Szerkesztő:Mozo/A1 feladatok 1.
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
33. sor: | 33. sor: | ||
:<math>X=B\,</math> | :<math>X=B\,</math> | ||
− | Most vizsgáljuk meg a megoldhatóság feltételét. Azt kaptuk, hogy ha van megoldás, akkor ''A'' ⊆ ''X'' = ''B'', vagyis | + | Most vizsgáljuk meg a megoldhatóság feltételét. Azt kaptuk, hogy ha van megoldás, akkor ''A'' ⊆ ''X'' = ''B'', vagyis |
+ | :<math>A\subseteq B\,</math> | ||
+ | De ez elégséges feltétele is a megoldhatóságnak, ugyanis ekkor az ''X'' = ''B'' helyettesítés kielégíti az egyenletet: | ||
:<math> \quad\quad(A\cap \overline{B}) \cup B =\emptyset \cup B=B</math> | :<math> \quad\quad(A\cap \overline{B}) \cup B =\emptyset \cup B=B</math> | ||
+ | 2.2. | ||
+ | :<math>A-X=X-A\,</math> | ||
+ | vagyis | ||
+ | :<math>A\cap\overline{X}=X\cap \overline{A}\,</math> | ||
+ | Ha van megoldás és bemetszünk mindkét oldalon ''A''-val, akkor | ||
+ | :<math>A\cap A\cap\overline{X}=X\cap \overline{A}\cap A\,</math> | ||
+ | :<math>A\cap\overline{X}=\emptyset</math> | ||
+ | azaz ''A'' ⊆ ''X'', de az egyenlet ''szimmetrikus'' az ''A'' és az ''X'' felcserélésére, ezért ''X'' ⊆ ''A'' is teljesül, amiből ''X'' = ''A'', ha van megoldás. Márpedig az egyenletet az ''X'' = ''A'' kielégíti. |
A lap 2008. október 11., 10:10-kori változata
Halmazok.
- Egyszerűsítse az alábbi kifejezéseket!
- Oldja meg az alábbi halmazegyenleteket, X-re!
Megoldás. 1. Legyen D a feladatban szereplő halmaz és legyen U = A U B U C a komplementerképzés alaphalmaza! Emeljünk ki A-t!
A második tényező első két tagjából kiemelhetünk B-t a második két tagjából B komplementert:
ekkor a halmaz és komplementere kiadja U-t, így:
Tehát D = A.
Boole-algebrai formalizmusban:
2.1. Legyen a komplementerképzés univerzuma U. Tegyük fel, hogy van megoldás. Eltünik az X komplementer a bal oldalról, ha mindkét oldalt elmetszük X-szel:
ez utóbbi pontosan azt jelenti, hogy X ⊆ B. Emellett a feltétel mellett B-vel a baloldalon "beuniózva":
amiből következik, hogy B ⊆ X és A ⊆ X. Ez egyfelől azt jelenti, hogy ha van megoldás, akkor az egyértelmű éspedig
Most vizsgáljuk meg a megoldhatóság feltételét. Azt kaptuk, hogy ha van megoldás, akkor A ⊆ X = B, vagyis
De ez elégséges feltétele is a megoldhatóságnak, ugyanis ekkor az X = B helyettesítés kielégíti az egyenletet:
2.2.
vagyis
Ha van megoldás és bemetszünk mindkét oldalon A-val, akkor
azaz A ⊆ X, de az egyenlet szimmetrikus az A és az X felcserélésére, ezért X ⊆ A is teljesül, amiből X = A, ha van megoldás. Márpedig az egyenletet az X = A kielégíti.