Matematika A3a 2008/6. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Hatványfüggvények) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Elemi függvények) |
||
26. sor: | 26. sor: | ||
integrált. | integrált. | ||
− | ''2. Feladat.''' Legyen G az origó körüli 2 sugarú kör vonal. Mennyi az | + | '''2. Feladat.''' Legyen G az origó körüli 2 sugarú kör vonal. Mennyi az |
:<math>\int\limits_{G}\frac{1}{z^2}\,\mathrm{d}z\,</math> | :<math>\int\limits_{G}\frac{1}{z^2}\,\mathrm{d}z\,</math> | ||
integrál. | integrál. | ||
39. sor: | 39. sor: | ||
Ebből rögtön következik, hogy komplex exponenciális függvény periodikus, periódusa a p = 2πi: | Ebből rögtön következik, hogy komplex exponenciális függvény periodikus, periódusa a p = 2πi: | ||
:<math>e^{z+2\pi i}=e^z\cdot e^{2\pi i}=e^z\cdot e^0\cdot (\cos 2\pi + i\sin 2\pi)=e^z(1+0i)\,</math> | :<math>e^{z+2\pi i}=e^z\cdot e^{2\pi i}=e^z\cdot e^0\cdot (\cos 2\pi + i\sin 2\pi)=e^z(1+0i)\,</math> | ||
− | '''Feladat.''' Oldjuk meg az | + | '''3. Feladat.''' Oldjuk meg az |
:<math>e^z=1+i\;</math> | :<math>e^z=1+i\;</math> | ||
egyenletet! | egyenletet! | ||
49. sor: | 49. sor: | ||
:<math>z=\ln\sqrt{2} +i\frac{\pi}{4}+2\pi i\,</math> | :<math>z=\ln\sqrt{2} +i\frac{\pi}{4}+2\pi i\,</math> | ||
+ | ===Trigonometikus függvények=== | ||
+ | |||
+ | :<math>\sin z=_{\mathrm{def}}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}\,</math> | ||
+ | :<math>\cos z=_{\mathrm{def}}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2n}}{(2n)!}\,</math> | ||
A lap 2008. október 30., 12:47-kori változata
Tartalomjegyzék |
Elemi függvények
Hatványfüggvények
A
típusú függvények komplex hatványfüggvények. n ∈ Z esetén, komplex deriváltjuk kiszámítható, n ≠ -1 esetben komplex primitív függvényük is van a következő értelemben:
Mivel
ezért n ≠ -1 esetén az az F(z) függvény, melyre nem más, mint
ahol C komplex konstans. n ≠ -1-re nincs primitív függvénye, mert a logaritmus nem egyértékű a komplex számok között.
Komplex vonalintegrál értelmezhető a G: [a,b] C folytonos függvény, mint görbe esetén azzal a különlegességgel, hogy a szorzás a komplex szorzás:
Feltéve persze, hogy létezik és véges. Itt zi mindig a G görbe valamely pontját jelöli, amit az [a,b] egy felosztásának osztópontjainak G általi képeiből kapunk.
Ekkor fennáll a komplex Newton-Leibniz-formula. Ha a G görbe olyan nyílt halmazban halad, melyben az f-nek van primitív függvénye (egyértékű függvénye!) akkor z1 és z2 a végpontok esetén (a és b képe), a komplex integrál kiszámítható így:
Ha a görbe belép az f értelmezési tartományának olyan részére, melyben a függvénynek nincs egyértelmű primitív függvénye, akkor az integrál értéke függhet a G úttól.
1. Feladat. Legyen G a 3 középpontú, 1 sugarú kör felső félköre (pozitív irányítással). Számítsuk ki a
integrált.
2. Feladat. Legyen G az origó körüli 2 sugarú kör vonal. Mennyi az
integrál.
A hatványfüggvények inverzei szintén nem egyértékű függvények.
Exponenciális függvény
Ebbőkkiderül az exponenciális függvény sok tulajdonsága. Például, ha z = x + iy, akkor
Ebből rögtön következik, hogy komplex exponenciális függvény periodikus, periódusa a p = 2πi:
3. Feladat. Oldjuk meg az
egyenletet!
Írjuk át 1+i-t exponenciális alakba:
így