Szerkesztő:Mozo/A2 gyakorló feladatok 2

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(→1. b.)
(→2)
126. sor: 126. sor:
 
ami ugyanaz, mint az előző képlet, csak ''s'' = -''t''.
 
ami ugyanaz, mint az előző képlet, csak ''s'' = -''t''.
 
==2==
 
==2==
−
Legyen az ''A'' operátor '''R'''<sup>2</sup>-ben az ''y'' = -''x'' egyenesre vett vetítés, ''B'' a 270°-os origó körüli forgatás. Írja fel a leképezések kompozícióinak mátrixát a sztenderd bázisra vonatkozóan.
+
Legyen az ''A'' operátor '''R'''<sup>2</sup>-ben az ''y'' = -''x'' egyenesre vett vetítés, ''B'' a 270°-os origó körüli forgatás. Írja fel a leképezések kompozícióinak mátrixát a sztenderd bázisra vonatkozóan. Kommutálnak-e a mártixaik?
 
===Megoldás===
 
===Megoldás===
 +
Az (1,0) báziselem képe az ''A'' által (1/2,-1/2) a (0,1)-é (-1/2,1/2), így: 
 +
:<math>A=
 +
\begin{bmatrix}
 +
\;\;\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\
 +
& \\
 +
-\frac{1}{2} & \;\;\frac{1}{2}
 +
\end{bmatrix}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}
 +
\;\;1 & -1\\
 +
-1 & \;\;1
 +
\end{bmatrix}</math>
 +
Valamint
 +
:<math>B=
 +
\begin{bmatrix}
 +
\;\;0 & 1\\
 +
-1 & 0
 +
\end{bmatrix}</math>
 +
Ekkor
 +
:<math>AB=\frac{1}{2}\cdot\begin{matrix}
 +
 +
& \begin{bmatrix}
 +
\;\;1 & -1\\
 +
-1 & \;\;1
 +
\end{bmatrix} \\
 +
& \\
 +
\begin{bmatrix}
 +
\;\;0 & 1\\
 +
-1 & 0
 +
\end{bmatrix} & \begin{bmatrix}
 +
\;\;1 & \;\;1\\
 +
-1 & -1
 +
\end{bmatrix}
 +
\\
 +
& \\
 +
& \\
 +
& \\
 +
 +
\end{matrix}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}
 +
\;\;1 & \;\;1\\
 +
-1 & -1
 +
\end{bmatrix}</math>
 +
illetve
 +
:<math>BA=\frac{1}{2}\cdot\begin{matrix}
 +
 +
&  \begin{bmatrix}
 +
\;\;0 & \;\;1\\
 +
-1 & \;\;0
 +
\end{bmatrix}\\
 +
& \\
 +
\begin{bmatrix}
 +
\;\;1 & -1\\
 +
-1 & \;\;1
 +
\end{bmatrix} & \begin{bmatrix}
 +
-1 & \;\;1\\
 +
-1 & \;\;1
 +
\end{bmatrix}\\
 +
& \\
 +
& \\
 +
& \\
 +
\end{matrix}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}
 +
-1 & \;\;1\\
 +
-1 & \;\;1
 +
\end{bmatrix}
 +
</math>
 +
 +
És nem kommutálnak.

A lap 2008. június 12., 13:23-kori változata

Tartalomjegyzék

1. a.

Oldja meg az

\begin{matrix} x+2y+3z&=&-2 \\ x+5y-2z&=&3 \\ 3y+2z&=&-2 \\ 2x+y&=&2 \end{matrix}

egyenletrendszert!

Megoldás

Gauss-eliminációval:

\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & -2 \\ 1 & 5 & -2 & 3 \\ 0 & 3 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & 0 & 2 \\ \end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & -2 \\ 0 & 3 & -5 & 5 \\ 0 & 3 & 2 & -2 \\ 0 & -3 & -6 & 6 \\ \end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & -2 \\ 0 & 3 & -5 & 5 \\ 0 & 0 & -4 & 4 \\ 0 & 0 & -11 & 11 \\ \end{bmatrix}\sim
\sim\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & -2 \\ 0 & 3 & -5 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}

Innen

z = -1,
3y -5\cdot(-1) = 5, innen y = 0
x = (-2)\cdot0 + (-3)(-1) -2 = 1

Megjegyzés. Az

A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & -5 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}

mátrix rangja 3 és a kibővített mátrix rangja is ennyi, így az egyenletnek van megoldása (amiről persze maga a "megoldás" is tanúskodik) és ez egyértelmű, mert A magtere a {0} altér. Világos ugyanis, hogy A oszlopai független vektorrendszert alkotnak és így képtérbeli \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix} vektor csak az \begin{matrix} \\ \\ A\cdot \\ \end{matrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix} szorzatból jön ki.

1. b.

Oldja meg az

\begin{matrix} x+2y+3z&=&-2 \\ y+z&=&-1 \\ x+3y+4z&=&-3 \\ 2x+5y+4z&=&-5 \end{matrix}

egyenletrendszert!

Megoldás

\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 4 & -3 \\ 2 & 5 & 7 & -5 \\ \end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ \end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}

Innen kétféleképpen mehetünk tovább. Egyrészt az előadáson tanultak szerint egy inhomogén lineáris egyenletrendszer összes megoldását megkapjuk, ha egy megldásához hozzáadjuk a (homogén mátrix) magterét. Egy megoldás:

z = 0,
y -1
x = (-2)\cdot(-1)-3\cdot 0 - 2 = 0

A magtér a dimenziótétel miatt egydimenziós, mert a képtér dimenziója a Gauss-eliminációból leolvasva 2, a kiindulási tér pedig 3 dimenziós. Egy magtérbeli vektor a normálalakból, az (1,1,?) alakban keresve az ?=-1, azaz

\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ \end{pmatrix}

vektort adja, ami tényleg A magterben van benne. Ekkor a megoldás:

\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \\ \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ \end{pmatrix}

A másik lehetőség, hogy a harmadik változót paraméternek választjuk, és kifejezzük a változókat az

\begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 & -2 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}

egyenletrenszerből:

z = t,
y = -t - 1
x = (-2)(-t-1)-3t-2= -t

ami ugyanaz, mint az előző képlet, csak s = -t.

2

Legyen az A operátor R2-ben az y = -x egyenesre vett vetítés, B a 270°-os origó körüli forgatás. Írja fel a leképezések kompozícióinak mátrixát a sztenderd bázisra vonatkozóan. Kommutálnak-e a mártixaik?

Megoldás

Az (1,0) báziselem képe az A által (1/2,-1/2) a (0,1)-é (-1/2,1/2), így:

A= \begin{bmatrix} \;\;\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\ & \\ -\frac{1}{2} & \;\;\frac{1}{2} \end{bmatrix}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} \;\;1 & -1\\ -1 & \;\;1 \end{bmatrix}

Valamint

B= \begin{bmatrix} \;\;0 & 1\\ -1 & 0 \end{bmatrix}

Ekkor

AB=\frac{1}{2}\cdot\begin{matrix} & \begin{bmatrix} \;\;1 & -1\\ -1 & \;\;1 \end{bmatrix} \\ & \\ \begin{bmatrix} \;\;0 & 1\\ -1 & 0 \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} \;\;1 & \;\;1\\ -1 & -1 \end{bmatrix} \\ & \\ & \\ & \\ \end{matrix}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} \;\;1 & \;\;1\\ -1 & -1 \end{bmatrix}

illetve

BA=\frac{1}{2}\cdot\begin{matrix} & \begin{bmatrix} \;\;0 & \;\;1\\ -1 & \;\;0 \end{bmatrix}\\ & \\ \begin{bmatrix} \;\;1 & -1\\ -1 & \;\;1 \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} -1 & \;\;1\\ -1 & \;\;1 \end{bmatrix}\\ & \\ & \\ & \\ \end{matrix}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} -1 & \;\;1\\ -1 & \;\;1 \end{bmatrix}

És nem kommutálnak.

A lap eredeti címe: „http://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Szerkeszt%C5%91:Mozo/A2_gyakorl%C3%B3_feladatok_2&oldid=3719”
Személyes eszközök