Matematika A2a 2008/8. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Tartományi szélsőértékfeladat) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Implicit függvény deriváltja) |
||
108. sor: | 108. sor: | ||
==Implicit függvény deriváltja== | ==Implicit függvény deriváltja== | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''Implicit''' megadású '''függvény'''ről akkor beszélünk, amikor egy függvény megadása nem (az explicit módon) ''y'' = ''f''(''x'') alakban történik, hanem az x és y kapcsolatát egy mindkét változót tartalmazó | ||
+ | :<math>F(x,y) = 0 \,</math> | ||
+ | egyenlet írja le. A fogalom [[Augustin Louis Cauchy|Cauchytól]] származik ([[1823]]) <ref>Szőkefalvi-Nagy Béla: ''Valós függvények és függvénysorok'', Tankönyvkiadó, Bp., 1972; ''Előszó'', 14. o.</ref>. | ||
+ | |||
+ | Például adjunk meg olyan függvényt, melynek grafikonja valamely kör egy szakasza. Az | ||
+ | :<math>x^2+y^2=1\,</math> | ||
+ | egyenletű körből könnyű az ''y'' változót kifejezni, az <math>\mbox{ }_{y=\sqrt{1-x^2}}</math> és <math>\mbox{ }_{y=-\sqrt{1-x^2}}</math> alakokat kapjuk. Bonyolultabb esetekben, például a | ||
+ | :<math>\sin y =x\,</math> | ||
+ | esetén semmi reményünk, hogy az ''y'' változóra valamilyen egyenletrendezéssel általános képletet kapjunk. Az ilyen példák miatt nevezik ezeket a típusú függvényeket ''implicit'', avagy régi, választékos kifejezéssel élve ''bennrekedt'' függvényeknek. A differenciálszámítás szempontjából megelégedhetünk azzal, ha az implicit függvény deriváltját ki tudjuk számolni. Sok esetben ebből már következtethetünk a függvényre vagy annak viselkedésére is. | ||
+ | |||
+ | A modern analízis szemszögéből egy N × M <math>\rightarrow</math> K normált terek között ható ''F'' függvény ''a'' ∈ ''N'' és ''b'' ∈ ''M'' pontokhoz tartozó implicit függvényén olyan, az ''a'' egy ''U'' környezetén értelmezett és a ''b'' egy ''V'' környezetébe képező ''f'':''U'' <math>\rightarrow </math> ''V'' függvényt értünk, melyre f(a)=b és minden ''x'' ∈ ''U'' pont esetén rendelkezik az | ||
+ | :<math>F(x,f(x))=0\,</math> | ||
+ | tulajdonsággal. Amelyet szavakban úgy fogalmazhatunk meg, hogy az F(x,y)=0 egyenletből az ''y'' változó kifejezhető y=f(x) alakban. | ||
==Implicitfüggvény tétel== | ==Implicitfüggvény tétel== |
A lap 2008. április 10., 22:21-kori változata
Tartalomjegyzék |
Feltételes szélsőértékfeladat
Feltétele szélsőérték feladat - Lagrange-multiplikátormódszer - Tegyük fel, hogy az u = F(x,y,z) skalárfüggvény szélsőértékét keressük az f(x,y,z) = c korlátozás (feltétel) mellett. Ekkor a következőképpen járunk el. A szükségesség szempontjából a feladat egyenértékű az
négyváltozós szélsőérték feladat vizsgálatával.
1. példa
Határozzuk meg a síkon az origó távolságát egy adott egyenesől!
Legyen az egyenes egyenlete
(nyilván A és B nem egyszerre nulla, mert (A,B) nomálvektor.) A keresett szám az origó és az egyenes pontjai közötti távolságok közül a legkisebb.
Tehát keressük a
kétváltozós leképezés minimumát az
feltétel mellett.
Megjegyzés. Ez a minimum biztosan létezik, mert ha P az egyenes egy tetszőlegesen rögzített pontja, akkor az OP távolság kétszeresénél közelebb lesz a keresett szélsőértékhely. A feladat tehát az 2OP sugarú zárt gömb és az egyenes közös pontjain értelmezett, fenti d(x,y) hozzárendelési utasítású függvény szélsőértékének meghatérozása. d kompakt halmazon folytonos, így Weierstrass tétele miatt felveszi abszolút minimumát.
Lagrange módszere szerint a feltételi egyenlet nullára redukált alakja:
ezt a leképezést kell hozzávenni a multiplikátorral szorozva a függvényhez:
Az szélsőérték szükségességét vizsgálva:
Az utolsó 0 lényegében a feltételi egyenlet megismétlését jelenti. λ kiesik, ha az első "egyenlet" B-vel, a másodikat A-val beszorozzuk. Ebből:
és a feltételi egyenlet:
Innen
Annak eldöntése, hogy ez valóban minimumhely-e, a második derivált próbára hárulna, de az nem tudja eldönteni mert (mint kiderülne) a Hesse-mátrix nem nem definit.
az adott pontban ez
A bal felső elem pozitív, de a 2×2-es determináns nulla. Azaz a szabad feladat szemidefinit és a szélsőérték jellegének megvizsgálása további tanulmányozást igényelne, amit most idő hiányában nem végzünk el.
2. példa
Keressük az
összeg maximumát az
feltétel mellett.
Legyen
Ekkor
így
- , ,
Innen a megoldások:
- , ,
- , ,
A Hesse-mátrix:
az adott pontokban ez
A két megoldás esetén a szabad probléma aldeterminánsai:
- 2, 4
- -2, 4
azaz már a szabad feladat 2×2-es mátrixa is pozitív ill. negatív definit, azaz nyugodtan kijelenthetjük, hogy feltételes feldatnak (-1/2,-1/2)-ben minimuma, (1/2,1/2)-ben maximuma van.
Tartományi szélsőértékfeladat
Legyen K ⊆ Rn kompakt halmaz és f : Rn R differenciálható függvény. Weierstrass tétele szerint f felveszi szélsőértékeit. Ha int (K)-ban nem találunk lokális szélsőértékhelyet, akkor a határon veszi föl azokat, melyet a multiplikátormódszerrel, vagy egyéb feltételes szélsőértékmódszerrel számolunk ki. Ha int(K)-ban van lokális szélsőérték, akkor a front(K) szélsőértékei és eközött kell megtalálnunk az extémumot.
1. példa
Tekintsük a egyenletű elliptikus paraboloidot. Határozzuk meg a [-x,x], [-y,y], [0,z] élek által kifeszített legnagyobb térfogatú tégla térfogatát, ha (x,y,z) a felületen, az [x,y] sík feletti részen van.
Felírjuk a térfogat x,y-tóli függését:
az értelmezési tartománya pedig az első negyed
- azaz
egyenletű ellipszisbe eső része:
Ekkor az int(K) beli szélsőérték szükséges feltétele:
A megoldás
Mivel itt z(x,y) = 2 < 4, ezért (x,y) ∈ int(K) és értéke Megállapítjuk, hogy ez maximum és csakis ez. Egyrészt front(K)-n f = 0, így a határon nem veheti föl abszolút maximumát. De belül máshol se, csak az előbbi (x,y) pontban, tehát az a maximum.
Megjegyezzük, hogy azt, hogy ez lokális maximum még a másodikderivált próbával is sikeresen ellenőrizhető.
Implicit függvény deriváltja
Implicit megadású függvényről akkor beszélünk, amikor egy függvény megadása nem (az explicit módon) y = f(x) alakban történik, hanem az x és y kapcsolatát egy mindkét változót tartalmazó
egyenlet írja le. A fogalom Cauchytól származik (1823) <ref>Szőkefalvi-Nagy Béla: Valós függvények és függvénysorok, Tankönyvkiadó, Bp., 1972; Előszó, 14. o.</ref>.
Például adjunk meg olyan függvényt, melynek grafikonja valamely kör egy szakasza. Az
egyenletű körből könnyű az y változót kifejezni, az és alakokat kapjuk. Bonyolultabb esetekben, például a
esetén semmi reményünk, hogy az y változóra valamilyen egyenletrendezéssel általános képletet kapjunk. Az ilyen példák miatt nevezik ezeket a típusú függvényeket implicit, avagy régi, választékos kifejezéssel élve bennrekedt függvényeknek. A differenciálszámítás szempontjából megelégedhetünk azzal, ha az implicit függvény deriváltját ki tudjuk számolni. Sok esetben ebből már következtethetünk a függvényre vagy annak viselkedésére is.
A modern analízis szemszögéből egy N × M K normált terek között ható F függvény a ∈ N és b ∈ M pontokhoz tartozó implicit függvényén olyan, az a egy U környezetén értelmezett és a b egy V környezetébe képező f:U V függvényt értünk, melyre f(a)=b és minden x ∈ U pont esetén rendelkezik az
tulajdonsággal. Amelyet szavakban úgy fogalmazhatunk meg, hogy az F(x,y)=0 egyenletből az y változó kifejezhető y=f(x) alakban.
Implicitfüggvény tétel
7. gyakorlat | 9. gyakorlat |