Matematika A3a 2008/10. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→A Laurent-sor együtthatói) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→A körgyűrű sugarai) |
||
43. sor: | 43. sor: | ||
:<math>R_+=\frac{1}{\limsup\limits_{n>0}\sqrt[n]{|c_n|}}\,</math> | :<math>R_+=\frac{1}{\limsup\limits_{n>0}\sqrt[n]{|c_n|}}\,</math> | ||
:<math>R_-=\limsup\limits_{n<0}\sqrt[n]{|c_n|}\,</math> | :<math>R_-=\limsup\limits_{n<0}\sqrt[n]{|c_n|}\,</math> | ||
+ | |||
+ | '''Példa.''' Mely pontok körül fejthető sorba az | ||
+ | :<math>f(z)=\frac{1}{z} \,</math> | ||
+ | függvény és mik a konvergenciatartományok? | ||
+ | ''Megoldás.'' z ≠ 0-ra reguláris, így minden <math>z_0</math> ≠ 0-ra Taylor-sorba fejthető. Ez a sor: | ||
+ | |||
+ | :<math>\frac{1}{z-z_0+z_0}=\frac{1}{z_0}\cdot\frac{1}{z-z_0+1}=\frac{1}{z_0}\cdot\frac{1}{1-(-1)(z-z_0)}=</math> | ||
+ | ::<math> =\frac{1}{z_0}\cdot\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n(z-z_0)^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{z_0}(z-z_0)^n</math> | ||
+ | A sugara 1, hisz |(-1)||z-<math>z_0</math>|<1 kell, ami ugyanaz, mint |z-<math>z_0</math>|<1. Persze, ha |<math>z_0</math>| < 1, akkor a sugár, maga a |<math>z_0</math>|, hisz a 0-t nem állítja elő a sor. | ||
+ | |||
+ | z = 0-ban Laurent-sora is van éspedig önmaga: | ||
+ | :<math>f(z)=...+0+\frac{1}{z}+0+... \,</math> | ||
+ | Ennek a sugarai R<sub>-</sub>=0, mert a (...0,0,1) sorozat n-edik gyökeinek limszupja 0, és R<sub>-</sub>=+∞, mert a (0,0,0,0,0,...) sorozat n-edik gyökeinek limszupja 0 és "reciproka" + végtelen. (Ez egyben a ∞ körüli Laurent-sor, melynek csak reguláris része van.) | ||
===Reguláris- és főrész === | ===Reguláris- és főrész === |
A lap 2008. december 1., 18:59-kori változata
Tartalomjegyzék |
Taylor-sor
A Cauchy-féle integrálformula következménye a következő tétel, mely a komplex differenciálelmélet egyik megjellegzetesebb eredménye:
Tétel. Ha az f: C C függvény az értelmezési tartománya egy z0 pontjában és ennek egy nyílt környezetében komplex differenciálható (azaz z0-ban reguláris), akkor f a z0 pont egy V = Bδ(z0) környezetén mindenhol végtelenszer differenciálható, V minden pontjában az f z0-beli Taylor-sora konvergens és ennek határfüggvénye V-n előállítja f-et:
(azaz f analitikus z0-ban).
A tétel tehét azt mondja ki, hogy "reguláris függvény analitikus".
Megjegyezzük, hogy 1. mint minden nemnegatív egész hatványokat tartalmazó hatványsor, a Taylor-sor is egy körlap belsején abszolút konvergens, mely körlap sugara a konvergenciasugára, mely
ahol a sor a ∑an(z-z0)n, a körlap középpontja z0, és ahol a reciprok kivételesen úgy értendő, hogy 1/0 = ∞, 1/∞ = 0.
2. A legyakrabban használt Taylor-sorok a következők:
természetesen az utolsónál a z=1 pont 1 sugarú nyílt környezetében értelmezett logaritmusról van szó.
3. Mint minden hatványsor ez is egyenletesen konvergál az összegfüggvényéhez, így tagonként deriválható és integrálható.
Laurent-sor
A következőkben olyan függvényekkel foglalkozunk, melyek egy adott pontban nem feltétlenül regulárisak, de azon kívül egy környzetben azok.
Tétel. Ha az f: C C függvény olyan, hogy a z0 pont egy kipontozott környezetében az f függvény reguláris, akkor a z0 pont körül f Laurent-sorba fejthető, azaz léteznek olyan z_0 körüli
körgyűrű hogy ezen belül egy
sor előállítja f-et.
A körgyűrű sugarai
Példa. Mely pontok körül fejthető sorba az
függvény és mik a konvergenciatartományok? Megoldás. z ≠ 0-ra reguláris, így minden z0 ≠ 0-ra Taylor-sorba fejthető. Ez a sor:
A sugara 1, hisz |(-1)||z-z0|<1 kell, ami ugyanaz, mint |z-z0|<1. Persze, ha |z0| < 1, akkor a sugár, maga a |z0|, hisz a 0-t nem állítja elő a sor.
z = 0-ban Laurent-sora is van éspedig önmaga:
Ennek a sugarai R-=0, mert a (...0,0,1) sorozat n-edik gyökeinek limszupja 0, és R-=+∞, mert a (0,0,0,0,0,...) sorozat n-edik gyökeinek limszupja 0 és "reciproka" + végtelen. (Ez egyben a ∞ körüli Laurent-sor, melynek csak reguláris része van.)
Reguláris- és főrész
A Laurent-sor
részét a sor főrészének, a
részét a sor reguláris részének nevezzük.
A Laurent-sor együtthatói
amennyiben a G egy a körgyűrűben haladó a z0-t egyszer körülölelő zárt görbe.
Példa. Fejtsük Laurent-sorba az alábbi függvényt a -i pont körül:
1. Megoldás. Tegyük z+i=w-t és helyettesítsünk a sin már ismert sorába. w≠ 0-ra:
"2n+1-3=2n-2=2k"-val ill 2n=2k+2-vel, ill n=k+1
2. Megoldás. Az képlettel és a sin deriváltjaival.
n +4 < 0-ra, azaz n < -4 -re az integrandus reguláris, így az integrál 0, sőt n=-4-re és n=-3-re is ez a helyzet. n > -3 -re a deriváltakra vonatkozó Cauchy-féle képletekkel kell kiszámítanunk, az n-edik együtthatót abból a képletből számoljuk, mely nevezőben lévő n+4 = (n+3)+1 miatt az n+3-edik deriváltat adja. Mivel
ezért
2l=n-nel
- és
Főrész nélküli Laurent-sor
Ha nincs a Laurent-sornak főrésze, akkor R-=0 és az f függvény a z0 pontban vagy reguláris, vagy megszüntethető szakadása van. Ez utóbbi amiatt, hogy ebben az esetben f a z0-on kívül azonos egy hatványsor összegfüggvényével, mely azonban Abel tétele miatt folytonos és így határértéke a helyettesítési értékkel egyenlő. Tehát, ha f ilyen, akkor:
hiszen a hatványsoroknál a középpontban a 00 hatványt 1-nek értelmezzük.
f kiterjeszthető ezek szerint analitikusan kiterjeszthető és az értéke
Világos, hogy ezesetben a cn együtthatók pontosan az f kiterjesztésének Taylor-sori együtthatói, hiszen a deriváltakra vonatkozó Cauchy-formulákat a Taylor-sorral összevetve:
bármilyen a z0-t egyszer körülölelő, a körgyűrűben haladó zárt görbére.
Példa. Igazoljuk, hogy az alábbi függvény reguláris a 0 pontban és számítsuk ki a a kiterjesztés összes magasabbrendű deriváltját!
Megoldás. Elvileg ez egy Laurent-sor, hisz számlálóbeli reguláris függvény van elosztva z2-tel. De konkrétan elvégezve:
azaz f a 0-t kivéve egy reguláris függvénnyel egyenlő, azaz kiterjeszthető regulárissá és ez a fenti. A deriváltakat a Taylor-sor együtthatói adják a megfelelő faktoriálissal megsorozva. k=n-2-re:
azaz