Matematika A1a 2008/10. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Gyenge L'Hospital-szabály) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Lagrange-tétel) |
||
18. sor: | 18. sor: | ||
==Lagrange-tétel== | ==Lagrange-tétel== | ||
− | Legyen ''f'': [''a'',''b''] <math>\to</math> '''R''' differenciálható függvény. | + | Legyen ''f'': [''a'',''b''] <math>\to</math> '''R''' differenciálható függvény. Ekkor létezik olyan ξ ∈ (a,b), hogy |
+ | :<math>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi)\,</math> | ||
+ | ''Ugyanis,'' Legyen | ||
+ | :<math>m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\,</math> | ||
+ | Olyan ''g'' differenciálható függvény adunk meg, melynek pontosan olyan ''x'' helyen van nulla deriváltja, ahol f'(x)=m. Transzformáljuk el az ''f'' függvényt az l(x)=m(x-a) függvénnyel. Ezzel a g(x) = f(x) - l(x) olyan lesz, hogy g(a)=f(a)=g(b). 1) g folytonos, így a Weierstrass-tétel miatt felveszi mindkét típusú extrémumát. 2) van szélsőértéke a nyílt (a,b)-n. Esetszétválasztással. Ha max=min=f(a), akkor a függvény konstans, így van belül extrémum. Ha bármelyik nem f(a), akkor az a valamelyik nem lehet a-ban vagy b-ben (mert ezekben g f(a)). 3) alkalmazhatjuk a Fermat-féle szélsőértéktételt, így g'(ξ)=0, azaz f'(ξ) = m. | ||
[[Kategória:Matematika A1]] | [[Kategória:Matematika A1]] |
A lap 2008. november 25., 01:11-kori változata
Gyenge L'Hospital-szabály
Legyenek f és g: A R valós-valós függvények, u ∈ A ∩ A ', f(u)=g(u)=0, mindkettő differenciálható u-ban és g'(u) ≠ 0. Ekkor létezik a limu(f/g), és
Ugyanis,' írjuk fel az 1. definíciónak megfelelően a határértéket. Létezik az u-hoz olyan ε, η: A R, hogy minden x ∈ A ∩ Dom(f/g)-ra
és ∃limuε=ε(u)=0, ∃limuη=η(u)=0. Emiatt és f(u)=g(u)=0 miatt
Aminek a határéttéke, ha x tart u-hoz a kívánt hányados, amennyiben ellenőrizük, hogy g'(u) + η nem lesz nulla egy elég szűk környzeteben. Ekkor ugyanis a hányadosnak nem lenne értelme. Nos, |η| egy elég kis környzetben a nulla |g'(u)|/2 sugarú környzetében lesz, így ez a veszély nem fenyeget.
Példa.
Lagrange-tétel
Legyen f: [a,b] R differenciálható függvény. Ekkor létezik olyan ξ ∈ (a,b), hogy
Ugyanis, Legyen
Olyan g differenciálható függvény adunk meg, melynek pontosan olyan x helyen van nulla deriváltja, ahol f'(x)=m. Transzformáljuk el az f függvényt az l(x)=m(x-a) függvénnyel. Ezzel a g(x) = f(x) - l(x) olyan lesz, hogy g(a)=f(a)=g(b). 1) g folytonos, így a Weierstrass-tétel miatt felveszi mindkét típusú extrémumát. 2) van szélsőértéke a nyílt (a,b)-n. Esetszétválasztással. Ha max=min=f(a), akkor a függvény konstans, így van belül extrémum. Ha bármelyik nem f(a), akkor az a valamelyik nem lehet a-ban vagy b-ben (mert ezekben g f(a)). 3) alkalmazhatjuk a Fermat-féle szélsőértéktételt, így g'(ξ)=0, azaz f'(ξ) = m.