Matematika A3a 2008/6. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Elemi függvények) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Exponenciális függvény) |
||
31. sor: | 31. sor: | ||
Ebbőkkiderül az exponenciális függvény sok tulajdonsága. Például, ha z = x + iy, akkor | Ebbőkkiderül az exponenciális függvény sok tulajdonsága. Például, ha z = x + iy, akkor | ||
:<math>e^{x+iy}=e^x\cdot e^{iy}=e^x\cdot (\cos y + i\sin y)\,</math> | :<math>e^{x+iy}=e^x\cdot e^{iy}=e^x\cdot (\cos y + i\sin y)\,</math> | ||
− | Ebből rögtön következik, hogy komplex exponenciális függvény periodikus | + | Ebből rögtön következik, hogy komplex exponenciális függvény periodikus, periódusa a p = 2πi: |
− | :<math>e^{z+2\pi i}=e^z\cdot e^{2\pi i}=e^ | + | :<math>e^{z+2\pi i}=e^z\cdot e^{2\pi i}=e^z\cdot e^0\cdot (\cos 2\pi + i\sin 2\pi)=e^z(1+0i)\,</math> |
+ | '''Feladat.''' Oldjuk meg az | ||
+ | :<math>e^z=1+i\;</math> | ||
+ | egyenletet! | ||
+ | |||
+ | Írjuk át 1+i-t exponenciális alakba: | ||
+ | :<math>1+i=e^{\ln \sqrt{2}}\cdot e^{i\frac{\pi}{4}}\, | ||
+ | </math> | ||
+ | így | ||
+ | :<math>z=\ln\sqrt{2} +i\frac{\pi}{4}+2\pi i\,</math> | ||
+ | |||
A lap 2008. október 30., 12:31-kori változata
Elemi függvények
Hatványfüggvények
A
típusú függvények komplex hatványfüggvények. n ∈ Z esetén, komplex deriváltjuk kiszámítható, n ≠ -1 esetben komplex primitív függvényük is van a következő értelemben:
Mivel
ezért n ≠ -1 esetén az az F(z) függvény, melyre nem más, mint
ahol C komplex konstans. n ≠ -1-re nincs primitív függvénye, mert a logaritmus nem egyértékű a komplex számok között.
Komplex vonalintegrál értelmezhető a G: [a,b] C folytonos függvény, mint görbe esetén azzal a különlegességgel, hogy a szorzás a komplex szorzás:
Feltéve persze, hogy létezik és véges. Itt zi mindig a G görbe valamely pontját jelöli, amit az [a,b] egy felosztásának osztópontjainak G általi képeiből kapunk.
Ekkor fennáll a komplex Newton-Leibniz-formula. Ha z1 és z2 a G két végpontja (a és b képe), akkor a komplex integrál kiszámítható:
Feladat. Legyen G a 3 középpontú, 1 sugarú kör felső félköre (pozitív irányítással). Számítsuk ki a
integrált.
A hatványfüggvények inverzei szintén nem egyértékű függvények.
Exponenciális függvény
Ebbőkkiderül az exponenciális függvény sok tulajdonsága. Például, ha z = x + iy, akkor
Ebből rögtön következik, hogy komplex exponenciális függvény periodikus, periódusa a p = 2πi:
Feladat. Oldjuk meg az
egyenletet!
Írjuk át 1+i-t exponenciális alakba:
így