1</sup> ''A''<sup>T</sup>T mátrix, ahogy azt várnánk. Ellenben ortonormált bázisokra és a köztük váltó ortogonális transzformációkra már igen. Ezután a tárgyalást csak ortonormált (azaz páronként merőleges, egységhosszúságú bázisvektorú) bázisokra és az ezek között váltó O<sup>T</sup> = O<sup>-1</sup> egyenlőségnek eleget tévő távolságtartó vagy másként ortogonális transzformációkra szorítkozunk.
| + | :<math>\lim\limits_{+\infty}\frac{\frac{\mathrm{arc\,tg}\,(x)}{x^2}}{\frac{1}{x^2}}=\lim\limits_{+\infty}\mathrm{arc\,tg}\,(x)=\frac{\pi}{2}</math> |
| + | Tehát az integrál konvergens. |
| | | |
− | Igaz az alábbi invariancia-tulajdonság. Ha B tetszőleges ortonormált bázis, ['''A''']<sub>B</sub>=''A'' és O<sup>T</sup> = O<sup>-1</sup>, akkor
| + | :<math>\int\limits_{1}^{ |
− | :<math>(O^{-1}AO)^{\mathrm{T}}=O^{\mathrm{T}}(O^{-1}A)^{\mathrm{T}}=O^{\mathrm{T}}A^\mathrm{T}(O^{-1})^{\mathrm{T}}=O^{-1}A^{\mathrm{T}}O\,</math> | + | +\infty}\sin\frac{1}{x^2}</math> |
− | (Felhasználtuk a szorzat transzponálásának (''AB'')<sup>T</sup>= ''B''<sup>T</sup>''A''<sup>T</sup> szabályát -- nemdebár a mátrixszorzás nem kommutatív.) Tehát a sztenderd bázisban definiált transzponálás minden ortonormált bázisban transzponálás lesz, így ha csak ezekre szorítkozunk, akkor a '''A'''<sup>T</sup> fenti definíciója invariáns leképezést ad meg.
| + | :<math>\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{\sin x^3}</math> |
− | | + | :<math>\int\limits_{1}^{\infty}\sin^3\frac{1}{x}</math> |
− | Lényeges tehát, hogy transzponálást, szimmetria és antiszimmetria vizsgálatokat a tenzorok tekintetében most úgy végezünk, hogy tudatában vagyunk annak, hogy eközben a hagyományos, geometriai |'''a'''||'''b'''|cos γ definíciójú skaláris szorzást használjuk (illetve ennek komponensenkénti változatát). Ezért nevezzük ezeket néha geometriai tenzoroknak.
| + | :<math>\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{\sin x}}</math> |
− | | + | :<math>\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{\mathrm{tg}\,x}</math> |
− | Az '''S''' tenzor '''szimmetrikus''', ha minden ortonormált bázisban a mátrixa szimmetrikus mátrix. Igaz az, hogy '''S''' pontosan akkor szimmetrikus, ha minden '''u''', '''v''' vektorra
| + | :<math>\int\limits_{1}^{+\infty}\mathrm{th}\,(x)</math> |
− | :'''u'''<math>\cdot</math>('''Sv''')='''v'''<math>\cdot</math>('''Su'''), | + | |
− | ahol <math>\cdot</math> a skaláris szorzás.
| + | |
− | | + | |
− | Az '''A''' tenzor '''antiszimmetrikus''', ha minden ortonormált bázisban a mátrixa antiszimmetrikus mátrix. Igaz az, hogy '''A''' pontosan akkor antiszimmetrikus, ha minden '''u''', '''v''' vektorra
| + | |
− | :'''u'''<math>\cdot</math>('''Av''')=-'''v'''<math>\cdot</math>('''Au'''),
| + | |
− | ahol <math>\cdot</math> a skaláris szorzás.
| + | |
− | | + | |
− | Bármely '''T''' tenzor egyértélműen előáll '''S''' + '''A''' alakban, ahol '''S''' szimmetrikus, '''A''' pedig antiszimmetrikus, éspedig:
| + | |
− | :<math>\mathbf{T}=\frac{1}{2}(\mathbf{T}+\mathbf{T}^{\mathrm{T}})+\frac{1}{2}(\mathbf{T}-\mathbf{T}^{\mathrm{T}})</math> | + | |
− | | + | |
− | Két fontos tétel:
| + | |
− | | + | |
− | '''Tétel''' -- Ha '''A''' ∈'''R'''<sup>3</sup> (illetve '''R'''<sup>2</sup> ) antiszimmetrikus, akkor létezik olyan '''a''' vektor (vagy ''a'' skalár), hogy minden '''v''' vektorra:
| + | |
− | :<math>\mathbf{Av}=\mathbf{a}\times\mathbf{v}\quad\quad(\mathrm{vagy}\;\mathbf{Av}=a\cdot\mathrm{CROSS}(\mathbf{v}))</math> | + | |
− | | + | |
− | '''a'''-t (ill. ''a''-t) az '''A''' '''vektorinvariánsá'''nak nevezzük (bár a síkon ez skalár). A tételt elég a sztenderd bázisban igazolni, ott az '''a'''×( . ) opertátorral, azonos így '''A''' ez az operátor.
| + | |
− | | + | |
− | '''Főtengelyétel''' -- Ha '''S''' ∈'''R'''<sup>n</sup> szimmetrikus, akkor minden sajátértéke valós és létezik a sajátvektorokból álló B ortonormált bázis, amiben '''S''' főtengelyre transzformálható, azaz diagonális és az elemei az '''S''' sajátértékei:
| + | |
− | :<math>[\mathbf{S}]_{\{\mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_n\}}=\begin{pmatrix}\lambda_1& 0& 0\\ | + | |
− | 0& \ddots& 0\\
| + | |
− | 0 & 0& \lambda_n\end{pmatrix}</math>
| + | |
− | Ez nehéz, de fontos tétel.
| + | |
számot értjük, ahol F az f egy tetszőleges integrálfüggvénye.
azaz nem konvergens.
szintén konvergens.
határérték, akkor f és g improprius integráljai egyszerre konvergensek vagy egyszerre divergensek.
és azt mondják, hogy f az u körül úgy viselkedik, mint g.
Mivel az arc tg határértéke a végtelenben π/2, ezért sejthető, hogy a függvény improprius integrálhatóság szempontjából úgy viselkedik, mint az 1/x2. ezt a következőkkel igazoljuk:
Tehát az integrál konvergens.