Szerkesztő:Mozo/Linalg gyakorló 1.
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Egyenletrendszerek) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Sajátértékfeladatok) |
||
71. sor: | 71. sor: | ||
==Sajátértékfeladatok== | ==Sajátértékfeladatok== | ||
− | '''1.''' Legyen '''A''' az x+ | + | '''1.''' Legyen '''A''' az x+2y=0 egyenesre tükrözés operátora. Számítsa ki az |
− | :<math>\mathbf{A}^{111}-\mathbf{A}^2+\mathbf{I}\,</math> | + | :<math>\mathbf{B}=\mathbf{A}^{111}-\mathbf{A}^2+\mathbf{I}\,</math> |
leképezés sajátértékeit és sajátvektorait! | leképezés sajátértékeit és sajátvektorait! | ||
+ | |||
+ | '''A''' tükrözés, így páratlanadik hatványa önmaga, párosadik pedig az '''I'''. Emiatt B=A. | ||
+ | |||
+ | Mivel az egyenes: (1,2)<math>\cdot</math>(x,y)=0 ezért az egyik sajátvektor az (1,2), ehhez a -1 sajátréték tarozik, a másik (2,-1), melyhez az 1. | ||
+ | |||
+ | '''2.''' Legyen | ||
+ | :<math>A=\begin{pmatrix} | ||
+ | 1 & 2 \\ | ||
+ | 1 & 2 | ||
+ | \end{pmatrix}</math> | ||
+ | határozzuk meg az '''A'''<sup>100</sup> sajátvektorait, sajátértékeit! | ||
+ | |||
+ | Ez egy y-x=0-be képező projekció. Az {(1,1), (-1,1)} bázisra áttérés: | ||
+ | :<math>T=\begin{pmatrix} | ||
+ | 1 & -1 \\ | ||
+ | 1 & 1 | ||
+ | \end{pmatrix}</math> | ||
+ | Ennek inverze: | ||
+ | :<math>T^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} | ||
+ | 1 & 1 \\ | ||
+ | -1 & 1 | ||
+ | \end{pmatrix}</math> | ||
+ | Emiatt A a másik bázisban: | ||
+ | :<math>A'=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} | ||
+ | 1 & 1 \\ | ||
+ | -1 & 1 | ||
+ | \end{pmatrix}\begin{pmatrix} | ||
+ | 1 & 2 \\ | ||
+ | 1 & 2 | ||
+ | \end{pmatrix}\begin{pmatrix} | ||
+ | 1 & -1 \\ | ||
+ | 1 & 1 | ||
+ | \end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} | ||
+ | 1 & 1 \\ | ||
+ | -1 & 1 | ||
+ | \end{pmatrix}\begin{pmatrix} | ||
+ | 3 & 1 \\ | ||
+ | 3 & 1 | ||
+ | \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} | ||
+ | 3 & 1\\ | ||
+ | 0 & 0\end{pmatrix}</math> |
A lap 2009. március 12., 20:07-kori változata
Alterek
1. Igazolja, hogy ha W1 és W2 altér V-ben, akkor
- altér
Ugyanis, ha u,v ∈ W1∩W2, akkor u,v ∈W1 és u,v ∈ W2, de ezek zártak az összeadásra és a számmal való szorzásra, ezért: u+v ∈ W1 és u+v ∈ W2,, azaz u+v ∈ W1∩W2 és λ.u ∈ W1 és λ.u ∈ W2, azaz λ.u∈ W1∩W2,.
2. Igazoljuk, hogy ha W1 és W2 altér V-ben és W1∩W2, ≠ {0}, akkor
Először belátjuk, hogy
ha B bázis W1-ben és C bázis W2-ben BUC generátorrendszere -nek, de nem nagyobb a számossága, mint |B|+|C|
Most belátjuk, a szigorú egyenlőtlenséget. W1∩W2 altér mindkét altérben, ezért ha a metszet nem 0, akkor egy D ⊆ W1∩W2 bázis kiegészíthető W1 bázisává és W2 bázisává: B'UD és DUC'-vel. Feltehető, hogy B' elemei különböznek C' elemeitől, mert ha nem, akkor különbözőkkémeg nyújthatók.
hiszen D elemeit kétszer számoltuk.
Egyenletrendszerek
1.
Ax=b-nek pontosan akkor van megoldása, ha r(A)=r(A|b). r(A) az oszlopok által kifeszített altér dimenziója.
hisz egyrészt csak háromemeletesek, másrészt van három független (1.,2.,4. oszlop). r(A)=3 pontosan akkor, ha a=-1. Ezesetben pedig valóban 1 megoldás van, mert det(A) ≠ 0.
Megoldás: x_0+Ker(A), Ker(A)={0}, mert A invertálható:
x_0=(1,2,1)
2.
Megoldhatóság: b=0
Megoldások száma: végtelen, mert dimKer(A)=3-dimIm(A)=3-2=1
Megoldások: inhomogén: (-1,0,1). Ker(A)={t(-2,1,1)}
Sajátértékfeladatok
1. Legyen A az x+2y=0 egyenesre tükrözés operátora. Számítsa ki az
leképezés sajátértékeit és sajátvektorait!
A tükrözés, így páratlanadik hatványa önmaga, párosadik pedig az I. Emiatt B=A.
Mivel az egyenes: (1,2)(x,y)=0 ezért az egyik sajátvektor az (1,2), ehhez a -1 sajátréték tarozik, a másik (2,-1), melyhez az 1.
2. Legyen
határozzuk meg az A100 sajátvektorait, sajátértékeit!
Ez egy y-x=0-be képező projekció. Az {(1,1), (-1,1)} bázisra áttérés:
Ennek inverze:
Emiatt A a másik bázisban: