Matematika A3a 2009/egzakt
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Példa, elnevezés) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Egzakt egyenlet jellezése) |
||
33. sor: | 33. sor: | ||
Tehát az egzakt egyenletben a (P,Q) függvény '''potenciálos'''. Ebből hasznos jellemzést kapunk a vektoranalízisbeli ismereteinkből. | Tehát az egzakt egyenletben a (P,Q) függvény '''potenciálos'''. Ebből hasznos jellemzést kapunk a vektoranalízisbeli ismereteinkből. | ||
− | ==Egzakt egyenlet | + | ==Egzakt egyenlet jellemzése és megoldhatósága== |
+ | '''Tétel.''' Legyen ''U'' egyszeresen összefüggő nyílt halmaz, ''P'',''Q'': ''U'' <math>\to</math> '''R''' folytonosan differenciálható függvények. A Pdx + Qdy = 0 egyenlet pontosan akkor egzakt, ha | ||
+ | :<math>\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}</math> | ||
+ | |||
+ | Az F függvényt, az Pdx + Qdy = 0 egyenlet első integráljának nevezzük. | ||
+ | |||
+ | Ezt a tételt jól ismerjük és a bizonyítását a vektoranalízisben vettük. Sokkal fontosabb azonban, hogy igazoljuk az egyenlet megoldhatóságát ebben az esetben. | ||
+ | |||
+ | '''Tétel.''' Legyen ''P'',''Q'': ''U'' <math>\to</math> '''R''' folytonosan differenciálható függvények, ''Q'' sehol se nulla, grad F = (P,Q) és <math>(x_0,y_0)</math> ∈ ''U''. Ekkor | ||
+ | # a Pdx + Qdy = 0 egyenletnek van a kezdeti feltételt egyértelműen kielégítő megoldása és | ||
+ | # az F(x,y) = C egyenlet <math>(x_0,y_0)</math>-n áthaladó implicit függvénye a Pdx + Qdy = 0 egyenlet <math>y(x_0)=y_0</math> kezdeti feltételt kielégítő megoldása. | ||
+ | |||
+ | ''Biz.'' 1) ''Egzisztencia.'' | ||
+ | :<math>Q(x_0,y_0)=\left.\frac{\partial F}{\partial y}\right|_{(x_0,y_0)}\ne 0</math> | ||
+ | így az implicit függvény tétel szerint, egyértelműen létezik F-nek y=y(x) implicit függvénye az adott pontban és ennek deriváltja: | ||
+ | :<math>y'(x)=-\frac{\;\cfrac{\partial F}{\partial x}(x,y(x))\;}{\cfrac{\partial F}{\partial y}(x,y(x))}=-\frac{P(x,y(x))}{Q(x,y(x))}</math> | ||
+ | Tehát létezik megoldása és y egy megoldása az egyenéletnek. | ||
+ | |||
+ | 2) ''Unicitás.'' Ha létezik megoldása az egyenletnek, akkor a | ||
+ | :<math>y'(x)=-\frac{P(x,y(x))}{Q(x,y(x))}</math> | ||
+ | egyenlet a grad F = (P,Q) miatt | ||
+ | :<math>\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y}y'=0\,</math> | ||
+ | de mivel | ||
+ | :<math>(F(x,y(x)))'=\frac{\partial F}{\partial x}(x,y(x))+y'\frac{\partial F}{\partial y}(x,y(x))\equiv 0\,</math> | ||
+ | ezért az integrálszámítás alaptétele miatt F(x,y(x)) egy konstans függvény, azaz y(x) implicit függvénye az F(x,y)=0 egyenletnek. Ez ez utóbbi egyértelmű, ezért a megoldás is. |
A lap 2009. november 18., 19:40-kori változata
Definíció
Azt mondjuk, hogy az
differenciálegyenlet egzakt, ha P,Q: U R nyílt halmazon értelmezett függvények (Q sehol sem nulla) úgy, hogy létezik olyan F: U R folytonosan differenciálható függvény, hogy
Példa, elnevezés
Példa. Minden
alakú szeparábilis differenciálegyenlet egzakt (f,g folytonos, g sehol se nulla), hiszen ekkor a megoldásból:
olyan, hogy
Látható, hogy ekkor a megoldásokat implicit módon adja meg az
egyenlet, ami általában is így lesz ( F(x,y) = C ) ezért előnyös az egzakt forma.
Megjegyzés. Az egzakt differenciálegyenletet még
- ill.
alakban is szokás írni.
Ez utóbbi egyenletetről azt is mondják, hogy akkor egzakt, ha a Q(x,y)dx + P(x,y)dy kifejezés teljes differenciál, azaz létezik olyan F(x,y) függvény, melynek teljes differenciálja:
Ezt mai jelölésekkel a következőképpen értelmezhetjük. Egy F kétváltozós függvény teljes differenciálja egy lineáris leképezés, mely a sztenderd {(1,0),(0,1)} bázisban felírt koordinátáival nem más, mit a parciális deriváltjainak sormátrixa:
Emiatt a (C) feltétel a következő alakban is írható:
- ill.
Tehát az egzakt egyenletben a (P,Q) függvény potenciálos. Ebből hasznos jellemzést kapunk a vektoranalízisbeli ismereteinkből.
Egzakt egyenlet jellemzése és megoldhatósága
Tétel. Legyen U egyszeresen összefüggő nyílt halmaz, P,Q: U R folytonosan differenciálható függvények. A Pdx + Qdy = 0 egyenlet pontosan akkor egzakt, ha
Az F függvényt, az Pdx + Qdy = 0 egyenlet első integráljának nevezzük.
Ezt a tételt jól ismerjük és a bizonyítását a vektoranalízisben vettük. Sokkal fontosabb azonban, hogy igazoljuk az egyenlet megoldhatóságát ebben az esetben.
Tétel. Legyen P,Q: U R folytonosan differenciálható függvények, Q sehol se nulla, grad F = (P,Q) és (x0,y0) ∈ U. Ekkor
- a Pdx + Qdy = 0 egyenletnek van a kezdeti feltételt egyértelműen kielégítő megoldása és
- az F(x,y) = C egyenlet (x0,y0)-n áthaladó implicit függvénye a Pdx + Qdy = 0 egyenlet y(x0) = y0 kezdeti feltételt kielégítő megoldása.
Biz. 1) Egzisztencia.
így az implicit függvény tétel szerint, egyértelműen létezik F-nek y=y(x) implicit függvénye az adott pontban és ennek deriváltja:
Tehát létezik megoldása és y egy megoldása az egyenéletnek.
2) Unicitás. Ha létezik megoldása az egyenletnek, akkor a
egyenlet a grad F = (P,Q) miatt
de mivel
ezért az integrálszámítás alaptétele miatt F(x,y(x)) egy konstans függvény, azaz y(x) implicit függvénye az F(x,y)=0 egyenletnek. Ez ez utóbbi egyértelmű, ezért a megoldás is.