Pontbeli határérték, folytonosság
A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Néhány topologikus fogalom) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Néhány topologikus fogalom) |
||
17. sor: | 17. sor: | ||
* '''határpontjának''' nevezzük, ha torlódási pontja mind a halmaznak, mind a komplementerének. | * '''határpontjának''' nevezzük, ha torlódási pontja mind a halmaznak, mind a komplementerének. | ||
+ | A folytonosság definíciójából következik, hogy 1. a polinomok folytonosak, 2. izolált pontban a függvények folytonosak. | ||
+ | |||
+ | ===Példa=== | ||
+ | '''1. a''' Mik a izolált, torlódási, belső pontjai? | ||
+ | :<math>\{1\}\cup[2,3)</math> | ||
+ | '''1. b''' Folytonos-e az inverze? | ||
+ | :<math>f(x)=\left\{\begin{matrix} | ||
+ | -x^2-1, & \mathrm{ha} & x<0\\ | ||
+ | 0, & \mathrm{ha} & x= 0\\ | ||
+ | x^2+1, & \mathrm{ha} & x>0 | ||
+ | \end{matrix}\right.</math> | ||
+ | ===Határérték=== | ||
'''Definíció.''' Azt mondjuk, hogy az ''f'': '''R''' <math>\supset\!\to</math> '''R''' függvény '''folytonos''' az ''u'' ∈ Dom(''f'') pontban, ha | '''Definíció.''' Azt mondjuk, hogy az ''f'': '''R''' <math>\supset\!\to</math> '''R''' függvény '''folytonos''' az ''u'' ∈ Dom(''f'') pontban, ha | ||
:<math>\forall \varepsilon>0\;\exists \delta>0\; f(B_\delta(u))\subseteq B_\varepsilon(f(u))</math> | :<math>\forall \varepsilon>0\;\exists \delta>0\; f(B_\delta(u))\subseteq B_\varepsilon(f(u))</math> |
A lap 2020. október 27., 22:54-kori változata
Tartalomjegyzék |
Folytonosság és határérték
Definíció. Azt mondjuk, hogy az f: R R függvény folytonos az u ∈ Dom(f) pontban, ha
Ehhez rendkívül hasonló fogalom a határérték, de azt nem Dom(f) pontjaiban vizsgáljuk, hanem ehhez közeli pontokban, Dom(f) torlódási pontjaiban. Arra van ugyanis szükségünk, hogy matematikailag meg tudjuk fogalmazni a "közeli" fogalmat.
Néhány topologikus fogalom
Ha H ⊆ R valós számhalmaz, akkor az u ∈ pontot az H
- torlódási pontjának nevezzük, ha
(ill. ekvivalens módon: (Br(u)\{u}) ∩ H végtelen) jelben: .
- izolált pontjának nevezzük, ha u ∈ H, de nem torlódási pontja H-nak.
- belső pontjának nevezzük, ha
jelben: .
- határpontjának nevezzük, ha torlódási pontja mind a halmaznak, mind a komplementerének.
A folytonosság definíciójából következik, hogy 1. a polinomok folytonosak, 2. izolált pontban a függvények folytonosak.
Példa
1. a Mik a izolált, torlódási, belső pontjai?
1. b Folytonos-e az inverze?
Határérték
Definíció. Azt mondjuk, hogy az f: R R függvény folytonos az u ∈ Dom(f) pontban, ha