Matematika közlek a3 2010 1. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Majoráns-, hányados-, gyök- és Leibniz-kritérium) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Majoráns-, hányados-, gyök- és Leibniz-kritérium) |
||
69. sor: | 69. sor: | ||
''Mo.'' | ''Mo.'' | ||
: <math>\frac{\frac{2^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{2^{n}n!}{n^n}}=2 \left(\frac{n}{n+1}\right)^n\to 2\frac{1}{e}<1</math> | : <math>\frac{\frac{2^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{2^{n}n!}{n^n}}=2 \left(\frac{n}{n+1}\right)^n\to 2\frac{1}{e}<1</math> | ||
+ | |||
+ | ==Függvénysorozatok== | ||
+ | |||
+ | Az azonos A ⊆ '''C''' halmazon értelmezett komplex vagy valós függvények <math>f_n:A\to \mathbf{C}</math> sorozatának konvergenciatartományán azzon K halmazt értjük, melyhez pontosan akkor tartozik az x pont, ha az <math>(f_n(x))</math> sorozat konvergens. | ||
+ | |||
+ | '''4.''' Függvénysorozatok pontonkénti konvergenciája | ||
+ | |||
+ | # <math>f_n(z)=\frac{zn^2+6n}{3n^2+zn}</math> | ||
+ | # <math>f_n(z)=\frac{z^{n+4}}{3}</math> | ||
+ | # <math>f_n(x)=\frac{x^n}{1+x^{2n}}</math> | ||
+ | # <math>f_n(x)=n\sin\frac{x}{n}</math> |
A lap 2010. szeptember 6., 19:25-kori változata
Tartalomjegyzék |
Numerikus sor definíciója
- vagy sorozat, akkor ennek részletösszegsorozata:
- (sn)-t az (an) sorozatból képezett sornak nevezzük és azt mondjuk, hogy az (sn) sor konvergens, és összege az
szám, ha az (sn) sorozat konvergens, és határértéke
Megjegyzés A zn = xn + iyn komplex sorozat konvergens és határértéke a z komplex szám, ha minden ε>0 szám esetén létezik N, hogy ha n>N, akkor |z_n-z|<ε. (zn) konvergens pontosan akkor, ha (xn) és (yn) is konvergens, mint valós sorozat.
1. Számítsuk ki a következő sorok összegét (ha létezik)!
- (!)
Mo.
Cauchy-kritérium, integrálkritérium, szükséges feltétel
Cauchy-kritérium. Az (an)-ből képezett (sn) konvergens, pontosan akkor, ha minden ε>0-hoz létezik N, hogy minden m>n>N-re
Szükséges feltétel. Ha ∑(an) konvergens, akkor (an) nullsorozat.
Integrálkritérium. Ha az monoton csükkenő és pozitív valós függvény, akkor az
impróprius integrál és a
numerikus sor egyszerre konvergens.
2. Konvergensek-e az alábbi sorok?
Mo.
legyen ε=1, N tetszőleges, m=2N, n=N. Ekkor
Intergálkritériummal:
Majoráns-, hányados-, gyök- és Leibniz-kritérium
3.
Mo.
Függvénysorozatok
Az azonos A ⊆ C halmazon értelmezett komplex vagy valós függvények sorozatának konvergenciatartományán azzon K halmazt értjük, melyhez pontosan akkor tartozik az x pont, ha az (fn(x)) sorozat konvergens.
4. Függvénysorozatok pontonkénti konvergenciája