Matematika A1a 2008/3. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Egyenes és sík) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Egyenes és sík) |
||
95. sor: | 95. sor: | ||
:<math>\left\{\begin{matrix}\cfrac{x-x_0}{v_1}=\cfrac{y-y_0}{v_2}\\ z=z_0\end{matrix} \right.\quad\quad (v_1,v_2\ne 0, v_3=0)</math> | :<math>\left\{\begin{matrix}\cfrac{x-x_0}{v_1}=\cfrac{y-y_0}{v_2}\\ z=z_0\end{matrix} \right.\quad\quad (v_1,v_2\ne 0, v_3=0)</math> | ||
illetve | illetve | ||
− | :<math>\left\{\begin{matrix}y=y_0 \\ z=z_0\end{matrix} \right. \quad\quad (v_1\ne 0, v_2=v_3=0)</math> | + | :<math>\left\{\begin{matrix}y=y_0 \\ z=z_0\end{matrix} \right. \quad\quad (v_1\ne 0, v_2=v_3=0)</math> |
+ | |||
+ | '''1. Feladat.''' Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, mely merőleges mind az ''e'', mind az ''f'' egyenesre és áthalad a P = (1,2,0) ponton. | ||
+ | :<math>e:\left\{\begin{matrix}\cfrac{x-2}{3}=\cfrac{1-y}{2}\\ z=8\end{matrix}\right.</math> és <math>f:\left\{\begin{matrix} | ||
+ | x =-3+ 2t\\ y=4\\ z=2 - t | ||
+ | \end{matrix}\right.</math> | ||
+ | |||
+ | ''Megoldás.'' Olvassuk le az irányvektorokat! '''v'''<sub>e</sub> = (3,-1,0) és '''v'''<sub>f</sub> = (2,0,-1). Ezekre merőleges vektort vektoriális szorzattal készítünk: | ||
==Házi feladatok== | ==Házi feladatok== |
A lap 2008. szeptember 21., 21:16-kori változata
Koordináta reprezentációk
Lineáris kombinációnak nevezzük a
alakú kifejezéseket, ahol a λ-k számok, az a-k vektorok.
Tétel.
- Ha b1 és b2 két nempárhuzamos vektor a síkban, akkor a sík minden vektora egyértelműen előáll ezek lineáris kombinációjaként:
- Ha b1, b2 és b3 három, nem egy síkban lévő vektor, akkor a tér minden vektora egyértelműen előáll ezek lineáris kombinációjaként:
Síkban két nempárhuzamos vektor halmazát, térben három nem egysíkban lévő vektor halmazát bázisnak nevezünk. Ha ezek egységhosszúságúak és páronként merőlegesen egymásra, akkor ortonormált bázist alkotnak. A jobbsodrású (v.ö.: jobbcsvarszabály) ortonormált bázis a térben az (i, j, k).
Egy v térvektornak B = (b1, b2, b3) bázisra vonatkozó koordinátareprezentációja az az oszlopmátrix, melynek elemei rendre az előző tételbeli egyértelműen létező λ-k:
A vektorműveletek a koordinátareprezentációban a következők lesznek.
Külön fontos a vektoriális szorzat esetén megemlíteni a
determnánssal történő kiszámolási módot és a skaláris szorzást, mint mátrixszorzást:
Egyenes és sík
Legyen r0 az e egyenes egy pontjának helyvektora, v az irányvektora. Ekkor az egyenes bármely r pontja előáll (alkalmas t valós paraméterrel)
alakban, hiszen az r - r0 vektor párhuzamos az egyenessel (sőt: az egyesben van), így a v irányvektor skalárszorosa. A t jelölés az "időre" utal. Ha feltételezzük, hogy egy pont sebessége az egyenesen v, akkor t azt jelenti, hogy az r0-végpontából az r végpontjába mennyi idő alatt jutunk el.
A fenti egyenletet az e egyenes paraméteres vektoregyenletének nevezzük. Ha felÍrjuk koordinátareprezentációban, akkor a
vagyis a
egyenletrendszert kapjuk, melyet az e egyenes paraméteres egyenletrendszerének nevezünk. Persze itt [r0]=(x0,y0, z0), [r]=(x,y, z) és [v]=(v1,v2, v3).
Kiküszöbölhetjük t-t, ha minden egyenletetből kivonjuk az adott pont megfelelő komponensét és ezután elosztunk az irányvektor megfelelő komponensével, feltéve, hogy ezek nem nullák:
Ezt nevezzük az egyenes paramétermentes egyenletrendszerének. Ha valamelyik nulla, akkor a következő típusokkal van dolgunk:
illetve
1. Feladat. Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, mely merőleges mind az e, mind az f egyenesre és áthalad a P = (1,2,0) ponton.
és
Megoldás. Olvassuk le az irányvektorokat! ve = (3,-1,0) és vf = (2,0,-1). Ezekre merőleges vektort vektoriális szorzattal készítünk: