Matematika A3a 2009/6. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Példák) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Példák) |
||
51. sor: | 51. sor: | ||
2y & 2x | 2y & 2x | ||
\end{pmatrix}=2z</math> | \end{pmatrix}=2z</math> | ||
− | '''4 | + | '''4. ''' Számítsuk ki az <math>\scriptstyle{f(z)=\overline{z}}</math> '''R'''-differenciálját! |
Ha ''z'' = ''x'' + i ''y'', akkor <math>\scriptstyle{\overline{z}=x-\mathrm{i}y}</math>, így: | Ha ''z'' = ''x'' + i ''y'', akkor <math>\scriptstyle{\overline{z}=x-\mathrm{i}y}</math>, így: | ||
59. sor: | 59. sor: | ||
\end{pmatrix}\notin\mathbf{C} </math> | \end{pmatrix}\notin\mathbf{C} </math> | ||
tehát a konjugálás sehol sem komplex differenciálható, bár mindenhol '''R'''-differenciálható. | tehát a konjugálás sehol sem komplex differenciálható, bár mindenhol '''R'''-differenciálható. | ||
+ | |||
+ | ==Elégséges feltétel== | ||
+ | |||
+ | Ahhoz, hogy egy ''f'' = ''u'' + i''v'' függvény komplex differenciálható legyen egy pontban, elegendő, ha | ||
+ | # az ''u'' és a ''v'' parciálisan differenciálható a pont egy környezetében, | ||
+ | # abban a pontban folytonosan differenciálhatók és | ||
+ | # a Cauchy--Riemann-feltételek teljesülnek. | ||
+ | |||
+ | '''5.''' Hol folytonos, hol komplex differenciálható az alábbi függvény? | ||
+ | # <math>f(z)=\overline{z}z | ||
+ | </math> | ||
+ | # <math>f(z)=\frac{z^3}{\overline{z}} | ||
+ | </math> | ||
+ | # <math>f(z)=f(x+iz)=\frac{xy}{x^2+y^2}+i\frac{xy}{x^2+y^2} | ||
+ | </math>, ha z≠0 és f(0)=0 |
A lap 2009. október 29., 22:30-kori változata
C-differenciálhatóság
Legyen az
- f(z) = f(x + iy) =u(x + iy) +iv(x + iy)
függvény
- valósan parciálisan deriválható z0-ban, azaz az u és v függvények legyenek parciálisan deriválhatóak az (x0,y0) pontban és
- tegyük fel, hogy a Jacobi-mátrixa egy w ∈ C szám mátrixreprezentációja: Jf ∈ C
(1) Ekkor egyfelől, tekintsük a totális differenciálhatóságának deifiníciójában szereplő kifejezést:
Ah(z)=(z-z0)/|z-z0| függvényt kiemelve:
h(z) a komplex "egységgömbön" "futó" függvény, ezért hossza 1. Ha most feltesszük a komplex deriválhatóságot, azonnal kijön belőle, a korlátos x nullához tartó miatt ez a határététék 0, azaz a függvény totálisan diffható.
(2) Ha azonban a totális diffhaságot tesszük fel, akkor a |h(z)|=1 miatt:
a különbdségi hányadosfüggvény abszolút értékének határértéke is nulla, de ez pont azt jelenti, hogy komplex derivált is nulla.
Tehát:
Tétel Az f = u + vi, C ⊃ C függvénynek az z∈ Dom(f) belső pontja, akkor a következő két kijelentés ekvivalens egymással:
- f komplex differenciálható z-ben
- f totálisan R-differenciálható z-ban és
ami utóbbi egyenlőség azt fejezi ki, hogy Jf ∈ C és Cauchy--Riemann-egyenleteknek nevezik őket.
Példák
1. A hozzáadás, mint affin függvény R-differenciálható, és R-differenciálja az identitás:
- akkor
2. A komplex számmal szorzás R-differenciálját közvetlenül a Jacobi-mátrixból számíthatjuk ki:
- akkor
Rendkívül érdekes észrevétel tanúi lehetünk ekkor. z wz R-deriváltja maga w komplex számnak megfelelő mátrix, azaz
ha mátrixreprezentációt veszünk. Sőt, visszanézve ez az összeadásra is igaz:
3. Számítsuk ki az f(z) = z2 R-differenciálját!
Legyen z = x + i y. Ekkor z2 = x2 - y2 +i(2xy)
4. Számítsuk ki az R-differenciálját!
Ha z = x + i y, akkor , így:
tehát a konjugálás sehol sem komplex differenciálható, bár mindenhol R-differenciálható.
Elégséges feltétel
Ahhoz, hogy egy f = u + iv függvény komplex differenciálható legyen egy pontban, elegendő, ha
- az u és a v parciálisan differenciálható a pont egy környezetében,
- abban a pontban folytonosan differenciálhatók és
- a Cauchy--Riemann-feltételek teljesülnek.
5. Hol folytonos, hol komplex differenciálható az alábbi függvény?
- , ha z≠0 és f(0)=0