Lineáris altér
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→4. (képtér)) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Megoldás.) |
||
168. sor: | 168. sor: | ||
0 & -2 & -1 & y_3-y_1\\ | 0 & -2 & -1 & y_3-y_1\\ | ||
0 & -1& -1 & y_4 | 0 & -1& -1 & y_4 | ||
− | \end{bmatrix}\sim_\mathrm{GAlg} | + | \end{bmatrix}\sim_\mathrm{GAlg}</math> |
+ | :<math>\sim_\mathrm{GAlg} | ||
\begin{bmatrix} | \begin{bmatrix} | ||
1 & 4 & 2 & y_1\\ | 1 & 4 & 2 & y_1\\ | ||
0 & -1 & -1 & y_2-y_1\\ | 0 & -1 & -1 & y_2-y_1\\ | ||
0 & 0 & -1 & y_3-y_1-(y_2-y_1)\\ | 0 & 0 & -1 & y_3-y_1-(y_2-y_1)\\ | ||
+ | 0 & 0& 0 & y_4-y_2+y_1 | ||
+ | \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} | ||
+ | 1 & 4 & 2 & y_1\\ | ||
+ | 0 & -1 & -1 & y_2-y_1\\ | ||
+ | 0 & 0 & -1 & y_3-y_2\\ | ||
0 & 0& 0 & y_4-y_2+y_1 | 0 & 0& 0 & y_4-y_2+y_1 | ||
\end{bmatrix}</math> | \end{bmatrix}</math> | ||
+ | ez pontosan akkor megoldható, ha teljesül az | ||
+ | :<math>y_4-y_2+y_1=0\,</math> | ||
+ | egyenlőség (homogén lineáris egyenletrendszer) az '''y''' vektorra. |
A lap 2008. március 9., 12:32-kori változata
A V vektortér lineáris alterének nevezzük a W ⊆ V halmazt, ha W vektorteret alkot ugyanazokkal a műveletekkel, melyek V-nek is műveletei. Azt, hogy W altere V-nek a következőképpen jelöljük:
Tartalomjegyzék |
Altér jellemzése
Annak ellenőrzése, hogy egy vektortér részhalmaza altér egyszerűbben türténik annál, minthogy ellenőrizzük, hogy a részhalmazra teljesülnek-e a vektortéraxiómák. Altér jellemezhető a következőkkel.
Tétel - Ha (V,+,.) vektortér a T test fölött és a W ⊆ V nemüres halmaz, akkor az alábbi két kijelentés ekvivalens egymással:
- W altere V-nek
- minden u, v ∈ W-re és λ ∈ T-re:
- u + v ∈ W
- λ.v ∈ W
Tehát altér, ami zárt az összeadásra és a számmal való szorzásra.
Példák
Triviális alterek
Bármely V vektortérben maga V és a nullvektort tartalmazó {0} halmaz altér. Az előbbi dim V dimenziós, az utóbbi nulladimenziós.
Generált altér
Ha v1, v2, ... ,vk véges vektorrendszer a T test feletti V lineáris térben, akkor a
részhalmazát V-nek a { v1, v2, ... ,vk } vektorrendszer által generált altérnek vagy kifeszített altérnek nevezünk.
Ez valóban altér, hiszen bármely két elemének összege és számszorosa eleme az részhalmaznak:
Az vektorrendszer rangján éretjük, a vektorrendszer által kifesztett altér dimenzióját:
Mátrix magtere és képtere
Ha T test és M ∈ Tn×m, azaz n × m-es mártix, akkor
az M mártix magtere, azaz azon elemek a Tn vektortérből, melyeket a mátrix a vele való szorzás által a nullába visz és
az M képtere, azaz azon vektorok, melyek előállnak valamely vektor és az M mátrix szorzataként.
Praktikusan:
- Ker(M) az M együtthatómátrixú homogén lineáris egyenletrendszer megoldásainak halmaza
- Im(M) azon "jobb oldalak" halmaza az Mx=y egyenletrendszerben, melyekre az egyenletrendszer megoldható.
Világos, hogy az első esetben Gauss-eliminációval kell megoldani a feldatot, a második esetben azokat az y-okat kell behatárolni, amelyre az (M|y) kibővített együtthatómátrix rangja egyezik M rangjával.
Lineáris leképezés magtere és képtere
A ∈ Hom(V,U), akkor
Ezekkel a fogalmakkal kapcsolatos a vektorterek dimenziótétele. Ha A ∈ Hom(V,U), akkor
Feladatok
1. (altér jellemzése)
Alteret alkotnak-e?
- R[X]-ben, a valósegyütthatós polinomok terében a
- { p | deg(p)=100 vagy p=0 }
- { p | deg(p)100 vagy p=0 }
- { p | p-nek van valós gyöke }
- A valós számsorozatok terében a
- { s | s korlátos }
- { s | s konvergens }
- {s | s véges sok helyen nemnulla}
- A valós függvények terében a
- { f | f periodikus }
- { f | f(1) > 0 }
- {f | f injektív }
2. (generált altér)
Hány dimenziós alteret generál az alábbi vektorrendszer? Adja meg a kifeszített altér egy bázisát!
- , , ,
Megoldás
A vektorok az R3 térbeliek, így az altér legfeljebb 3 dimenziós lehet. Ha A-val jelöljük a fenti oszlopvektorok alkotta mátrixot, akkor a feladat megoldásban (azaz egymással összefőggő vektorok keresésében) segít az
- Ax = 0
homogén lineáris egyenletrendszer megoldása. Ebből nem csak azt tudjuk majd meg, hogy lineárisan függetlenek-e (hiszen pontosan tudjuk, hogy nem azok, mert ), hanem hogy hány független választható ki, vagyis az A ragját, r(A)-t. A-t Gauss-algoritmussal átalakítva:
A megoldás: az utolsó két változó paraméternek vehető, mondjuk t és s, így minden t, s-re
megoldás. Tehát minden t, s-re fennáll:
Ezekből világosan látható, hogy az első két vektor bázisnak választható, mert a 3. és 4. kifejezhető, rendre t=1, s=0 választással, majd t=0, s=1 választással.
Tehát:
- és az altér egy bázisa:
3. (magtér)
Mi az
magterének dimenziója és adja meg egy bázisát!
Megoldás.
Az A mátrix magtere praktikusan az A x = 0 homogén lineáris egyenletrendszer megoldásai alkotta lineáris altér, egyenletrendszeres formában:
Előzetesen, próbáljuk meg a szituációt geometriailag elképzelni! A két egyenlet egy-egy hipersík az R4 térben, azaz két 3 dimenziós altér. Ezek metszete a feladat, azaz egy kétdimenziós altér, azaz egy geometiai sík. Azt várjuk tehát, hogy a feladat megoldása 2 dimenziós eltér lesz. Persze, ettől még lehet hogy a feladat nem a tipikus helyzetet adja, így "vakon" csak azt mondhatjuk, hogy a keresett dimenziószám legfeljebb 4.
Gauss-eliminációhoz folyamodunk:
Szintén két változó paramétenek vehető, így a megoldás visszafejtve:
- v = s, z = t, y = -2t -3s, x = -t -2s
a megoldásvektor az alábbi, mely előáll a következő két vektor lineáris kombinációjaként:
Azaz a magtér a fenti két kihozott vektor által generált altér. Ezek persze nyilvánvalóan nem összefüggők az alsó két sor sztenderd bázisra utaló alakja miatt (az 1-es sehogy se jöhet ki a 0-ból).
Tehát
- és a magtér egy bázisa:
4. (képtér)
Mi az
mátrix képterének dimenziója és adja meg a képtér egy bázisát!
Megoldás.
Azt kell megvizsgálnunk, hogy az (A|y) kibővített együtthatómátrixú lineáris egynletrendszer milyen y-ra oldható meg. Az A-val való szorzás leképezése R3-ból képez R4-be. A képtér elvileg lehetne 4 dimenziós, ám a dimenziótétel szerint dim Ker A + dim Im A = dim R3, így dim Im A legfeljebb 3. Ezt várjuk.
A kibővített együtthatómátrix:
ez pontosan akkor megoldható, ha teljesül az
egyenlőség (homogén lineáris egyenletrendszer) az y vektorra.