Matematika A3a 2008/10. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) a (→Reguláris- és főrész) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→A Laurent-sor együtthatói) |
||
53. sor: | 53. sor: | ||
===A Laurent-sor együtthatói=== | ===A Laurent-sor együtthatói=== | ||
:<math>c_n=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{G}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\mathrm{d}z</math> | :<math>c_n=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{G}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\mathrm{d}z</math> | ||
− | amennyiben a G egy a körgyűrűben haladó a <math>z_0</math>-t egyszer körülölelő zárt görbe. | + | amennyiben a G egy a körgyűrűben haladó a <math>z_0</math>-t egyszer körülölelő zárt görbe. |
+ | |||
+ | |||
+ | '''Példa.''' Fejtsük Laurent-sorba az alábbi függvényt a -i pont körül: | ||
+ | :<math>f(z)=\frac{\sin(z+i)}{(z+i)^3}\,</math> | ||
+ | |||
+ | ''1. Megoldás.'' Tegyük z+i=w-t és helyettesítsünk a sin már ismert sorába. w≠ 0-ra: | ||
+ | |||
+ | :<math>f(w)=\frac{1}{w^3}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)}w^{2n+1}= \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}w^{2n+1-3}=</math> | ||
+ | |||
+ | "2n+1-3=2n-2=2k"-val ill 2n=2k+2-vel, ill n=k+1 | ||
+ | |||
+ | :<math> | ||
+ | =\sum\limits_{k=-1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{(2k+3)!}w^{2k}</math> | ||
+ | |||
+ | ''2. Megoldás.'' Az képlettel és a sin deriváltjaival. | ||
+ | <math> | ||
+ | c_n=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{G}\frac{\frac{\sin(w)}{w^3}}{w^{n+1}}\mathrm{d}w= | ||
+ | \frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{G}\frac{\sin(w)}{w^{n-2}}\mathrm{d}w=</math> | ||
+ | Ezt a deriváltra vonatkozó Cauchy-féle képletekkel kell kiszámítanunk, az n-edik együtthatót abból a képletből számoljuk, mely nevezőben lévő n-2 = (n-1)+1 miatt az n-1-edik deriváltat adja. Mivel | ||
+ | :<math>\sin^{(n-1)}(0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint\limits_{G}\frac{\sin(w)}{w^{n-2}}\mathrm{d}w</math> | ||
+ | ezért | ||
+ | :<math> | ||
+ | c_n=\frac{1}{2\pi i}\frac{2\pi i }{n!}\sin^{(n-1)}(0)=\frac{\sin^{(n-1)}(0) }{n!}=\frac{\sin^{(n-1)}(0) }{n!}</math> | ||
===Főrész nélküli Laurent-sor=== | ===Főrész nélküli Laurent-sor=== |
A lap 2008. december 1., 18:01-kori változata
Tartalomjegyzék |
Taylor-sor
A Cauchy-féle integrálformula következménye a következő tétel, mely a komplex differenciálelmélet egyik megjellegzetesebb eredménye:
Tétel. Ha az f: C C függvény az értelmezési tartománya egy z0 pontjában és ennek egy nyílt környezetében komplex differenciálható (azaz z0-ban reguláris), akkor f a z0 pont egy V = Bδ(z0) környezetén mindenhol végtelenszer differenciálható, V minden pontjában az f z0-beli Taylor-sora konvergens és ennek határfüggvénye V-n előállítja f-et:
(azaz f analitikus z0-ban).
A tétel tehét azt mondja ki, hogy "reguláris függvény analitikus".
Megjegyezzük, hogy 1. mint minden nemnegatív egész hatványokat tartalmazó hatványsor, a Taylor-sor is egy körlap belsején abszolút konvergens, mely körlap sugara a konvergenciasugára, mely
ahol a sor a ∑an(z-z0)n, a körlap középpontja z0, és ahol a reciprok kivételesen úgy értendő, hogy 1/0 = ∞, 1/∞ = 0.
2. A legyakrabban használt Taylor-sorok a következők:
természetesen az utolsónál a z=1 pont 1 sugarú nyílt környezetében értelmezett logaritmusról van szó.
3. Mint minden hatványsor ez is egyenletesen konvergál az összegfüggvényéhez, így tagonként deriválható és integrálható.
Laurent-sor
A következőkben olyan függvényekkel foglalkozunk, melyek egy adott pontban nem feltétlenül regulárisak, de azon kívül egy környzetben azok.
Tétel. Ha az f: C C függvény olyan, hogy a z0 pont egy
kipontozott környezetében az f függvény reguláris, akkor a z0 pont körül f Laurent-sorba fejthető, azaz léteznek olyan z_0 körüli
körgyűrű hogy ezen belül egy
sor előállítja f-et.
A körgyűrű sugarai
Reguláris- és főrész
A Laurent-sor
részét a sor főrészének, a
részét a sor reguláris részének nevezzük.
A Laurent-sor együtthatói
amennyiben a G egy a körgyűrűben haladó a z0-t egyszer körülölelő zárt görbe.
Példa. Fejtsük Laurent-sorba az alábbi függvényt a -i pont körül:
1. Megoldás. Tegyük z+i=w-t és helyettesítsünk a sin már ismert sorába. w≠ 0-ra:
"2n+1-3=2n-2=2k"-val ill 2n=2k+2-vel, ill n=k+1
2. Megoldás. Az képlettel és a sin deriváltjaival.
Ezt a deriváltra vonatkozó Cauchy-féle képletekkel kell kiszámítanunk, az n-edik együtthatót abból a képletből számoljuk, mely nevezőben lévő n-2 = (n-1)+1 miatt az n-1-edik deriváltat adja. Mivel
ezért
Főrész nélküli Laurent-sor
Ha nincs a Laurent-sornak főrésze, akkor R-=0 és az f függvény a z0 pontban vagy reguláris, vagy megszüntethető szakadása van. Ez utóbbi amiatt, hogy ebben az esetben f a z0-on kívül azonos egy hatványsor összegfüggvényével, mely azonban Abel tétele miatt folytonos és így határértéke a helyettesítési értékkel egyenlő. Tehát, ha f ilyen, akkor:
hiszen a hatványsoroknál a középpontban a 00 hatványt 1-nek értelmezzük.
f kiterjeszthető ezek szerint analitikusan kiterjeszthető és az értéke
Világos, hogy ezesetben a cn együtthatók pontosan az f kiterjesztésének Taylor-sori együtthatói, hiszen a deriváltakra vonatkozó Cauchy-formulákat a Taylor-sorral összevetve:
bármilyen a z0-t egyszer körülölelő, a körgyűrűben haladó zárt görbére.
Példa. Igazoljuk, hogy az alábbi függvény reguláris a 0 pontban és számítsuk ki a a kiterjesztés összes magasabbrendű deriváltját!
Megoldás. Elvileg ez egy Laurent-sor, hisz számlálóbeli reguláris függvény van elosztva z2-tel. De konkrétan elvégezve:
azaz f a 0-t kivéve egy reguláris függvénnyel egyenlő, azaz kiterjeszthető regulárissá és ez a fenti. A deriváltakat a Taylor-sor együtthatói adják a megfelelő faktoriálissal megsorozva. k=n-2-re:
azaz