Szerkesztő:Mozo/A3 gyakorló feladatok 2.
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→1. Mo.) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Kezdeti érték probléma) |
||
29. sor: | 29. sor: | ||
Nem egzakt: | Nem egzakt: | ||
:<math>\frac{\partial P}{\partial y}=4x^2\cos^{3}y(\sin y)</math> | :<math>\frac{\partial P}{\partial y}=4x^2\cos^{3}y(\sin y)</math> | ||
− | :<math>\frac{\partial Q}{\partial x}=4x^2\cos^{3}y(\sin y)</math> | + | :<math>\frac{\partial Q}{\partial x}=0</math> |
− | + | Egzakttá tehető az (1/cos^4 y) integráló szorzóval. | |
+ | Ugyanis: | ||
+ | :<math>-\frac{\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}}{P}=\frac{4x^2\cos^{3}y(\sin y)}{x^2\cos^4y}=\frac{4\sin y}{\cos y}</math> | ||
+ | ===2. Mo.=== | ||
de valójában az egyenlet a | de valójában az egyenlet a | ||
:<math>y'=x^2\frac{\cos^4 y}{\sin y}</math> | :<math>y'=x^2\frac{\cos^4 y}{\sin y}</math> | ||
− | és ez szeparábilis. | + | és ez szeparábilis. |
− | + | ||
a) Ez egy konstans megoldás (y(x)=π/2) és nincs másik a (0,π/2)-n áthaladó, mert az y szerinti parciális derivált korlátos. | a) Ez egy konstans megoldás (y(x)=π/2) és nincs másik a (0,π/2)-n áthaladó, mert az y szerinti parciális derivált korlátos. | ||
A lap 2012. október 8., 11:02-kori változata
Tartalomjegyzék |
Lineáris helyettesítés
Mi az általános megoldása?
Mo.
Legyen u=2x+4y, ekkor du=2dx+4dy, azaz
Innen:
Implicit általános megoldás:
Kezdeti érték probléma
Oldjuk meg az
egyenletet az
- a)
- b)
- c)
kezdeti feltételekkel.
1. Mo.
Nem egzakt:
Egzakttá tehető az (1/cos^4 y) integráló szorzóval. Ugyanis:
2. Mo.
de valójában az egyenlet a
és ez szeparábilis. a) Ez egy konstans megoldás (y(x)=π/2) és nincs másik a (0,π/2)-n áthaladó, mert az y szerinti parciális derivált korlátos.
b) Az általános megoldásból keressük a kezdeti feltételt kielégítő megoldást:
Az implicit egyenlet:
- cos − 3y = x3 + 3C
Ha x=0 és y=π/4, akkor
és
c) ugyanez + 2π
HF. Oldjuk meg az y' = sin(x) yln(y) egyenletet az
- a) y(0)=1,
- b) y(0)=e
kezdeti feltételek mellett!
3. (Állandó variálása)
4. (Kezdeti értékes állandóegyütthatós lineáris)
5. (Rendszer)
Mo. Ha a feladat
alakú különböző valós sajátértékekkel, és az A-nak λ1, λ2-hoz tartozó sajátvektoraiból álló mátrix:
- ,
akkor a megoldás
Itt a sajátértékefeladat megoldása:
azaz
6.
Mo.
Kar. egy:
-1, -3 háromszoros gyökök, tehát:
- ya = c1e − x + c2xe − x + c3x2e − x + c4e − 3x + c5xe − 3x + c6x2e − 3x
A próbafüggvény: y=Ax2+Bx+C, tehát:
- 4Ax2 + 4Bx + 4C = x2
azaz A=1/4, B=C=0.