Lineáris altér
Mozo (vitalap | szerkesztései) a (→Lineáris leképezés magtere és képtere) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) a (→Lineáris leképezés magtere és képtere) |
||
49. sor: | 49. sor: | ||
Ezekkel a fogalmakkal kapcsolatos a vektorterek dimenziótétele. Ha ''A'' ∈ Hom(''V'',''U''), akkor | Ezekkel a fogalmakkal kapcsolatos a vektorterek dimenziótétele. Ha ''A'' ∈ Hom(''V'',''U''), akkor | ||
− | :<math>\mathrm{dim}\,\mathrm{Ker}(\mathcal{A})+\mathrm{dim}\,\mathrm{Im}(\mathcal{A})=\mathrm{dim}\, | + | :<math>\mathrm{dim}\,\mathrm{Ker}(\mathcal{A})+\mathrm{dim}\,\mathrm{Im}(\mathcal{A})=\mathrm{dim}\,V</math> |
==Feladatok== | ==Feladatok== |
A lap 2008. március 3., 22:58-kori változata
A V vektortér lineáris alterének nevezzük a W ⊆ V halmazt, ha W vektorteret alkot ugyanazokkal a műveletekkel, melyek V-nek is műveletei. Azt, hogy W altere V-nek a következőképpen jelöljük:
Tartalomjegyzék |
Altér jellemzése
Annak ellenőrzése, hogy egy vektortér részhalmaza altér egyszerűbben türténik annál, minthogy ellenőrizzük, hogy a részhalmazra teljesülnek-e a vektortéraxiómák. Altér jellemezhető a következőkkel.
Tétel - Ha (V,+,.) vektortér a T test fölött és a W ⊆ V nemüres halmaz, akkor az alábbi két kijelentés ekvivalens egymással:
- W altere V-nek
- minden u, v ∈ W-re és λ ∈ T-re:
- u + v ∈ W
- λ.v ∈ W
Tehát altér, ami zárt az összeadásra és a számmal való szorzásra.
Példák
Triviális alterek
Bármely V vektortérben maga V és a nullvektort tartalmazó {0} halmaz altér. Az előbbi dim V dimenziós, az utóbbi nulladimenziós.
Generált altér
Ha v1, v2, ... ,vk véges vektorrendszer a T test feletti V lineáris térben, akkor a
részhalmazát V-nek a { v1, v2, ... ,vk } vektorrendszer által generált altérnek vagy kifeszített altérnek nevezünk.
Ez valóban altér, hiszen bármely két elemének összege és számszorosa eleme az részhalmaznak:
Az vektorrendszer rangján éretjük, a vektorrendszer által kifesztett altér dimenzióját:
Mátrix magtere és képtere
Ha T test és M ∈ Tn×m, azaz n × m-es mártix, akkor
az M mártix magtere, azaz azon elemek a Tn vektortérből, melyeket a mátrix a vele való szorzás által a nullába visz és
az M képtere, azaz azon vektorok, melyek előállnak valamely vektor és az M mátrix szorzataként.
Praktikusan:
- Ker(M) az M együtthatómátrixú homogén lineáris egyenletrendszer megoldásainak halmaza
- Im(M) azon "jobb oldalak" halmaza az Mx=y egyenletrendszerben, melyekre az egyenletrendszer megoldható.
Világos, hogy az első esetben Gauss-eliminációval kell megoldani a feldatot, a második esetben azokat az y-okat kell behatárolni, amelyre az (M|y) kibővített együtthatómátrix rangja egyezik M rangjával.
Lineáris leképezés magtere és képtere
A ∈ Hom(V,U), akkor
Ezekkel a fogalmakkal kapcsolatos a vektorterek dimenziótétele. Ha A ∈ Hom(V,U), akkor
Feladatok
1.
Alteret alkotnak-e?
- R[X]-ben, a valósegyütthatós polinomok terében a
- { p | deg(p)=100 vagy p=0 }
- { p | deg(p)100 vagy p=0 }
- { p | p-nek van valós gyöke }
- A valós számsorozatok terében a
- { s | s korlátos }
- { s | s konvergens }
- {s | s véges sok helyen nemnulla}
- A valós függvények terében a
- { f | f periodikus }
- { f | f(1) > 0 }
- {f | f injektív }
2.
Mi az
képtere és magtere?